精品解析：广东省潮州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷

潮州市2024—2025学年度第二学期期末高一级教学质量检测卷 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.） 1. 已知i是虚数单位，在复平面内，复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（ ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A. 0.61 B. 0.63 C. 0.625 D. 0.66 3. 在中，已知，，则的外接圆直径为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5，则圆台的侧面积为（） A. π B. 16π C. 17π D. 25π 6. 已知，，向量在上投影向量的坐标为（ ） A B. C. D. 7. 如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，，，点M为上的点，且，则（） A B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为日均值在以下，空气质量为一级；在，空气质量为二级；超过为超标.如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（） A. 这10天的日均值逐日增大 B. 这10天中日均值的平均值是48.8 C. 从日均值看，前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差 D. 这10天日均值超标的有3天 10. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 11. 口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A. B. B与C互为对立事件 C. A与B互斥 D. A与C相互独立 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 13. 假设事件与相互独立，且，，则______ 14. 如图，二面角的大小是30°，线段，，与所成的角为60°，则与平面所成的角的正弦值是______． 四、解答题：（本大题共5小题，满分44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，. （1）求与的夹角θ； （2）求. 16. 如图，棱长为2的正方体中，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 为了解中学生身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按、，，，分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图 （1）求a值，并估计这100名学生身高的第45百分位数； （2）在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人身高都不低于的概率. 18. 如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. （1）求； （2）记为α，求的值. 19. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为. （1）求p和q的值； （2）求甲、乙两人共答对3道题概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮州市2024—2025学年度第二学期期末高一级教学质量检测卷 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.） 1. 已知i是虚数单位，在复平面内，复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数乘法计算出复数值，然后根据定义判断. 【详解】，对应复平面的点是，在第二象限. 故选：B 2. 某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（ ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A. 0.61 B. 0.63 C. 0.625 D. 0.66 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和概率的关系即可判断. 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：C. 3. 在中，已知，，则的外接圆直径为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可直接求出外接圆直径. 【详解】因为， 根据正弦定理得，其中为三角形外接圆半径. 所以三角形外接圆直径为. 故选：A. 4. 平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，，则实数（ ） A 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，列出方程求解即可. 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，解得， 故选：A 5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5，则圆台的侧面积为（） A. π B. 16π C. 17π D. 25π 【答案】D 【解析】 【分析】假设圆台的上底面半径，则下底面半径和高可知，在圆台的轴截面中计算即可求出上底面半径，再利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆台的上底面半径为，则下底面半径为，高为．母线长为5， 在如图所示的圆台轴截面中， 过点作于点， 所以有， 有，解得． 所以圆台的侧面积． 故选：D 6. 已知，，向量在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据投影向量的公式求解. 【详解】由题意，在上的投影向量的坐标为. 故选：C 7. 如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知因为，，，所以， 故，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：D. 8. 在中，已知，，，点M为上的点，且，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标示，求出相应的坐标，利用坐标运算求数量积即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 过点作点， ，，，， ，， ，，， ， 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为日均值在以下，空气质量为一级；在，空气质量为二级；超过为超标.如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（） A. 这10天的日均值逐日增大 B. 这10天中日均值的平均值是48.8 C. 从日均值看，前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差 D. 这10天日均值超标的有3天 【答案】BC 【解析】 【分析】由图可判断A；根据平均数计算公式可判断B；分别求出前5天的日均值的标准差及后5天的日均值的标准差可判断C；结合图中数据可判断D. 【详解】对于A，由图可知这10天的日均值有增有减，故A错误； 对于B，这10天中日均值的平均值，故B正确； 对于C，前5天平均值为，后5天平均值为， 所以前5天的日均值的方差， 后5天日均值的方差 因为，所以前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差， 故前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差，故C正确； 对于D，由图可知12月6、7这两天的大于，故D错误. 故选：BC． 10. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理、线面垂直的性质和判定定理对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 假设，因为平面， 所以平面，又平面， 所以，而平面平面，所以， 在中，，不能同时成立，所以A错误； 对于选项B： 因为平面平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，选项B正确； 对于选项C： 因为平面平面，所以平面平面，所以C正确； 对于选项D： 由选项B可知平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确. 故选：BCD. 11. 口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A. B. B与C互为对立事件 C. A与B互斥 D. A与C相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】记红球为1,2，白球为3,4， 不放回依次取出两个，则样本空间，共12种， 事件，共6种； 事件，共4种 事件，共8种； A选项，，故A正确； B选项，因为，所以与互为对立事件，故B正确； C选项，因为，所以与不是互斥事件，故C错误； D选项，因为事件，共4种，所以， 因为，由A可知，因为 所以与相互独立，所以D选项正确． 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，根据模长公式找出关系，然后写出一组解即可. 【详解】设，，即， 于是，取显然符合题意，即符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 13. 假设事件与相互独立，且，，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立性求出，然后由概率的运算性质求解即可. 【详解】由题知，若事件与相互独立，则， 于是. 故答案为： 14. 如图，二面角的大小是30°，线段，，与所成的角为60°，则与平面所成的角的正弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，过作于，连接，则为与平面所成的角，可证得为二面角的平面角，则，设，则，可求出的值，然后在直角三角形中可求得答案 【详解】解：过作于，过作于，连接，则为与平面所成的角， 因为，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，则， 设，则， 因为，所以， 所以 所以与平面所成的角的正弦值为 故答案为： 四、解答题：（本大题共5小题，满分44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，. （1）求与的夹角θ； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据向量数量积公式求解； （2）将待求表达式平方，结合题设条件计算. 【小问1详解】 由题知，，则， 又向量夹角，则. 【小问2详解】 ， 则 16. 如图，棱长为2的正方体中，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，根据线面平行判断定理从而得证； （2）根据正方体的性质及计算可得. 【小问1详解】 连接交于，连接， 在正方体中，为的中点，且为中点， 所以是的中位线，即， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 正方体中，平面， 所以； 17. 为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按、，，，分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图 （1）求a值，并估计这100名学生身高的第45百分位数； （2）在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人身高都不低于的概率. 【答案】（1），165 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求解即可； （2）先确定与抽取的人数并分别标记，再结合古典概型的概率公式求解即可 【小问1详解】 ， 1-5组的频率分别为， 前2组的频率之和为， 前3组的频率之和为， 所以第45百分位数落在，设为， 则，解得， 所以这100名学生身高的第45百分位数为165； 【小问2详解】 身高在的学生有人， 身高在的学生有人， 故身高在的学生共有50人， 用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为， 从身高在的学生中抽取名，记为． 从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为，共10种， 记A=“这2人身高都不低于160cm”， 则A包含的结果有：，共3种， 故所求概率． 18. 如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. （1）求； （2）记为α，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解，用余弦定理求出，由圆内接四边形性质可得，从而得到，然后在中由余弦定理求； （2）在中由余弦定理，求出，然后由两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 为钝角，，则， 在中，由余弦定理，，则， 圆内接四边形对角互补，于是，又，则， 由题知为钝角，则是锐角，于是， 在中，由余弦定理，， 即，解得（负值舍去） 【小问2详解】 由（1）知，，由余弦定理，， 显然，，则， 19. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为. （1）求p和q的值； （2）求甲、乙两人共答对3道题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，列出关于的方程组求解； （2）甲、乙两人共答对3道题，可分为甲答对2题，乙1题；甲答对1题，乙2题，结合独立事件乘法公式求解. 【小问1详解】 由题知，，且， 解得 小问2详解】 分情况如下： 甲答对题，乙答对题，概率为：； 甲答对题，乙答对题，概率为：； 于是甲、乙两人共答对3道题的概率是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $