课时分层检测(17) 圆的标准方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

5,C[直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=!3.√2[设P(x,y,A(2,-1),则点P在直！8,2x-3y十1=0[由题意反射光线过圆心 0,依题意得21+)-1+30-1= 线x十y-3=0上，且√(x-2)2+(y+1)2 (1,1),又点（一2,1）与圆心连线与x轴平 /2+(-1)9 =PA,PA的最小值为点A(2,一1)到1 行，所以入射光线与x轴的交点的横坐标 号，整理得=1，所以1或一1.当 直线x十v一3=0的距离d= 为二2+1 2+(-1)-3=2.] 2 乞，即入射光线与工轴交点 1时，点P的坐标为(2,4)：当t=一1时， √/12+12 点P的坐标为(0，一2)，故选C.] 14.C [如图所示，结合 为( 6.-3或号[：5X2驰6 =4, 图形可知，直线l1∥ √52+12 1,则直线L上一点P 所以反射光钱所在的直线方程为号 16-12=52,6=-3或k=号】 到直线3的距离即为 x-1,即2x-3y+1=0.] 11与13之间的距离， 7.(1,2)或(2，-1)[设点P的坐标为(a,51 123花 -1 由题意知l1与2关 3-2- -3a),由题意得a-5-3a）-1=2, 于x轴对称，故2的 2 !9.解(1)由题意设圆心为C(a,a),半径 √/12十(-1)2 方程为y=一2x十3， 为r, 解得a=1或a=2,所以，点P的坐标为(1,1 l2与1关于y轴对称，故1的方程为y= 则圆的标准方程为(.x一a)十（y一a) 2)或(2，一1). 2x十3.由两平行线间的距离公式，得11与 = 8.2十√2「依题意得，点(1,1)到直线的 距离 、1间的距离d=3一《一3）=65，即点{ 由题意得 (3-a)+1-a=解 /1+2 {(5-a)2+(3-a)2=2, d=cos 0+sin 0-2 =cos 0++sin 0-2 Vcos20-sin20 P到直线1，的距离为65.故选C] 得4-3， {r-2, (+)-2 5.解(1)设A关于直线1的对称点为！ 所以圆C的标准方程为(x一3)2十(y 1一0 3)2=4. n-2 -2, 当m(+)-1时，d- A'(m,n),则 (2)由(1)知PC=√/(3-2)2+(3-4) m2-2.n0+8=0, =√2r,所以点P(2,4)在圆C内. 2. 2 9.解由点A在直线x一3y十3=0上 解得{m。2故A'(-2,8)。 !10.解(1)当AB为直径时，过，点A,B的圆 的半径最小，从而周长最小，即AB中点 则可设点A(3y-3,y). n=8, 直线BC由两点式可得后号- 因为P为直线I上的一，点，则PA十PB =PA'+PB≥AB, 0,1D为圆心，半径r=号AB-V而 即2.x+5y-22=0, 当且仅当B,P,A三，点共线时，PA+PB 则圆的方程为x2+(y一1)2=10. BC=/(6-1)2+(2-4)2=√29. 取得最小值，为AB,点P即是直线A'B! (2)AB的斜率为k=一3，则AB的垂直 则点A到BC的距离为d 与直线1的交点， 2×(3y-3)+5y-22|11y-28 {2y十8=0，得{3,2故所求的 则x2, 平分线的方程是y-1=了，即x一3y叶 y=3, /22+5 V29 点P的坐标为（一2,3）. 3=0.由{-3yv十8=0得二3：即圆 12x-y-4=0, y=2, 六三角形西积S=号BCd=合XV丽 (2)A,B两点在直线1的同侧，P是直线1} 心坐标是C(3,2), 上的一，点，则|PB一PAAB, ×11y-28 _70或y= =21,∴y=1i 1 当且仅当A,B,P三点共线时，PB r-AC=√(3-1)2+(2+2)产-25. √29 11 PA取得最大值为AB, ∴.圆的方程是(x-3)2十(y一2)2=20. 点P即是直线AB与直线l的交，点， 能力提升练 ∴，点A的坐标为 )(-票， 75 又直线AB的方程为y=x一2， 1.BCD[对于A远项， 14 则y-x-2, 如图所示，存在偶函数 11· 所叶8=0，得{12， y=10, 可以将圆O的周长和 故所求的点P的坐标为(12,10) 面积同时等分成两个 10.解①若直线L,L,的斜率存在，设直线 课时分层检测（十七） 部分，故A错误；对于 11,l,的斜率均为k,测11的斜裁式方程为 :基础达标练 B选项，两曲线的对称 y=kx十1，即kx-y十1=0，l2的点斜式方 程为y=k(x一5)，即kx一y一5k=0, 1,C[由圆的标准方程(x一1)2十(y十3)21 中心均为点(0,1)，且 因为直线11过，点A(0,1),所以，点A到直 =1,得圆心坐标为(1，一√).] f(x)=sinx十1能把圆O的周长和面积 2.D[将O(一3,4)，r=5代入圆的标准方 同时等分成两个部分，故B正确：对于C 线l2的距离d= -1-5k =5, 程可得.] 所以256+10k+1=25k+25,解得6：3D.7用3=4的圆心为，点（0. √/k2+(-1)2 选项，因为f(-x)-e-1=1-e e+1 e2+1 3),又因为直线1与直线x十y十1=0垂 一f(x),所以函数f(x)为奇函数，函数图 、12 直，所以直线【的斜率k=1.由，点斜式，得 象的对称中心为原点，故存在圆x2十y2= 直线l的方程为y一3=x一0，化简得x一y 所以l1的方程为12x-5y十5=0，l2的： +3=0. 1使得f()=二是圆0的一个太极函 方程为12.x-5v一60=0. e+1 ②若11l2的斜率不存在，则11的方程为： 4,ACD[由圆M:(x-4)+(y+3)2=5 数，故C正确；对于D选项，直线(n十1)x x=0,l的方程为x=5,它们之间的距离 故圆心为(4，一3)，半径为5，则A、C正 -(2m十1)y-1=0可变形为m(x一2y) 确：令x=0,得y=0或y=一6，弦长为6,1 为5，满足条件， 故D正确.故远A、C、D.门 +(x-y-1)=0,令{二2y0。解得 综上所述，满足条件的直线方程有两组：5.A[由(2m十1)x十(m十1)y十2m=0,得 x-y-1=0, 41:12.x-5y+5=0,l2:12.x-5y-60-0 (2x+y十2)m+(x十y)=0,由 或11：x=0,l2:x=5. x=2所以直线恒过圆0的圈心(2,1)， 2x十y十2=0，得工二。2，即直线过定 y=1, 能力提升练 xy=0, y=2, 所以直线可以平分圆O的周长与面积，故 1,AB[由AB=5,△ABC的面积为10，： 点(-2,2)，则所求圆的方程为(x十2)2+ D正确， 得，点C到直线AB的距离为4，设C(x,3x: (y-2)2=16.故选A.] 2.C[如图，设点Q与 十3)，利用点到直线的距离公式可求得6，x2+(y-1)=1[因为圆心与点(1,0)； 点O关于直线x十y x=一1或x= 5.故点C坐标为(-1,0) 关于直线y=x对称，所以圆心坐标为(0， 一4=0对称， 1),所以圆的标准方程为x2十(y-1)2 连接AQ,则AQ一1 或（号8 =1. 即为将军行走的最短 17.(x一1)2+y2-18[圆C的半径R=6,1 路程，设Q(x,y), 2.ABC[当两直线L,l。与直线PQ垂直时， 两平行直线4，l2间的最大距离为PQ= 设所求圆的半径为则张=合“r2- √(-1-2)2+[3-(-1)了=5，所以141， 18,又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为1 义=1， 1,之间距离的取值范围是(0,5].] (x-1)2+y2=18.] ( 230 解得{：Q,0. 受，CA=CB,所以△ACB是等腰直角：能力提升练 = 点A(4,一3)，∴将军行走的最短路程为 角形.又周为C《2，D,点A,B在y轴1.AC[喝心C(-号.-号) 1AQ1-1=√(4-4)2+[4-(-3)]下-1： 上，易得AB=4,CB=2√2，所以5一F=! 图为圆心在直线x十y一1=0上， =7-1=6.故远C.] (2√2)2，解得F--3.] 所以 3.1十√2[√(x-1)2+(y-1)F的几何意5.D[由x2+y+2x-2my-4-4m=0得 D-g-1=0 2 (.x十1)2十(y一m)2=m2+4n十5，因此圆1 即D十E=-2,① 义是圆上的，点P(x,y)到，点A(1,1)的距 离，由于圆x2十y=1的圆心是O(0,0),1 心为C(一1，m),半径r=√m十4m十5= 又r=D+,E亚-2， 半径r=1,OA|=√J(1-0)2+(1一0) √/(n十2)2十1≥1，当且仅当m=-2时，1 所以D+E=20,② =√2，因此最大值为OA十r=√2十1.] 半径最小，则面积也最小，此时圆心为： 4,16π[设P（x,y),则由题意有 C(一1，一2)，半径r=1,因此圆心到坐标 由①②可得D=2, E=-4, (x十3)2十y21 (x-3)2+y2 =4,整理得2+y2+10x 原点的距离d=√(-1-0)+（一2一0）1 或D=-4, {E-2 =√>r,即原点在圆C外，所以圆上的点 十9=0，即(x+5)2十y2=16,所以点P 到坐标原，点的距离的最大值为d十r=51 又圆心在第二象限，所以-D<0,即D 2 在半径为4的圆上，故其面积为16π.] 十1.故远D. >0. 5.解设圆C的圆心坐标为(m,n),因为直线：6,4[因为方程x2+y十Dx十E十F=0 7 L的斜率k= 4,圈G:(x+3)+(y-1)2 表示以(2，一4)为圆心，4为半径的圆， 所以化24] rD+E-4>0, =4的圆心坐标为（一3,1），半径r=2,由对 D 2(90智[设点P(代入 1-1 m+3-7, =2, PA=2|PB|得√x+2)+y= 称性知 14×3,+m+8×1-31=0, 所以 E=一4 2√/(x-2)2十y2,整理得3.x2十3y2-20u 2 2 解得了m一4， D+一4亚=4， 十12=0.配方得x一3 0 n=5. 所以圆C的圆心坐标为(4,5)，半径r D=-4, =2, 解得E=8,所以F的值为4.] 以点P的轨莲的国心为（号）半径为 8 所以圆C。的标准方程为(x一4)2十(y一 (F=4, 5)2=4. 17.(0,-1) 将的方程配方得（十号）】 号国的面积为] ·3.[13-√10,13十wW10][由直线(1+ 6.解(1)线段AB的中点为(1,2)，直线 2)x-(n+1)y-4-3=0(n∈R)得m AB的斜率为1， ∴线段AB的垂直平分线的方程为y-2: +(+ 3k2+1,由2= (2x-y-4)+(x-y-3)=0, 4 =-(x-1),即y=-x十3. +1>0, 令{2xy40解得{ 1x-y-3=0, 1v=-2, 所以直 联主3，。解得任。3即圆 rmx=1,此时k=0.∴圆心为(0，-1).] 线过定点(1，一2)，设为Q.因为M为垂 1x+3y-15=0, 1y=6, 8.(-1,1)√5[由题意可得圆C的圆心： 足，所以△PQM为直角三角形，斜边为 心C为（一3,6），则半径r= PQ,所以M在以PQ为直径的圆上运动， √(-3+1)+6=2/10 ! (-1,-号)在直线x-y+2=0上，将 由点P(一5,0)可知以PQ为直径的圆的 ".圆C的方程为(x十3)2+(y一6)2=40. 圆心坐标为（一2，一1），设为C,半径r （-1，- 号)代入直线方程得-1- (2):AB=√/(3+1)2+4=4√2， -5-1)+(0+2y=√10，则MN1 .圆心C到AB的距离d=· (-受）+2=0，解得a=-2.故圆C的 的取值范固为CN|一r≤MN≤|CN √/(210)2-(22)2=4√2， 方程为x2十y2十2x-2y-3=0,即(x十1 r,又因为CN ∴，点P到AB的距离的最大值为d十r= 1)2+(y-1)2=5,因此圆心为(-1,1)，半1 √/(-2-3)2+(-1-11)=13， 4√2+2√10， 径为√5.] 所以MN的取值范图是[13一√10,13+ 一△PAB的面积的最大值为号X4反×9解设B点坐标是(，)，点A的坐标是 √10].] (xo,yo),由于点C的坐标是(4,3)且点C:4.解如图所示， (4√2+2/10)=16+8√5 是线段AB的中点，所以4=十工 ,3 课时分层检测（十八） 2 基础达标练 1.C[由x2十y2+4x-6y-3=0,得(x+ 2 2)2+(y-3)2=16,故圆心为(-2,3)，半 于是有x=8-x,y=6-y.① 径长为4.] 因为点A在圆(x十1)2十v2=4上运动， 2.D[圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点 所以(x0十1)严+听=4，② A(1,0), 把①代入②，得(8-x+1)”+(6-y)2= .(1-a)2+(0-b)2=1, 4,整理，得(x一9)2十（y一6)2=4.所以点！ -3-2-1 012x .(a-1)2+=1, B的轨迹方程为(x一9)”十(y-6)2=4. ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1：10.解(1)设圆M的方程为x2十y2+Dx十 为半径的圆.故远D.] Ey十F=0.圆M过点A(0,a), 设P(x,y),N(w),则线段OP的中点 3.D「因为方程x2十V2+ax-2av+2a2+ B(-/3a,0),C(/3a,0), 3a=0表示的图形是圆，又方程可化为： a2十aE+F=0, 坐标为（受，），线段MN的中点坐标 十(y-a)2-- 3a-V3aD+F=0,解得D=0,E= (3a+√3aD+F-0, 圆心坐标为 3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y 因为平行四边形的对角线互相平分】 +(3-a)y-3a=0. 3a,由r>0,即-42-3>0，解得-4 (2)圆M的方程可化为(3十y)a-(x2十 2,-6+4 2 <a0,故该圆的圆心在第四象限，] +3y)=0.由3y=0, 4.D[将原方程2+y2-4x十2y十F=0化1 {x+y+3=0,解得 则=x+8即N(x+3,y一4). y=y-4, x=0,y=-3. 又点N在圆x2+y2=4上， 为(x-2)2+(y十1)2=5一F.因为∠ACB .圆M过定点(0，一3). 故(x+3)2十(y一4)2=4. 231班级 姓名 得分 课时分层检测（十七） 圆的标准方程 :8.已知从点（一2,1）发出的一束光线，经x轴 0 基础达标练0… 反射后，反射光线恰好平分圆：(x一1)2+ 1.圆(x-1)2+(y十3)2=1的圆心坐标是 (y一1)2=1的圆周，则反射光线所在的直线 ( 方程为 A.(1,3) B.(-1,√3) 9.已知圆C过点A(3,1),B(5,3),圆心在直线 y=x上. C.1,-√3) D.(-1,-√3) (1)求圆C的方程； 2.圆心是O(一3,4)，半径长为5的圆的方程为 (2)判断点P(2,4)与圆C的关系. ( A.(x-3)2+(y十4)2=5 B.(x-3)2+(y十4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25 3.已知直线1过圆x2+(y一3)2=4的圆心，且 与直线x十y十1=0垂直，则直线1的方程是： ( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 4.(多选)尼知圆M:(x-4)2+(y+32=25:10.已知圆过点A1,一2).B(-1,4),求： 则下列说法正确的是 ( ) (1)周长最小的圆的方程； A.圆M的圆心为(4，一3) (2)圆心在直线2x一y一4=0上的圆的 B.圆M的圆心为(-4,3) 方程. C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的弦长为6 5.已知圆C以直线l:(2m+1)x十(m+1)y+ 2m=0恒过的定点为圆心，半径r=4,则圆 C的方程为 A.(x+2)2+(y-2)2=16 B.(x-2)2+(y-2)2=16 C.(.x-2)2+(y十2)2=16 D.(x+2)2+(y+2)2=16 6.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直 线y=x对称，则圆C的标准方程为 7.与圆C:(x-1)2十y2=36同圆心，且面积等 于圆C面积的一半的圆的方程为 143 班级 姓名 得分 5.已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4,直线l: 0能力提升练0… 14x十8y-31=0,求圆C1关于直线1对称 1.(多选)太极图是由黑白两个鱼形纹组成的 的圆C2的标准方程。 图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相 转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数 称为圆O的一个“太极函数”.则下列有关说 法中，正确的是 A.对于圆O:x2十y2=1的所有非常数函数 的太极函数中，一定不能为偶函数 B.函数f(x)=sinx+1是圆O:x2+(y 1)2=1的一个太极函数 C存在圆0，使得f(x)=C二是圆0的一 ex+1 个太极函数 D.直线(m十1).x-(2m十1)y-1=0所对应6.已知以点C为圆心的圆经过点A(-1.0)和 的函数一定是圆O:(x-2)2+(y-1)2= B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上. R2(R>0)的太极函数 (1)求圆C的方程； 2.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说： (2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中 大值 隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮 马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下 某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样： 走才能使总路程最短？在平面直角坐标系 中，设军营所在区域为x2十y2≤1，若将军从 点A(4,一3)处出发，河岸线所在直线方程为 x十y=4,并假定将军只要到达军营所在区 域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路 程为 ( A.8 B.7 C.6 D.5 3.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上，则 √/(x-1)2+(y-1)2的最大值为 4.设A(一3,0)，B(3,0)为两定点，动点P到A 点的距离与到B点的距离之比为1：2，则点 P的轨迹图形所围成的面积是 144