16.1 幂的运算（预习讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“整式的乘法”中幂的运算核心知识点，系统梳理同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则及扩展，通过基础运算、混合运算、新定义运算、阅读材料题等题型归纳，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 该资料以“题型专练（例题+变式）+巩固练习”分层设计为亮点，通过新定义运算题培养抽象能力与创新意识，阅读材料题强化推理意识与数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后助力学生针对性练习，查漏补缺提升运算能力。

第十六章 整式的乘法 01讲 幂的运算 题型归纳 【题型1. 同底数幂相乘 2】 【题型2. 幂的乘方运算 3】 【题型3. 积的乘方运算 4】 【题型4. 幂的混合运算 5】 【题型5. 幂的运算新定义运算题 7】 【题型6. 幂的运算阅读材料题 8】 【巩固练习 10】 知识清单 知识点1 同底数幂的乘法 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.扩展：（m，n，p都是正整数） 【提示】 ① 底数a可以代表一个数，也可以代表一个式子； ② 指数可以是一个数，也可以代表一个式子； ③ 幂指数为1时，不要遗漏； ④ 要注意算式里的负号是属于幂的还是指数的. 知识点2 幂的乘方 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n. 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2.扩展：（m，n，p都是正整数） 【提示】 指数是多项式，指数相乘时要加括号，如：(. 知识点3 积的乘方 1.运算法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 2.扩展：（n是正整数） 【提示】 底数中的“－”看作“－1”，作为一个因数，防止漏乘，如：. 题型专练 题型1. 同底数幂相乘 【例1】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，则___________． 【例3】计算： (1)； (2)． 【变式1】等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 【变式3】若，则_______． 【变式4】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，试求a，b，c满足的数量关系． 【变式5】已知，，且，求的值． 题型2. 幂的乘方运算 【例1】下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】计算：=___________． 【例3】计算： (1) (2) 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】满足不等式的最大整数等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】若，则________ 【变式4】若，求的值． 【变式5】（1），，求的值． （2）若，，求的值． 题型3. 积的乘方运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【例2】计算： ___________． 【例3】计算：． 【变式1】下面运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算：__________． 【变式3】计算： (1)（m是正整数）； (2)； (3)； (4)． 【变式4】（1）比较与的大小； （2）已知，，试比较P与Q的大小． 【变式5】（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 题型4. 幂的混合运算 【例1】计算： (1) (2)． 【例2】计算： (1)； (2) 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) (5)． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式4】解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 题型5. 幂的运算新定义运算题 【例1】新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【例2】定义新运算：，则________． 【变式1】我们定义：三角形，四边形；若，则______． 【变式2】定义一种新运算：规定，已知，，，为正整数，求的值． 【变式3】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)的值为 ； (2)若，求的值； 题型6. 幂的运算阅读材料题 【例1】阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【例2】我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：； ；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请把a，b，c用“”连接起来； (2)若，求的值； (3)化简：． 【变式1】在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 【变式2】阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字 (2)试判断的末尾数字 巩固练习 1．（25-26七年级下·江苏常州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮南·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江西·一模）若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（    ） （8个相加）（8个相乘） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则和的数量关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·四川乐山·期中）已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 8．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知，则______． 9．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如果，那么的值为______． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知实数、、存在数量关系、，则________． 11．（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知：，，则的值为____． 12．（2026·江西上饶·三模）一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是______． 13．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）新定义：如果，则规定，例如：，所以．填空______；若，，，则x，y，z的关系式为______． 14．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若（且是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果的值是_____； （2）如果，则的值是_____． 15．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为____． 16．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）先化简，再求值：，其中， 20．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 21．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）对于任意有理数，定义一种幂的新运算：．例如：．请根据上述运算规则解答下列问题： (1)求的值； (2)已知 ，求的值． 22．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立，证明如下： 设，，则，．． ，即． (1)根据上述规定，填空：①，； ②若，则． (2)计算：，并说明理由． (3)记，，．求证：． 23．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 01讲 幂的运算 题型归纳 【题型1. 同底数幂相乘 2】 【题型2. 幂的乘方运算 5】 【题型3. 积的乘方运算 8】 【题型4. 幂的混合运算 12】 【题型5. 幂的运算新定义运算题 16】 【题型6. 幂的运算阅读材料题 19】 【巩固练习 23】 知识清单 知识点1 同底数幂的乘法 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.扩展：（m，n，p都是正整数） 【提示】 ① 底数a可以代表一个数，也可以代表一个式子； ② 指数可以是一个数，也可以代表一个式子； ③ 幂指数为1时，不要遗漏； ④ 要注意算式里的负号是属于幂的还是指数的. 知识点2 幂的乘方 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n. 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2.扩展：（m，n，p都是正整数） 【提示】 指数是多项式，指数相乘时要加括号，如：(. 知识点3 积的乘方 1.运算法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 2.扩展：（n是正整数） 【提示】 底数中的“－”看作“－1”，作为一个因数，防止漏乘，如：. 题型专练 题型1. 同底数幂相乘 【例1】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【例2】已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，将变形为：，从而得出，再求出x的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：4． 【例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘， 对于（1），根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可； 对于（2），先整理，再根据同底数幂相乘法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法的性质，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键． 【详解】解：． 故选：B． 【变式2】代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【变式3】若，则_______． 【答案】6 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：6． 【变式4】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，试求a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了定义新运算，乘方，同底数幂相乘， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先根据新定义得，再根据，结合同底数幂相乘法则整理即可. 【详解】（1）解：∵，我们规定，， ∴，. 故答案为：5，−8； （2）∵，我们规定， ∴. ∵， ∴， 即， ∴． 【变式5】已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘方，解题的关键是熟练运用整式乘法公式，根据解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型2. 幂的乘方运算 【例1】下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同类项要求所含字母相同且相同字母的指数也相同，根据同类项定义、同底数幂乘法法则、幂的乘方法则逐一判断选项正误即可． 【详解】解：∵ 只有同类项可以合并，与不是同类项，不能合并， ∴ 选项A、B错误； ∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ， ∴ 选项C错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， ∴ 选项D正确. 【例2】计算：=___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 利用幂的乘方解题即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法化简，然后合并即可； （2）根据幂的乘方、同底数幂的乘法化简，然后合并即可． 本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方法则，即 ． 根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式2】满足不等式的最大整数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算．将不等式左右两边由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂，通过计算可求出的最大值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴满足不等式的最大整数等于． 故选：D． 【变式3】若，则________ 【答案】6 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键．先由已知，结合幂的乘方的逆运算得到，再根据同底数幂乘法的逆用法则计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 【变式4】若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出的值，再把所求式子变形为，进一步变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式5】（1），，求的值． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘法的性质； （1）根据幂的乘方和同底数幂乘法的性质，计算得、，通过列二元一次方程组并求解即可； （2）根据同底数幂乘法的性质，得，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， ∴； （2）， ∵，， ∴． 题型3. 积的乘方运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，掌握积的乘方法则并能逆用是关键；把拆成，再逆用积的乘方即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 【例2】计算： ___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，先运用幂的乘方法则计算 ，再运用同底数幂相乘法则计算与 的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 【例3】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，先根据同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可．理清指数的变化是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1】下面运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 依据同类项合并、因式分解、幂的乘方和积的乘方法则进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：和不是同类项，不能合并，故错误； 对于选项B： ，正确； 对于选项C：，故错误； 对于选项D：，故错误 故选B． 【变式2】计算：__________． 【答案】4 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，通过将转化为，并利用积的乘方法则进行化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【变式3】计算： (1)（m是正整数）； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方积的乘方，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘‌，据此即可求解； （1）根据积的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可； （3）根据积的乘方进行计算即可； （4）根据积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4】（1）比较与的大小； （2）已知，，试比较P与Q的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）将问题转化为比较之间的大小即可； （2）将利用积的逆运算整理得到即可比较大小． 【详解】解：（1）， 因为， 所以， （2） 所以． 【变式5】（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由可得，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则可得，再把代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解即可． （3）先整理原式等于，再运算括号内，即可作答． 本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方的逆运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴解得． （3） ． 题型4. 幂的混合运算 【例1】计算： (1) (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先算幂的乘方，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握幂的乘方法则，去括号、合并同类项法则是解决本题的关键． 【例2】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先算括号里乘法，再算幂的乘方，最后算同底数幂的乘法即可． 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质，涉及同底数幂的乘法，同底数幂的除法和幂的乘方，合并同类项等知识，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】①先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算； ②先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可； ③先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可； ④先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算； ⑤先根据幂的乘方和同底数幂的乘法得到原式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：①原式 ； （2）②原式 ； （3）③原式 ； （4）④原式 ； （5）⑤原式 ． 【点睛】本题考查幂的混合运算，涉及同底数幂的乘法，幂的乘方，同类项的合并等知识，正确计算是解题的关键．注意第（4）小题整体思想的运用． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方以及同底数幂的乘法，再算减法即可； （2）先计算幂的乘方再算减法即可； （3）先计算幂的乘方再算加、减法即可； （4）观察底数的特征，利用幂的运算法则将底数转化进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4】解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 【答案】(1) (2)32 【分析】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． （1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ． 题型5. 幂的运算新定义运算题 【例1】新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 【例2】定义新运算：，则________． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，积的乘方，合并同类项，理解定义新运算的计算方法，整式的混合运算法则是关键，根据定义新运算法则计算，结合整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 【变式1】我们定义：三角形，四边形；若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而求得四边形的值为，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】定义一种新运算：规定，已知，，，为正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，幂的乘方计算，同底数幂乘法的逆运算，根据新定义可得，由幂的乘方计算法则可得，，再由计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，，即，， ∴， 故答案为：． 【变式3】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)的值为 ； (2)若，求的值； 【答案】(1)96 (2)22 【分析】（1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形为，再由幂的乘方和同底数幂的逆运算计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 故答案为：96 （2）解：∵， 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的逆运算，利用新运算规则是解题的关键． 题型6. 幂的运算阅读材料题 【例1】阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可； （2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可． 【详解】（1）因为，， 所以． 故答案为：； （2）因为， ， ， 且， 所以， 所以． 【例2】我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：； ；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请把a，b，c用“”连接起来； (2)若，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)200 (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘方，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可； （2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：， ∵， ∴原式； （3）解： ． 【变式1】在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这两个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，，， 而， ； （2）解： ． 【变式2】阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字 (2)试判断的末尾数字 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知（n为正整数）的末尾数字均为1，根据阅读材料中提供的方法，可得，于是得解； （2）根据阅读材料中提供的方法可得的末尾数字等于的末尾数字，又，从而得出结论． 【详解】（1）解∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9． （2）∵，则的末尾数字等于的末尾数字． ∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字为1． ∵的末尾数字为0， ∴的末尾数字为 【点睛】本题考查了幂的运算，根据所给的题目总结规律，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方是解答本题的关键． 巩固练习 1．（25-26七年级下·江苏常州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（2026·广东深圳·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加 ∵ ∴A错误． 选项B：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘 ∵ ∴B错误． 选项C：根据积的乘方法则，将积的每个因式分别乘方，再将结果相乘 ∵ ∴C错误． 选项D：根据同底数幂相除法则，底数不变，指数相减 ∵，等式成立 ∴D正确． 3．（2026·安徽淮南·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A：与不是同类项，不能合并，选项计算错误； B：，选项计算错误； C：，选项计算错误； D：，选项计算正确． 4．（2026·江西·一模）若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（    ） （8个相加）（8个相乘） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意化简左右两边，结合同底数幂和幂的乘方的运算性质，即可推导出a和b的关系． 【详解】解：∵左边为8个相加， ∴左边， ∵右边为8个相乘， ∴右边， ∵左右两边相等，底数相同，指数相等， ∴． 5．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数转化为指数相同的形式，再比较底数大小即可得到结果，用到知识点为，指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大． 【详解】解： 逆用幂的乘方法则可得，，． ∵ ，且指数相同，正整数幂的值随底数增大而增大， ∴， 即． 6．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则和的数量关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，对变形，根据底数相同的幂相等则指数相等，即可得到和的关系． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴， 即． 7．（25-26八年级上·四川乐山·期中）已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程化简为同底数幂形式，比较指数得到和，列举所有自然数解计算的值，与选项对比找出不可能的值． 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 8．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知，则______． 【答案】100 【分析】根据题意可得，根据幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则可把所求式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 9．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】由已知得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法法则把原式转化为，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知实数、、存在数量关系、，则________． 【答案】 12 【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则，将变形，转化为含和的形式，再代入已知条件计算. 【详解】解：， 11．（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知：，，则的值为____． 【答案】 12 【详解】解：． 12．（2026·江西上饶·三模）一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是______． 【答案】 【分析】分别观察每个式子的各部分，总结规律：第一项系数恒为3，a的次数为式子序号n的2倍；第二项系数符号为奇数项为负，偶数项为正，系数绝对值恒为2，b的次数等于式子序号． 【详解】解：由已知式子可得： 每个式子的第一项为系数乘以的次幂，即； 当为奇数时，，第二项符号为负；当为偶数时，，第二项符号为正，符合符号规律，且第二项系数绝对值为，的次数为； 因此第个式子是． 13．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）新定义：如果，则规定，例如：，所以．填空______；若，，，则x，y，z的关系式为______． 【答案】 4 【分析】第一空根据新定义计算得到结果，第二空先根据新定义写出对应幂的等式，再利用同底数幂的乘法法则推导，，的数量关系即可． 【详解】解：， ； ，，， ∴根据新定义可得，，， ∴， ∴， ． 14．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若（且是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果的值是_____； （2）如果，则的值是_____． 【答案】 6 2 【分析】（1）先利用同底数幂的乘法法则化简等式左边，再根据题中结论列一元一次方程求解． （2）先提取公因式化简等式左边，将右边整理为以为底的幂，再根据题中结论列一元一次方程求解． 【详解】解：（1）， 由同底数幂的乘法法则得， 即， 根据题中结论得， 解得． （2）， ， ， 等式两边同除以，得 ， 即， 根据题中结论得， 解得． 15．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为____． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算的新定义问题。根据新定义，将和转化为指数形式，再利用同底数幂的乘法性质建立与的关系 【详解】解：由，得. 由，得. ∵， ， . 16．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再进行加减运算； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 18．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 19．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 20．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】（1）由可得，然后将变形为代入计算即可； （2）由，得出，进而可求出的值． 【详解】（1）解：由可得， 所以 ； （2）解：因为， 所以， 所以． 21．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）对于任意有理数，定义一种幂的新运算：．例如：．请根据上述运算规则解答下列问题： (1)求的值； (2)已知 ，求的值． 【答案】(1)5 (2)73 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义运算即可． 【详解】（1）解：由题意知：； （2）解：∵， ∴． 22．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立，证明如下： 设，，则，．． ，即． (1)根据上述规定，填空：①，； ②若，则． (2)计算：，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)①5；3  ② (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）①②根据“雅对”定义解答即可； （2）设，，仿照题干所给例子解答即可； （3）由已知得出，，整理可得结论． 【详解】（1）解：①，； ，； ②，，； （2）设，，则，， ， ，即； （3）证明：，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 23．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $