15.3 等腰三角形（预习讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形核心知识点，系统梳理等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）、判定（定义法、等角对等边）、尺规作图，延伸至等边三角形的性质与判定及含30°角的直角三角形性质，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过13个题型分层设计例题与变式题，结合图形直观培养几何直观与空间观念，证明题强化推理意识，尺规作图提升抽象能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，落实核心素养培养。

第十五章 轴对称 03讲 等腰三角形 题型归纳 【题型1. “等边对等角”的应用 3】 【题型2. “三线合一”的应用 7】 【题型3. “等角对等边”的应用 11】 【题型4. 等腰三角形的性质与判定综合——求长度 16】 【题型5. 等腰三角形的性质与判定综合——求角度 21】 【题型6. 等腰三角形的性质与判定综合——证明 24】 【题型7. 作等腰三角形 30】 【题型8. 等边三角形的性质 33】 【题型9. 等边三角形的判定 36】 【题型10. 等边三角形的性质与判定综合——求长度 41】 【题型11. 等边三角形的性质与判定综合——求角度 49】 【题型12. 等边三角形的性质与判定综合——证明 52】 【题型13. 含30°角的直角三角形性质 59】 【巩固练习 66】 知识清单 知识点1 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 【注意】 ① 沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合； ② 等腰三角形是轴对称图形； ③ 底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. 知识点2 等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 知识点3 尺规作图——作等腰三角形 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 知识点4 等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 ① 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ② 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点5 等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点6 含30°角的直角三角形性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 题型专练 题型1. “等边对等角”的应用 【例1】等腰三角形的一个角为，则它的其它两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．，或， 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪个角是底角哪个角是顶角时，应分类讨论． 等腰三角形有两个角相等，已知一个角为，需分该角是顶角或底角两种情况讨论． 【详解】∵ 三角形内角和为，且等腰三角形有两角相等， 若为顶角，则两底角相等， ∴ 每个底角， 若为底角，则另一底角也为， ∴ 顶角， 因此，其他两个角为和或和，故D正确． 故选：D． 【例2】在中，，，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式1】等腰三角形中，有一个角是，那么此三角形是(   ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，当是顶角时，两个底角都等于；当是底角时，另一个底角也是，顶角是，据此解答． 【详解】解：若是顶角时，两个底角为： ． 此时，该三角形为锐角三角形； 若是底角时，它的另外一个底角为， 顶角为：， 此时，该三角形为钝角三角形； 综上所述，该三角形为锐角三角形或钝角三角形． 故选：D． 【变式2】如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形两底角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【变式4】如图，在中，，点在边上，交于点，，求的度数．    【答案】的度数为． 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，由平行线的性质和等腰三角形的性质求出，则，从而求解，掌握平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 题型2. “三线合一”的应用 【例1】如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 【例2】如图，在中，，于点D，在上取一点E，使，连接．若，求的度数．    【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 【变式1】如图，在中，，平分，若，则（   ） A．5 B．6 C．10 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，等腰中，为底边中线，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一及直角三角形两锐角互余．先通过已知条件利用等腰三角形三线合一定理得出，平分，再由已知条件求出的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质得出结果． 【详解】解：∵为等腰三角形，为的中线， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．则当_______时，以点B，P，D为顶点的三角形与全等． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，，， ∵， ∴； 当时， ∴． 故答案为：2或4． 【变式4】如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【变式5】如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的长为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由证明即可解决问题． （2）由全等三角形的性质得到，得，即可推出结论． （3）得出即可解决问题． 【详解】（1）证明：中，，点为中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ； （2）证明：， ， ． （3）解：， ， 由（1）知，， 四边形的面积. 题型3. “等角对等边”的应用 【例1】在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出的度数，进而得到，再由即可得到是等腰直角三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 【例2】如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质，等量代换得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键．运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：B 【变式2】如图，在中，，于点D，若，则的周长是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，D是的中点，连接，平分，过点M作，交于点N． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可知的度数； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明． 【详解】（1） 解：∵中，，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式4】如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，求线段的长．    【答案】13 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出，，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得． 【详解】解：平分， ； 平分， ； ， ，； ，， ，； ，， ． 【变式5】如图，在中，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线，分别交于点E，F，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质；由平行得到相等角是解题的关键． 根据角平分线定义，得，由平行知，，故，得．于是的周长为． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 同理，． ∴的周长为． 题型4. 等腰三角形的性质与判定综合——求长度 【例1】如图，在中，的平分线交于点，，若，则线段的长度是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据的平分线交于点得出，再由得出，可得出，进而得出结论． 【详解】解：∵的平分线交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】如图，在中，平分平分，且交于M，若，则________． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出，是解决本题的关键． 根据题意得出，确定，再由等角对等边即可求解． 【详解】解：平分平分 ∵， ，， ， ，． ， 故答案为：10． 【变式1】如图，的两个角平分线交于点，过点作的平行线交、于点、，已知，，则的周长为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质得，进而得，同理，则，由此可求出的周长． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ， ， 同理：， ， ． 故选：A． 【变式2】如图，已知的面积为24，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，等腰三角形，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式即可得到，结合题意求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， 故选：C． 【变式3】如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，及平行线的性质，由为角平分线，得到一对角相等，再由平行于，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，而三角形的周长等于三边相加，即，其中，，等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和，即等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4】如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长是________．    【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形，进而将三角形的周长进行转化． 因为平分，所以；又因为，所以，从而可得，故．同理可得，．由此的周长，代入数值即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得，． ∵的周长 ． ∵， ∴的周长． 故答案为：． 【变式5】如图，的平分线与的外角的平分线相交于，过作，交于，交于，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，继而得到，，得到，，计算即可得到答案． 【详解】解：、分别平分、， ， ， ，， ，， ，， ． 题型5. 等腰三角形的性质与判定综合——求角度 【例1】如图，已知中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理准确计算是解答本题的关键． 根据题意，得到，利用等腰三角形的性质，得到，，进而得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， 同理， 则， ， 故选：． 【例2】如图，中，，．以点为圆心，任意长为半径画弧，与，相交于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线与相交于点．若，则________°． 【答案】65 【分析】本题考查作图基本作图，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．证明，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知平分， ， ， ， ． 故答案为：65． 【变式1】如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作，利用平行线的性质可得，根据等腰直角三角形的性质可得，求得即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 【变式2】如图，在等腰三角形中，，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理． 根据等腰三角形的性质由已知可求得的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”．如图，是一个“黄金三角形”，是的角平分线，延长到点，使得，则的度数为__________． 【答案】/36度 【分析】本题考查了“黄金三角形”的定义、等腰三角形的性质、角平分线定义以及三角形内角和定理等知识．由“黄金三角形”的定义得，，再由角平分线定义得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：是一个“黄金三角形”，， ，， 是的角平分线， ， 又， ， 故答案为：． 【变式4】如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质． 利用等腰三角形的三线合一，得出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴． ∴的度数为． 题型6. 等腰三角形的性质与判定综合——证明 【例1】已知：在中，，是的角平分线． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，涉及了三角形的内角和定理，注意角度计算的准确性． （1）根据、、即可求解； （2）求出证即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∵是的角平分线． ∴ ∴ ∴ （2）证明：由（1）得：，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【例2】如图所示，和的平分线相交于F，过F 作，交于D，交于E，求证：    (1)是等腰三角形 (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等， （1）利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出，即可证出是等腰三角形； （2）同（1）证出：是等腰三角形，所以得到，从而得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵是等腰三角形， ∴， 同理：是等腰三角形， ∴， ， ． 【变式1】如图，的两条高、相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，过点F作，交边于点G，求证：． 【答案】(1)证明：∵、分别是、边上的高， ∴； ∵，， ∴， 在与中 ，． ∴ ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，再利用“”证明全等即可； （2）利用等腰三角形的判定和性质，得出，进而证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 【变式3】已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点F，交于点E，平分交于点H，交于点G．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等，对顶角相等，证明即可； （2）由（1）知，得到为等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一性质证明即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴ ； （2）解：由（1）知， ∴为等腰三角形， 又∵平分， ∴； 题型7. 作等腰三角形 【例1】在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 故选：C． 【变式1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【详解】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 【变式2】如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 【变式3】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 题型8. 等边三角形的性质 【例1】如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且．则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形的外角，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，运用三角形的外角性质得，再由等角对等边，解答即可． 【详解】解：∵等边的边长，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】如图，等边中，是边上的中线，，则______度． 【答案】15 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．利用等边三角形的性质求得，，利用等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】解：∵等边，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 【变式1】已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 证明，可判断，可判断①；根据题意可得，可判断③；由，可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意无法确定的度数， ∴无法确定的度数， ∴无法得到的大小关系，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 故选：D 【变式2】如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 【变式3】如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 【变式4】如图，已知是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角和三角形外角的性质，由等边三角形的性质得到，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型9. 等边三角形的判定 【例1】已知，点P在内部，点是点P关于的对称点，点是点P关于的对称点，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解． 【详解】解：∵P为内部一点，点P关于的对称点分别为， ∴且， ∴是等边三角形．如图， 故选：D． 【例2】如图，在中，是的延长线上一点，分别交，于点，，，，是中点，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形，详见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质及等边三角形的判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据等边三角形的判定可进行求解． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式1】如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当时，可证明此时是等边三角形，当时，是等腰三角形；再讨论讨论为等腰三角形时，符合题意的点D个数即可得到答案． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【变式2】若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是______三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查偶次方的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴这个三角形一定是等边三角形， 故答案为：等边． 【变式3】如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等可得，，由角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）由等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质可得，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【变式4】如图，已知线段，相交于点，连接，，，． (1)请你添加下面一个条件：______，证明； ①  ②  ③ (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据得，从而得到，再证明，即可由等边三角形的判定得出结论． 【详解】（1）添加的条件：或或(答案不唯一，任意写一种即可)； 证明：添加：， 在和中， ， ； 添加：， 在和中， ， ∴； 添加：， 在和中， ， ∴； （2）由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 题型10. 等边三角形的性质与判定综合——求长度 【例1】如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形的判定及其性质，折叠的性质，由折叠可知，，则，然后证明为等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：． 【例2】在数学实践课上，老师带领同学们通过折纸计算数学问题：将直角三角形纸片按照如图所示方式折叠，使点均与上的点重合，翻折后与交于点，折痕分别为．已知，的长为，则的周长为______． 【答案】18 【分析】本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，利用折叠的性质和等边三角形的判定，说明是等边三角形，进而解决问题． 【详解】解：由折叠的性质知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为， 故答案为：18． 【例3】如图，在四边形中，．，，点E在边上，连接，相交于点F，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）证明，得．再结合平行线的性质，证得 ，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）解： ， 在和中， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，证明是解题的关键． 【变式1】如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时B，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，连接，证明是等边三角形，即可求解，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为________． 【答案】11 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定与性质．作点Q关于的对称点，连接，则，则，可得当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，从而得到的最小值为的长，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为11． 故答案为：11 【变式3】如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明为等边三角形，进而推出，即可得证； （2）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：为等边三角形， ∴， 又， ∴． 【变式4】（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在上，且，于点D，于点E．请直接写出线段之间的关系； （2）若（1）中，且，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否仍成立？请说明理由． （3）在（2）的条件下，过点B作，交于点F，连接，如图3，若，求的长． 【答案】（1）；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握定理内容寻找条件证是解决此题的关键． （1）证即可； （2）结合（1）中证明过程证证即可； （3）根据条件可推出为等边三角形、为等边三角形，结合即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）（1）中结论不成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由（2）中得，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴ 题型11. 等边三角形的性质与判定综合——求角度 【例1】如图，在中，点在边上，点在上，垂直平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形判定与性质及三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题关键，先判定是等边三角形，是等腰直角三角形，再利用外角性质求出即可． 【详解】解：连接， 垂直平分，且， ，， 是等边三角形，是等腰直角三角形， ， ， 故选：B 【例2】如图，在中，，E是内一点，F是上一点，，平分分别交于点D、H，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理。熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，再证明为等边三角形得到，进而根据三角形的内角和为，结合对顶角相等可得． 【详解】解：∵，平分， ∴， 即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等腰三角形上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质两直线平行，同位角相等；先求出三角形是等边三角形利用外角的定义可求得，再利用三角形内角和求出，再由平行线的性质可得 【详解】解∶如图 三角形是等腰三角形， 三角形是等边三角形， ， ， ， ． 太阳光线平行照射在放置于地面的正三角形上， ． 故选：B． 【变式2】如图，若，则的度数为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，先证明是等边三角形，得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为；． 【变式3】如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在与中， ， 所以； (2) 【分析】（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 题型12. 等边三角形的性质与判定综合——证明 【例1】如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得到，，，进而得到，即可得证； （2）在上取点Q使得，连接，得为正三角形，得到，，证明，得到，根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵与是正三角形， ∴，，， ∴， 在与中 ， ∴； （2）在上取点Q使得，连接，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为正三角形， ∴，， 又∵为正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 【变式1】在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角，等边三角形的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），先根据全等三角形的性质得，，再根据“等边对等角”得，则答案可证； 对于（3），根据全等三角形的对应角相等得，进而得出， 再根据“有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形”得出答案. 【详解】（1）证明：在和中，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）证明：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴为等边三角形． 【变式2】已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ，， 又， ， ； （2）证明： ， ， 又 ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ． 【变式3】是等边三角形，点D在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点D作，分别交、于点E、F，连接，延长交于点G． ①求证：； ②若，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解，②的周长10 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）延长交于点M，利用证明，则，结合等边三角形的性质得； （2）①由等边三角形和已知得到，，，可证明； ②延长和交和于点Q和P，在上取一点K，使，连接，由①知∶，，结合等边三角形的性质得和，，，进一步证明，有，即可证明，有，再次证明，即有，结合三角形周长计算即可． 【详解】（1）证明：延长交于点M，如图1， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （2）证明：①∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是顶角为的等腰三角形， ∴， ∴，即， 则； ②延长和交和于点Q和P，在上取一点K，使，连接，如图， 由①知∶，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， 则的周长 ． 题型13. 含30°角的直角三角形性质 【例1】在中，，，， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可计算的长度． 【详解】∵ 在中，，，， ∴ 是的斜边，是角所对的直角边， ∴ ． 【例2】如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理．掌握等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”及“直角三角形角所对直角边是斜边的一半”是解题关键．首先，根据等腰三角形“等边对等角”的性质及，得到，进而得到，接着，根据，得，可证，最后，根据“直角三角形角所对直角边是斜边的一半”可得，进而可求得的长． 【详解】解：∵ ，， ∴． ∴． ∵ ， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． 故选：C． 【变式2】如图，一棵树在一次强台风中折断，已知折断处与地面的距离为，倒下部分与地面的夹角为，则这棵树在折断前的高度是______m（假设该树在折断前与地面垂直）． 【答案】6 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图，根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 即这棵树在折断前的高度是． 故答案为：6． 【变式3】如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上．    (1)求从海岛到灯塔的距离； (2)如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？ 【答案】(1)60海里 (2)11时 【分析】本题考查了直角三角形的特征、方向角： （1）利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求解； （2）利用直角三角形的特征得，再根据速度、时间及路程的关系即可求解； 熟练掌握直角三角形的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， （海里）， 答：从海岛到灯塔的距离为60海里． （2）作，垂足为H． ， ， ， ， （）， （）， 答：11时，船距离灯塔C最近．    【变式4】如图所示，中：    (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， 设，则，， ， ，   ； （2）如图，作于点，   ，， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式5】如图，在和中，，且点在上，交于点，连接，若． (1)求的度数； (2)请用等式表示和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质． （1）根据证明，得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解； （2）先求出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 理由：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 巩固练习 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到答案. 【详解】A、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形． ∵对应角相等的三角形不一定全等（可能只是相似），∴逆命题是假命题，不符合题意． B、原命题：三角形的中位线平行于第三条边， 逆命题是平行于三角形第三条边的线段是三角形的中位线． ∵该线段需要同时满足端点平分三角形另两条边才是中位线，∴逆命题是假命题，不符合题意． C、原命题：直角三角形的两锐角互余， 逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形． ∵三角形内角和为，两锐角互余即两锐角和为，则第三个角为， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意． D、原命题：等边三角形是等腰三角形， 逆命题是等腰三角形是等边三角形． ∵等腰三角形只有两条边相等，不一定是等边三角形，∴逆命题是假命题，不符合题意． 选C． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断底和腰，再利用三线合一求解即可． 【详解】解：如图， ∵等腰中，． ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 3．（25-26九年级下·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】连接，当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则，由三线合一定理和等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则， 又∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，于点D，的角平分线交于点E，交于点F，平分交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④为等腰三角形．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】据等角的余角相等可得，再由三角形外角的性质，可判断①；证明，但根据题意无法得到的大小，可判断②；根据等腰三角形三线合一的性质得出，可判断③；证明，可得，可判断④． 【详解】解： ，， ，， ， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ，， 平分， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 根据题意无法得到的大小， 所以无法确定与的大小关系，故②错误； ，且平分， 是等腰顶角的角平分线， 根据等腰三角形“三线合一”性质，得垂直平分，故③正确． 平分，， ，， ， ， 是等腰三角形，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 6．（2026·北京平谷·一模）如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（   ） A．152° B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得，平分，，可得，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分，， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论： ； ； ； ，其中正确结论的序号是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，则，再通过三角形的外角性质即可判断；设，则，所以，再通过角度和差，即可判断；由，则有，可得，即，即可判断；延长到，使，连接，证明，，通过全等三角形的性质等知识，即可判断． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，故错误； ， 设，则， ， ， ， ， 又， ，故正确； ， ， ， ，即， ， ，故错误； 延长到，使，连接，如图， 又，， ， ， 又，， ，即， 又， ，即， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ，故正确， 综上可得：正确． 8．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 【答案】C 【分析】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明；②④，结合条件可证明，则有，，可得；③可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得，结合，可知F不可能为中点．⑤假设G为的中点，先证明，可得，据此推出矛盾，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵为边边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，故④正确； 在中，， ∵， ∴， ∴F不是的中点，故③不正确； 假设G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴与、相交相矛盾， 故假设错误，即G不是的中点，故⑤错误， 即正确的有①②④． 9．（25-26七年级下·四川·期中）如图，在一个面积为16的等边三角形纸片中取三边的中点，若连接各个中点．则阴影部分的面积是______． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的中位线分割与面积计算，解题的关键是理解连接三边中点后原三角形被等分为4个全等小等边三角形，再结合阴影部分的组成计算总面积． 先利用中位线性质，将原等边三角形分成4个面积相等的小等边三角形，每个面积为原三角形的；再根据阴影部分的构成，计算两部分阴影的面积和． 【详解】解：连接等边三角形三边中点，原三角形被分成4个全等的小等边三角形，每个小等边三角形的面积， 其中1个完整小等边三角形为阴影，面积为4； 该小等边三角形被高分成2个全等的直角三角形，每个面积为，其中1个直角三角形为阴影，面积为2；阴影部分总面积， 故答案为：． 10．（2026·重庆·模拟预测）如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 【答案】 /度 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质求出，再结合等腰三角形两底角相等求出，最后根据角平分线的定义算出的度数． 【详解】解：∵，是的中线， ∴根据等腰三角形三线合一，可得平分， ∴ ∴等腰中，底角 ∵是角平分线，平分， ∴． 11．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，，，平分交于点D，若，则_________． 【答案】8 【分析】先计算出得到，则，再利用含30度的直角三角形的性质得到，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 【答案】6 【分析】连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为线段上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为，即线段的最小值为． 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，D是等边内一点，连接，以为边作等边，使得点E在直线的右侧，若，，且是以为腰的等腰三角形，则x与y的关系是________． 【答案】 或 【分析】证明，得到，根据周角的定义和等边三角形的性质表示出和的度数，分和两种情况，结合等边对等角和三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：和是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况： ①当时，， 在中，， ， 解得； ②当时，， 在中，， ， ， ， ， 解得； 综上所述，与的关系是或． 故答案为或． 14．（25-26八年级下·山西晋中·期中）已知：如图，在中，、是边、边上的高，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由垂直定义可得，然后通过“”证明即可； （）由，所以，，则，然后通过线段的和与差即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，则；由得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求解； （2）根据三角形的周长公式可得，推出；根据可得的周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∴cm， ∴， 又∵， ∴cm， ∵， ∴的周长． 16．（2026·四川南充·一模）已知：如图，相交于点O，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意可证明，继而利用全等性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：在和中， ． ． ． 17．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由线段垂直平分线的定义，可得，，可得，利用“”即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，可得，由全等三角形的性质，可得，结合已知可得是等边三角形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 19．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，点是线段上的一个动点． (1)若，求证：； (2)若，点移动至时，求证：．（可使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，，结合已知，根据等角的余角相等，即可得证； （2）根据三角形的外角的性质可得，则，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：如图， ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 20．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余可得，最后根据等边三角形的判定定理即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，，由直角三角形的两锐角互余可得，再由含角直角三角形的性质可得的长，最后根据线段的和差关系即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 21．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，于点D，点F在线段AD上，连接BF，，点E在BF上，连接DE，． (1)求证：； (2)若，，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，证明是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在与中，，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 22．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图：在中，，于点，、分别为、上的点，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． （1）根据等腰直角三角形的性质确定出，即可证明； （2）根据三角形外角的性质先求出的角度，再根据（1）中的全等即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作，交的延长线于点，先证明得到，再证明，得到，根据三角形面积公式即可求解； （3）延长至，使，连接，，证明，得到，，证明，得到，，进而得到，再求得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 又∵， （2）解：过点作，交的延长线于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接，，如图： ，，， ， ，， ，， ， 又，， ， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 03讲 等腰三角形 题型归纳 【题型1. “等边对等角”的应用 3】 【题型2. “三线合一”的应用 4】 【题型3. “等角对等边”的应用 6】 【题型4. 等腰三角形的性质与判定综合——求长度 7】 【题型5. 等腰三角形的性质与判定综合——求角度 9】 【题型6. 等腰三角形的性质与判定综合——证明 10】 【题型7. 作等腰三角形 12】 【题型8. 等边三角形的性质 13】 【题型9. 等边三角形的判定 14】 【题型10. 等边三角形的性质与判定综合——求长度 16】 【题型11. 等边三角形的性质与判定综合——求角度 19】 【题型12. 等边三角形的性质与判定综合——证明 20】 【题型13. 含30°角的直角三角形性质 22】 【巩固练习 24】 知识清单 知识点1 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 【注意】 ① 沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合； ② 等腰三角形是轴对称图形； ③ 底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. 知识点2 等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 知识点3 尺规作图——作等腰三角形 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 知识点4 等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 ① 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ② 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点5 等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点6 含30°角的直角三角形性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 题型专练 题型1. “等边对等角”的应用 【例1】等腰三角形的一个角为，则它的其它两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．，或， 【例2】在中，，，则______． 【变式1】等腰三角形中，有一个角是，那么此三角形是(   ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式2】如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【变式4】如图，在中，，点在边上，交于点，，求的度数．    题型2. “三线合一”的应用 【例1】如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【例2】如图，在中，，于点D，在上取一点E，使，连接．若，求的度数．    【变式1】如图，在中，，平分，若，则（   ） A．5 B．6 C．10 D．13 【变式2】如图，等腰中，为底边中线，若，则的度数为________． 【变式3】在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．则当_______时，以点B，P，D为顶点的三角形与全等． 【变式4】如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5】如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的长为，求四边形的面积． 题型3. “等角对等边”的应用 【例1】在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例2】如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 【变式1】如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 【变式2】如图，在中，，于点D，若，则的周长是_________． 【变式3】如图，在中，，D是的中点，连接，平分，过点M作，交于点N． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【变式4】如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，求线段的长．    【变式5】如图，在中，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线，分别交于点E，F，求的周长． 题型4. 等腰三角形的性质与判定综合——求长度 【例1】如图，在中，的平分线交于点，，若，则线段的长度是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【例2】如图，在中，平分平分，且交于M，若，则________． 【变式1】如图，的两个角平分线交于点，过点作的平行线交、于点、，已知，，则的周长为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 【变式2】如图，已知的面积为24，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．2 C．4 D．8 【变式3】如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为_______． 【变式4】如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长是________．    【变式5】如图，的平分线与的外角的平分线相交于，过作，交于，交于，若，，求的长． 题型5. 等腰三角形的性质与判定综合——求角度 【例1】如图，已知中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【例2】如图，中，，．以点为圆心，任意长为半径画弧，与，相交于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线与相交于点．若，则________°． 【变式1】如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在等腰三角形中，，，，则的度数为__________． 【变式3】顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”．如图，是一个“黄金三角形”，是的角平分线，延长到点，使得，则的度数为__________． 【变式4】如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 题型6. 等腰三角形的性质与判定综合——证明 【例1】已知：在中，，是的角平分线． (1)求证：； (2)求证：． 【例2】如图所示，和的平分线相交于F，过F 作，交于D，交于E，求证：    (1)是等腰三角形 (2) 【变式1】如图，的两条高、相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，过点F作，交边于点G，求证：． 【变式2】如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【变式3】已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点F，交于点E，平分交于点H，交于点G．求证： (1)； (2)． 题型7. 作等腰三角形 【例1】在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式3】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型8. 等边三角形的性质 【例1】如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且．则的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，等边中，是边上的中线，，则______度． 【变式1】已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【变式2】如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 【变式4】如图，已知是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，，求的度数． 题型9. 等边三角形的判定 【例1】已知，点P在内部，点是点P关于的对称点，点是点P关于的对称点，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例2】如图，在中，是的延长线上一点，分别交，于点，，，，是中点，．试判断的形状，并说明理由． 【变式1】如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式2】若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是______三角形． 【变式3】如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 【变式4】如图，已知线段，相交于点，连接，，，． (1)请你添加下面一个条件：______，证明； ①  ②  ③ (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 题型10. 等边三角形的性质与判定综合——求长度 【例1】如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】在数学实践课上，老师带领同学们通过折纸计算数学问题：将直角三角形纸片按照如图所示方式折叠，使点均与上的点重合，翻折后与交于点，折痕分别为．已知，的长为，则的周长为______． 【例3】如图，在四边形中，．，，点E在边上，连接，相交于点F，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【变式1】如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时B，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为________． 【变式3】如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式4】（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在上，且，于点D，于点E．请直接写出线段之间的关系； （2）若（1）中，且，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否仍成立？请说明理由． （3）在（2）的条件下，过点B作，交于点F，连接，如图3，若，求的长． 题型11. 等边三角形的性质与判定综合——求角度 【例1】如图，在中，点在边上，点在上，垂直平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，，E是内一点，F是上一点，，平分分别交于点D、H，求的度数． 【变式1】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等腰三角形上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，若，则的度数为______________． 【变式3】如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型12. 等边三角形的性质与判定综合——证明 【例1】如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1】在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【变式2】已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 【变式3】是等边三角形，点D在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点D作，分别交、于点E、F，连接，延长交于点G． ①求证：； ②若，求的周长． 题型13. 含30°角的直角三角形性质 【例1】在中，，，， 则（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一棵树在一次强台风中折断，已知折断处与地面的距离为，倒下部分与地面的夹角为，则这棵树在折断前的高度是______m（假设该树在折断前与地面垂直）． 【变式3】如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上．    (1)求从海岛到灯塔的距离； (2)如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？ 【变式4】如图所示，中：    (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求边上的高． 【变式5】如图，在和中，，且点在上，交于点，连接，若． (1)求的度数； (2)请用等式表示和的数量关系，并说明理由． 巩固练习 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（25-26七年级下·重庆·期中）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，于点D，的角平分线交于点E，交于点F，平分交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④为等腰三角形．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2026·北京平谷·一模）如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（   ） A．152° B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论： ； ； ； ，其中正确结论的序号是（） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 9．（25-26七年级下·四川·期中）如图，在一个面积为16的等边三角形纸片中取三边的中点，若连接各个中点．则阴影部分的面积是______． 10．（2026·重庆·模拟预测）如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 11．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，，，平分交于点D，若，则_________． 12．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，D是等边内一点，连接，以为边作等边，使得点E在直线的右侧，若，，且是以为腰的等腰三角形，则x与y的关系是________． 14．（25-26八年级下·山西晋中·期中）已知：如图，在中，、是边、边上的高，且．求证： (1)； (2)． 15．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 16．（2026·四川南充·一模）已知：如图，相交于点O，，． 求证：． 17．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 18．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 19．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，点是线段上的一个动点． (1)若，求证：； (2)若，点移动至时，求证：．（可使用备用图） 20．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 21．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，于点D，点F在线段AD上，连接BF，，点E在BF上，连接DE，． (1)求证：； (2)若，，求EF的长． 22．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图：在中，，于点，、分别为、上的点，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 23．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $