第11讲 等腰三角形（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第11讲 等腰三角形 （2大考点13大题型） 学习目标 1. 掌握等腰三角形的定义和性质、判定； 2. 掌握等边三角形、等腰直角三角形的性质和判定； 3. 积累最短路径问题的题型和解决思路。 考点整理 一、等腰三角形 1．等腰三角形 等腰三角形 解 释 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边． 性质 （1）两腰相等、两底角相等． （2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形和等腰直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形． 2．性质：三边都相等，三角都是． 3．判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形． 2．性质：两个底角为． 3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． 二、 垂直平分线 垂直平分线 解释 示例 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线． 如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线． 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，已知直线是线段的垂直平分线，则． 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 如图，若，则点在线段的垂直平分线上． 题型归纳 【题型1 等边对等角】 1．如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线交于点G．若，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【题型2 三线合一】 5．如图，在中，，于点D，垂直平分交于点E，交于点F，点P是线段上一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 6．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【题型3 根据等角对等边证明等腰三角形】 9．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 10．如图，在中，平分．尺规作图如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；延长，交于点、边于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 12．如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型4 根据等角对等边证明边相等】 13．如图，把一个含有角的三角尺放在平面直角坐标系中，若点A的坐标是，点B的坐标是，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，与，分别相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线；点在射线上，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点，过点作，垂足为点，下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 15．如图，四边形中，，，，，以点为圆心，长为半径作弧，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹推断，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 根据等角对等边求边长】 17．如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（     ） A． B．2 C．1 D． 19．如图，在中，平分交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧的交点，分别交，于点，，连接，．若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 20．如图，，，于点C．若，则的长为（    ）． A．12 B．10 C．6 D．8 【题型6 含30度角的直角三角形】 21．舂（）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图），一口石臼（）上架着用一根木头做成的“碓（）身”，“碓”的头部下面有杵（）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空．舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图所示．已知交于点，与碓身所在水平线相交于点，若米，，则点到的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 22．如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，连接该两点，所得直线交于点，连接．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 23．如图，在△ABC中，平分．若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 24．如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．平分 【题型7 格点图中画等腰三角形】 25．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 26．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 27．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 28．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【题型8 求与图中已知两点构成等腰三角形的点】 29．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 30．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 31．在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 32．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【题型9 等腰三角形的性质和判定】 33．如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 34．如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 35．如图，在正方形网格中有线段，点在网格的格点上，则（     ） A． B． C． D． 36．如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【题型10 等边三角形的性质】 37．如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 38．如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 39．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，若将向右继续滚动，则数轴上对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．都有可能 40．如图，点在直线上，，将一张等边三角形纸片如图放置，纸片的边在直线上平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的度数为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【题型11 等边三角形的判定】 41．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 42．下列说法中，错误的是（     ） A．三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等 B．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等 C．有一个角为60°的等腰三角形必定是等边三角形 D．等腰三角形的中线就是角平分线 43．下列命题中是真命题的是（     ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 44．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【题型12 大（小）边对大（小）角定理】 45．如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（  ） A． B． C． D． 46．在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 47．“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结论，判断下列说法： ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，那么 ④在中，如果，那么是锐角三角形 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 48．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型13 最短路径问题】 49．如图，直线外不重合的两点，，在直线上求一点，使得的长度最短，作法是：①作点关于直线的对称点；②连接交直线于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（     ） A．转化思想 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 50．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 51．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 52．如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A．B．C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 等腰三角形 （2大考点13大题型） 学习目标 1. 掌握等腰三角形的定义和性质、判定； 2. 掌握等边三角形、等腰直角三角形的性质和判定； 3. 积累最短路径问题的题型和解决思路。 考点整理 一、等腰三角形 1．等腰三角形 等腰三角形 解 释 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边． 性质 （1）两腰相等、两底角相等． （2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形和等腰直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形． 2．性质：三边都相等，三角都是． 3．判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形． 2．性质：两个底角为． 3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． 二、 垂直平分线 垂直平分线 解释 示例 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线． 如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线． 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，已知直线是线段的垂直平分线，则． 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 如图，若，则点在线段的垂直平分线上． 题型归纳 【题型1 等边对等角】 1．如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出，再得出，，然后根据三角形的内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：∵在中，边，的垂直平分线相交于点， ∴，则选项D正确； ∴，， ∴， ∴， ∴，则选项A错误； 同理可得：，则选项B正确； ∵在中，， ∴， ∴，则选项C正确． 3．如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线交于点G．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图得出角平分线，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和以及外角定理求解． 【详解】解：根据尺规作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】连接，由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，求出，再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ∵， ， ． 【题型2 三线合一】 5．如图，在中，，于点D，垂直平分交于点E，交于点F，点P是线段上一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质求出的长，根据垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，最小值为 ． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 垂直平分， ， 的周长， 两点之间线段最短， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 周长的最小值． 6．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由尺规作图可知，根据等腰三角形的性质得到、，利用三角形内角和定理求出，从而求出的度数． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， ，， ， ． 7．如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角结合三角形的内角和定理可得，由三线合一可得，结合角平分线可得，最后使用三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 8．如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）以及线段垂直平分线的判定定理，对各个选项进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， 是等腰三角形 ， 是底边上的中线 ，即，故A正确； B、， 点在线段的垂直平分线上 ， 点在线段的垂直平分线上 直线是线段的垂直平分线， ，故B正确； C 、， 是等腰三角形 ， 是顶角的平分线 ，即，故C正确； D、在和 中，已知 ，，， 这是“边边角”关系，无法判定，也就无法推出或， 因此无法得出，故D不正确． 【题型3 根据等角对等边证明等腰三角形】 9．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即可． 【详解】解：该三角形第三个内角的度数为， 最大的内角为， ∴这个三角形为锐角三角形， ∵这个三角形有两个内角相等， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 10．如图，在中，平分．尺规作图如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；延长，交于点、边于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 由作法得，， ∵， ， ∴， ∴， ∴C选项是正确的，符合题意； 根据题意无法得到与，与，与的关系， ∴A，B，D不符合题意， 故选C． 11．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和为，可得，则是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：，， ， ，即是等腰三角形， ， ． 12．如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 综上，等腰三角形共有3个． 【题型4 根据等角对等边证明边相等】 13．如图，把一个含有角的三角尺放在平面直角坐标系中，若点A的坐标是，点B的坐标是，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作关于y轴平行的直线l，作交直线l于点E，作交直线l于点D，证明，得到，分别求出点C的横、纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作关于y轴平行的直线l，作交直线l于点E，作交直线l于点D， 可知， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴点D的坐标是，， ∴， ∵把一个含有角的三角尺放在平面直角坐标系中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴点C的坐标是． 14．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，与，分别相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线；点在射线上，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点，过点作，垂足为点，下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可得是的角平分线，，再根据平行线的判定和性质、角平分线的性质逐项判断即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ∴， 故选项A正确； 由作图可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项C正确； 如图，过点Q作于点H， ∵是的角平分线，，， ∴， 在中，， ∴， 故选D不正确． 15．如图，四边形中，，，，，以点为圆心，长为半径作弧，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹推断，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图痕迹可知： 垂直平分，平分，由三角形内角和定理结合角平分线的性质可求得，根据三角形内角与边关系可判断A选项；由含角直角三角形的性质可判断B选项；由三角形外角的性质可判断C选项；由等角对等边可判断D选项． 【详解】解：由作图痕迹可知： 垂直平分，平分， ，， ， ， ， ，故选项A错误； 在中，，， ，故选项B错误； ，， ， ， ，故选项C错误； ， ， ， ，故选项D正确． 【题型5 根据等角对等边求边长】 17．如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，根据等角对等边得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而求得的长． 【详解】解：连接，如图 ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 即点A，E之间的距离为4． 18．如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（     ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】过点作，得到，由平行线的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵D是平分线上的一点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，平分交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧的交点，分别交，于点，，连接，．若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，设交于点，由作图过程知垂直平分，得，，，根据角平分线的定义及直角三角形两锐角互余推出，继而得到，可得答案． 【详解】解：如图，设交于点， 由作图过程知：垂直平分， ∴，，， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即四边形的周长为． 20．如图，，，于点C．若，则的长为（    ）． A．12 B．10 C．6 D．8 【答案】C 【分析】作于H，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴． ∴． 【题型6 含30度角的直角三角形】 21．舂（）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图），一口石臼（）上架着用一根木头做成的“碓（）身”，“碓”的头部下面有杵（）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空．舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图所示．已知交于点，与碓身所在水平线相交于点，若米，，则点到的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过点作，根据角所对直角边等于斜边一半可得结论． 【详解】解：过点作，如图， ∵米，， ∴（米）， 所以，点到的距离为0.75米． 22．如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，连接该两点，所得直线交于点，连接．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，由含30度直角三角形的性质得出． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23．如图，在△ABC中，平分．若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用角平分线的性质得到，从而得到，最后根据“在直角三角形中，所对边是斜边的一半”求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】因为，，，可得，，，逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，故B选项正确； ∵，∴不平分，故D选项错误； ∵，∴与不平行，故C选项错误； ∵，故A选项错误． 【题型7 格点图中画等腰三角形】 25．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案. 【详解】解：如图， ∴当是等腰三角形，则符合条件的格点P共有个. 26．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个， 故选：D． 27．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 28．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 【题型8 求与图中已知两点构成等腰三角形的点】 29．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得． 【详解】解：如图， 则除此之外还能画出符合条件的点共有4个， 故选：C． 30．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 31．在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 32．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 【题型9 等腰三角形的性质和判定】 33．如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，利用角平分线和平行线的性质证明、、均为等腰三角形，进而用a，b表示出的各条边长，最后合并化简即可． 【详解】解： ∴， 平分 ， ，， ，， ， ， ， ， ∴， ， 的周长． 34．如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质得，，进而得，再求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．如图，在正方形网格中有线段，点在网格的格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明得到，，可证明，进而得到，再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由网格的特点可得，，， ， ，， ， ， ， ， ． 36．如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据作图可知垂直平分，，结合垂直平分线的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质，可得，，然后计算的周长即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴周长 ． 【题型10 等边三角形的性质】 37．如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，首先根据等边三角形的性质可得，结合平行线的性质确定，进而可得，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【详解】解：如下图，设直线交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴． 38．如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 39．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，若将向右继续滚动，则数轴上对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．都有可能 【答案】A 【分析】根据题意可知等边三角形边长为1，滚动一周距离为3，顶点落点呈周期性变化． 计算2026与起始点的距离，除以3看余数即可确定对应顶点． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴每滚动一周，向右移动3个单位长度， ∵， ∴数轴上对应的点是点． 40．如图，点在直线上，，将一张等边三角形纸片如图放置，纸片的边在直线上平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的度数为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况，和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵纸片的边在直线上平移， ∴或， ∴当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，有和两种情况， 当时，则：， ∴； 当时，如图，则， ∴； 综上：的度数为或. 【题型11 等边三角形的判定】 41．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 42．下列说法中，错误的是（     ） A．三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等 B．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等 C．有一个角为60°的等腰三角形必定是等边三角形 D．等腰三角形的中线就是角平分线 【答案】D 【分析】结合三角形内心、外心的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 三角形三条内角平分线的交点是内心，内心到三边的距离相等， 故A选项说法正确，不符合题意； ∵ 三角形三边垂直平分线的交点是外心，外心到三个顶点的距离相等， 故B选项说法正确，不符合题意； ∵ 根据等边三角形的判定定理，有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形， 故C选项说法正确，不符合题意. ∵ 等腰三角形只有底边上的中线才是顶角的角平分线，腰上的中线不是角平分线， 故D选项说法错误，符合题意． 43．下列命题中是真命题的是（     ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理，逐项判断命题真假即可解答． 【详解】解：A 选项，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，该命题是真命题，符合题意； B 选项，只有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，仅一个角为的三角形不一定是等边三角形，该命题是假命题，不符合题意； C 选项，只有等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，选项未说明三线的位置，该命题是假命题，不符合题意； D 选项，两个锐角分别相等的两个直角三角形只有角对应相等，没有边对应相等的条件，不满足三角形全等的判定要求，该命题是假命题，不符合题意． 44．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 【题型12 大（小）边对大（小）角定理】 45．如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过折叠的性质，通过比较与的大小，即可判断与的大小，从而求解． 【详解】解：、如图， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， ∴， ∴，不符合题意； 、由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， 无法确定与的大小，从而无法确定与的大小，符合题意． 46．在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点． 根据等腰三角形的性质即可判断B、C、D，可得，则，再根据大角对大边分析判断A即可． 【详解】解：由题意得，，即 ∵， ∴，， 即，故B、C、D正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A错误，符合题意 故选：A． 47．“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结论，判断下列说法： ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，那么 ④在中，如果，那么是锐角三角形 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查三角形的边角关系，三角形的分类，等边三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据“大边对大角”的性质及三角形内角和定理判断各说法；①③④正确，②错误． 【详解】解：∵在中，， ∴根据大边对大角，对，对，对， ∴，故①正确． ∵且， ∴且， 又∵， ∴， 若，则为钝角三角形，故②错误． ∵， ∴， 又∵最小，对应对角最小， ∴，故③正确． ∵， ∴为等边三角形，所有角均为，为锐角三角形，故④正确． ∴正确的个数为3． 故选C． 48．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 【题型13 最短路径问题】 49．如图，直线外不重合的两点，，在直线上求一点，使得的长度最短，作法是：①作点关于直线的对称点；②连接交直线于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（     ） A．转化思想 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】解：∵点B和点关于直线l对称，且点C在l上， ∴， ∵交l于C，且两条直线相交只有一个交点， ∴，即． 任取直线l上一点，与点C不重合，则， 即是的最小值． 综上，用到的知识或方法有转化思想、两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边； 没有用到的知识或方法是：垂线段最短． 50．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 51．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作点关于对称的点，连接，与交于点，根据“将军饮马”模型，得出此时取得最小值，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，作点关于对称的点，连接，与交于点， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴点在上， ，， ， 此时，取得最小值． ，， 点为的中点， 平分， ． 52．如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．根据长方体的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可． 【详解】解：蚂蚁爬行的最短路线如图所示： 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $