7.3 频率与概率课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦“频率与概率”核心内容，通过掷硬币情境及历史实验数据导入，衔接古典概型对称性，搭建从具体频率到抽象概率的学习支架，系统梳理频率稳定性、与概率的区别联系及估计方法。 其亮点在于以情境问题驱动，分题型精研概率意义、频率估计概率及实际应用，结合通性通法总结，培养数学抽象、逻辑推理与数据意识。如通过天鹅数量估计实例，帮助学生理解概率应用，教师可借此提升教学效率，学生能深化对随机现象的理性认知。

§3　频率与概率 新课程标准解读 核心素养 结合实例，会用频率估计概率 数学抽象、逻辑推理 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是 一样的，都是 .很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样 的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有 更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型 的对称性.体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地.为了 解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果 可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近 ，我 们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固 定在 处，即正面和反面出现的概率都为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 【问题】　你知道频率与概率有什么关系吗？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　频率与概率 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率通 常会在 附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有 ⁠ .这时，把这个 叫作随机事件 A 的概率，记作 P （ A ）. 显然， ≤ P （ A ）≤ .我们通常用频率来估计概率. 某个常数　 稳定 性　 常数　 0　 1　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的 重复试验得到某个事件的频率会不同.而概率是一个确定的常数，是 客观存在的，与每次试验无关；（2）频率是概率的近似值，随着试 验次数的增加，频率会越来越接近概率. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一 样吗？ 提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性 的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试 验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的 概率都是一样的. 2. 怎样根据频率求事件发生的概率？ 提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估 计概率. 【想一想】 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10 件是次品. （　×　） （2）做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现 正面朝上的概率是 . （　×　） （3）某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化. （　×　） （4）小概率事件就是不可能发生的事件. （　×　） × × × × 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1 台是次品，若用 C 表示抽到次品这一事件，则对 C 的说法正确的是 （　　） D. 每抽10台电视机，必有1台次品 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　事件 C 发生的频率为 ，由于只做了一次试验，故不能 得出概率接近 的结论. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 某商品的合格率为99%，某人购买这种商品100件，他认为这100件 商品中一定有1件是不合格的，这种认识是 的（填“合 理”或“不合理”）. 不合理　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 概率的意义 【例1】　试从概率角度解释下列说法的含义： （1）掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是 ，是否意味着把它 掷6次能得到1次6点？ 解：把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验 的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的.这就是 说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也 可以是其他点数，不一定出现6点.所以掷一枚骰子得到6点的概 率是 ，并不意味着把它掷6次能得到1次6点. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）某种病的治愈率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能 治愈吗？如何理解治愈率是0.3？ 解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是0.3，是指随 着试验次数的增加，即治疗病人人数的增加，大约有30%的人 能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病 人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，即 有可能治愈，也可能没有治愈. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）据报道：某地发生的9级地震是“千年一遇”的大地震.在这 里，“千年一遇”是什么意思？ 解：“千年一遇”是指0.001的概率，虽然0.001的概率比较 小，但不代表没有可能；但也不能说每1 000年就一定会发生一 次9级地震. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 三个方面理解概率 （1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件 A 的本质 属性，随机事件 A 发生的概率是大量重复试验中事件 A 发生的频 率的稳定值； （2）由概率的定义我们可以知道随机事件 A 在一次试验中发生与否 是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量 上的反映； （3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的 问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某 一个具体的事件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 （多选）下列说法中，正确的是（　　） A. 某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8 B. 某人射击10次，击中靶心7次，则他击中靶心的概率是0.7 D. 某人射击击中靶心的概率是0.6，则他射击10次击不中靶心的次数 一定是为4次 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　对于A，正确，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以 他击中靶心的频率是 ＝0.8； 对于B，错误，因为某人射击10次， 击中靶心7次，只能说这一次试验击中靶心的频率为0.7，但不能说他 击中靶心的概率为0.7；对于C，正确，因为某人射击10次，击中靶心 的概率是 ，所以他可能击中靶心5次；对于D，错误，因为某人射击 击中靶心的概率是0.6，所以他击不中靶心的概率是0.4，在一次试验 中他射击了10次，不一定出现击不中靶心恰有4次.故选A、C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 利用频率估计概率 【例2】　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该 公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结 果如表所示： 目录 数学·必修第一册（BSD） 分组 频数 频率 [500，900） 223 [900，1 100） 193 [1 100，1 300） 165 [1 300，1 500） 42 [1 500，1 700） 48 [1 700，1 900） 121 [1 900，＋∞） 208 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求各组的频率； 解：频率依次是：0.223，0.193，0.165，0.042，0.048， 0.121，0.208. （2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率. 解：样本中寿命不足1 500小时的频数是223＋193＋165＋42＝ 623， 所以样本中寿命不足1 500小时的频率是 ＝0.623. 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.623. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 频率是事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值，利用此公式可 求出它们的频率.频率本身是随机变量，当 n 很大时，频率总是在 一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 2. 解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用 频率估计概率. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下： 射击次数 100 120 150 100 150 160 150 击中飞 碟数 81 95 123 82 119 129 121 击中飞 碟的频率 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）将各次记录击中飞碟的频率填入表中； 解：射击次数是100时，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是 ＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820， 0.820，0.793，0.806，0.807. （2）这个运动员击中飞碟的概率约为多少？ 解：击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟 的概率约为0.81. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 频率与概率的实际应用 【例3】　为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方 法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅 做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其 和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天 鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数 据，估计该自然保护区中天鹅的数量. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：设保护区中天鹅的数量约为 n ，假定每只天鹅被捕到的可能性是 相等的，从保护区中任捕一只，设事件 A ＝{带有记号的天鹅}，则 P （ A ）＝ ，　① 第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的 统计定义可知 P （ A ）＝ ，　② 由①②两式，得 ＝ ，解得 n ＝1 500，所以该自然保护区中天鹅 的数量约为1 500只. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们 可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情 作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似 估计总体中该事件发生的概率. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中 各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为 一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频 数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出 的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为 双. 60　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频 率分别为 ＝0.15， ＝0.175， ＝0.225. ∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－ 0.225＝0.2. ∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60 （双）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同 的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示： 鱼卵数 200 600 900 1 200 1 800 2 400 孵化出的鱼苗数 188 548 817 1 067 1 614 2 163 孵化成功的频率 0.940 0.913 0.908 ① 0.897 ② 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）？ 解： ≈0.889， ≈0.901， 所以①②对应的频率分别为0.889，0.901. （2）估计这种鱼卵孵化成功的概率； 解：从表中数据可以看出，虽然频率都不一样，但随着试验 的鱼卵数不断增多，孵化的频率稳定在0.9附近，由此可估计 该种鱼卵孵化成功的概率为0.9. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）要孵化5 000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）？ 解：设大概需要鱼卵 n 个，由题意知， ＝0.9，所以 n ＝ ≈5 600（个）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. “某彩票的中奖概率为 ”意味着（　　） A. 买1 000张彩票就一定能中奖 B. 买1 000张彩票中一次奖 C. 买1 000张彩票一次奖也不中 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用 A 表示 “投进球”这一事件，则事件 A 发生的（　　） C. 频率为8 解析：　投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事 件 A 发生的频数为8，所以事件 A 发生的频率为 ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 在进行 n 次反复试验中，事件 A 发生的频率为 ，当 n 很大时，事 件 A 发生的概率 P （ A ）与 的关系是（　　） 解析：　在进行 n 次反复试验中，事件 A 发生的频率为 ，当 n 很 大时， 越来越接近于 P （ A ），所以可以用 近似的代替 P （ A ），即 P （ A ）≈ ，故选A. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. （多选）下列说法不合理的是（　　） B. 抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的 频率更接近概率 C. 某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有 80%的区域下雨 D. 随机事件 A ， B 中至少有一个发生的概率一定比 A ， B 中恰有一个 发生的概率大 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率 是 ，其意义是掷1次就有 的可能掷得点数6，故A错误；在B中， 抛掷一枚硬币，由概率的定义得：试验200次出现正面的频率不一 定比100次得到的频率更接近概率，故B正确；在C中，某地气象局 预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的可能 性会下雨，故C错误；在D中，随机事件 A ， B 中至少有一个发生 的概率不一定比 A ， B 中恰有一个发生的概率大，如 A ＝掷一枚骰 子一次，向上的点数是偶数， B ＝掷一枚骰子一次，向上的点数是 奇数，则 A ， B 中至少有一个发生的概率的概率是1， A ， B 中恰有 一个发生的概率也是1，故D错误.故选A、C、D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝 上为事件 A ，则事件 A 出现的频率为 ⁠. 解析： ＝0.52. 0.52　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次 试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率 分别为（　　） A. 0.45，0.45 B. 0.5，0.5 C. 0.5，0.45 D. 0.45，0.5 解析：　出现正面朝上的频率是45÷100＝0.45，出现正面朝上 的概率是0.5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. “不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（　　） A. 小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防 B. 小概率事件很少发生，不用怕 C. 小概率事件就是不可能事件，不会发生 D. 大概率事件就是必然事件，一定发生 解析：　因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 已知随机事件 A 发生的频率是0.02，事件 A 出现了10次，那么共进 行了 次试验. 解析：设进行了 n 次试验，则有 ＝0.02，得 n ＝500，故进行了 500次试验. 500　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇 事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车 牌号码及颜色.该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔 纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租 车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车 辆较合理（　　） A. 甲公司 B. 乙公司 C. 甲与乙公司 D. 以上都对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　该市两家出租车公司共有桑塔纳出租车3 100辆，则甲 公司出租车肇事的概率为 P ＝ ＝ ，乙公司出租车肇事的概 率为 P ＝ ＝ ，显然乙公司肇事的概率远大于甲公司肇事的 概率.故认定乙公司肇事较合理.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的 频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.选项A，抛一枚 硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合；选项B，掷一个正六 面体的骰子，出现3点朝上概率为 ，不符合；选项C，一副去掉 大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为 ，不符合；选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一 球，取到的是黑球概率为 ，在0.3到0.4之间，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $