7.4事件的独立性 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 高中数学“事件的独立性”同步练，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，实现从单一事件概率计算到复杂情境建模的知识进阶，培养数学推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|独立事件概率公式直接应用|如第1题连续射击命中、第7题罚球命中率，强化概念理解与运算能力| |中档|对立/互斥事件结合、多事件组合|如第3题至少一人录取、第6题多选综合判断，提升逻辑推理与批判性思维| |综合|实际情境复杂事件链建模|如第14题消费额概率、第16题租车费用问题，培养数据观念与数学应用意识|

4　事件的独立性 1.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是（　　） A.0.64　　　　　　 B.0.56 C.0.81　 D.0.99 2.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）（　　） A.　 B. C.　 D. 3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（　　） A.0.12　 B.0.42 C.0.46　 D.0.88 4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是（　　） A.0.26　 B.0.08 C.0.18　 D.0.72 5.某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（　　） A.0.378　 B.0.3 C.0.58　 D.0.958 6.（多选）甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（　　） A.甲、乙都研发成功的概率为 B.疫苗A研发成功的概率为 C.疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D.仅有一款疫苗研发成功的概率为 7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为　　　　. 8.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为　　　　. 9.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为　　　　. 10.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求： （1）进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； （2）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （3）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率. 11.投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代广泛开展投壶活动，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分.投入壶耳一次得2分，现有甲、乙两人进行投壶比赛（两人投中壶口、壶耳是相互独立的），甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，得分多者赢.乙赢得这局比赛的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 12.（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（　　） A.某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有4个白球，8个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，事件A发生事件B不发生的概率与事件B发生事件A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是 13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　　　　. 14.为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老年、中年、青年三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表： 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点. （1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； （2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率. 15.甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75. （1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率； （2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率. 16.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时. （1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； （2）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4的概率. 4　事件的独立性 1.C　Ai表示“第i次击中目标”，i＝1，2，则P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝0.9×0.9＝0.81. 2.B　该学生三项均合格的概率为××＝. 3.D　设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，则两人至少有一人被录取的概率P＝1－P（ ）＝1－（1－P（A））·（1－P（B））＝1－0.4×0.3＝0.88. 4.A　甲种子发芽而乙种子不发芽的概率为0.8×0.1＝0.08.乙种子发芽而甲种子不发芽的概率为0.9×0.2＝0.18，故恰有一粒种子能发芽的概率为0.08＋0.18＝0.26. 5.D　透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为P1＝0.3，恰在第二次落地打破的概率为P2＝0.7×0.4＝0.28，恰在第三次落地打破的概率为P3＝0.7×0.6×0.9＝0.378，所以落地3次以内被打破的概率P＝P1＋P2＋P3＝0.958.故选D. 6.ACD　用A，B，C分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，则：A.根据概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝；B.由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P（）＝；C.两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P（C）＝；D.所求概率为P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝.故选A、C、D. 7.　解析：设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，所以p＝. 8.　解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因为事件M，N相互独立，所以能配成A型螺栓（即一个A型螺杆与一个A型螺母）的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝×＝. 9.0.09　解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝（1－0.4）×0.5×（1－0.4）×0.5＝0.09. 10.解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P（A）＝0.5； 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P（B）＝0.6； 记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”； 记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”； 记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”. （1）易知C＝AB，则P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.6＝0.3. （2）易知D＝（A）∪（B），则P（D）＝P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. （3）易知＝ ，则P（）＝P（）＝P（）P（）＝0.5×0.4＝0.2.故P（E）＝1－P（）＝0.8. 11.A　由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类： （1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P1＝×＝； （2）第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P2＝×＝， 所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.故选A. 12.AC　对于A，该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的情况是前2个路口都遇到绿灯，第3个路口遇到红灯，其概率为P＝××＝，故A正确；对于B，此密码被破译的对立事件是三个人都没有破译密码，∴此密码被破译的概率为P＝1－（1－）×（1－）×（1－）＝，故B错误；对于C，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为P＝×＋×＝，故C正确；对于D，设事件A发生的概率为P（A），事件B发生的概率为P（B），则事件A不发生的概率为1－P（A），事件B不发生的概率为1－P（B），依题意得解得P（A）＝，故D错误.故选A、C. 13.0.128　解析：由已知条件知，第2个问题答错，第3，4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P（A）＝0.8，故P＝P[（A＋）AA]＝[1－P（A）]·P（A）·P（A）＝0.128. 14.解：（1）设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1， 则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. （2）消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.010， 消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033， 所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045. 15.解：（1）分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件A1，A2，A3，则A1，A2，A3为相互独立事件，记事件E表示“恰有一人通过笔试”，则P（E）＝P（A1 ）＋P（A2）＋P（ A3）＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38，故恰有一人通过笔试的概率为0.38. （2）分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C， 则P（A）＝0.6×0.6＝0.36，P（B）＝0.5×0.6＝0.3，P（C）＝0.4×0.75＝0.3. 记事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则表示“甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取”，又＝， 于是P（F）＝1－P（）＝1－P（）P（）P（）＝1－0.64×0.7×0.7＝0.686 4. 故经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率为0.686 4. 16.解：甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝. （1）租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况. 都付0元的概率为P1＝×＝； 都付2元的概率为P2＝×＝； 都付4元的概率为P3＝×＝. 所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝. （2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元. 所以可得P（ξ＝4）＝×＋×＋×＝， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $