7.2.1古典概型的概率计算同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦古典概型概率计算，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一模型到跨知识综合的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|古典概型基本计算|以摸球、选景点等具体模型为主，如第1题不放回摸球，强化样本空间列举能力| |提升层|结合函数与集合的概率问题|引入对数、函数值域等知识，如第4题log_ba≥1的概率计算，提升抽象思维| |综合层|综合应用与数学建模|融合二次函数零点、“凸数”定义等，如第16题二次函数单调性与概率结合，培养数学语言表达与问题解决能力|

2.2　古典概型的应用 第一课时　古典概型的概率计算 1. (2025高二上·杭州期末) 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率 =（　　） A． B． C． D． 2.甲、乙两人一起去游览公园，他们约定各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们在同一个景点的概率是（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 3. (2025高二上·广州期末) 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  4.设a是从集合中随机取出的一个数，b是从集合中随机取出的一个数，构成一个样本点（a，b）.记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 5.（多选）一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是（　　） A.任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B.每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16 C.每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D.每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16 6. (2026春·忻州期末) 从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为　　　　. 7.若f（x）＝2x－1（x＝1，2，3，4，5，6）的值域构成集合A，g（x）＝3x＋1（x＝1，2，3，4，5，6）的值域构成集合B.任取一实数a∈A∪B，则a∈A∩B的概率是　　　　. 8.现有A，B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.小莉掷A立方体朝上的数字为x、小花掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），则她们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为　　　　. 9.连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P（A）最大时，m＝　　　　. 10. 从甲、乙、丙、丁4位同学中选取2位去参与一项公益活动，试求下列事件的概率： (1) 甲被选中； (2) 丁没被选中； (3) 甲、丁至少有1人被选中. 11. 某校数学、物理、化学、生物4个兴趣小组活动都安排在每周三下午的同一时间，甲、乙两位同学各自报名参加其中一个小组，则甲、乙参加同一个小组的概率为（　　） A.  B.  C.  D.  12.将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 13.某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是　　　　. 14. (2025秋·宝山区校级期中) 一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同． ( 1 ) 若m=2，n=3，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率． ( 2 ) 若m+n=10，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是P ( n ) ，求P ( n ) 的最大值． 15.一个三位数，它的个、十、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”（如243）.现从集合{5，6，7，8}中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 16.已知关于x的二次函数f（x）＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数组（a，b）. （1）列举出数组（a，b）对应的样本空间，并求函数y＝f（x）有零点的概率； （2）求函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增的概率. 第一课时　古典概型的概率计算 1.B　 2个红球，设为A,B；2个白球，设为a,b ．从中不放回地依次随机摸出2个球，有 {A,B},{A,a},{A,b},{B,A},{B,a},{B,b},{a,A},{a,B},{a,b},{b,A},{b,B},{b,a}, 共12种．两次都摸到红球的情况为{A,B},{B,A},共2种．则概率．故答案为：B.. 2.D　甲、乙最后一小时所在的景点共有36个样本点，甲、乙最后一小时在同一个景点共有6个样本点.由古典概型公式，知最后一小时他们在同一个景点的概率是P＝＝. 3.D　设柜子里的3双不同的鞋为：，，. 从中随机地取出2只，所有的可能情况有：，，，，，，，，，，，，，，共15种. 其中“取出的鞋恰好成双”的情况有：，，3种，“取出的鞋不成双”的情况有：种. 所以“取出的鞋不成双”的概率为：. 故答案为：D. 4.B　试验发生包含的样本点是分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2，3，4，当b＝3时，a＝3，4，共有3＋2＝5（个），∴根据古典概型的概率公式得到概率是. 5.ACD　记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品.A选项，样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，a），（2，3），（2，a），（3，a）}，“恰有一件次品”的样本点为（1，a），（2，a），（3，a），因此其概率P＝＝，A正确；B选项，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，a），（2，1），（2，3），（2，a），（3，1），（3，2），（3，a），（a，1），（a，2），（a，3）}，共12个样本点，B错误；C选项，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为，C正确；D选项，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a）}，共16个样本点，D正确.故选A、C、D. 6. .　解析：根据题意，从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则，设事件“抽到的两张卡片上数字之和大于3”，则，故. 故答案为：. 7.　解析：由已知，得A＝{1，2，4，8，16，32}，B＝{4，7，10，13，16，19}，所以A∪B＝{1，2，4，7，8，10，13，16，19，32}，A∩B＝{4，16}.所以所求概率P＝＝. 8.　解析：由题意知，点P的横坐标有6种可能，纵坐标也有6种可能，因此点P的坐标共有36种可能的结果.其中坐标（1，3），（2，4），（3，3）能使解析式y＝－x2＋4x成立，所以点P落在抛物线y＝－x2＋4x上共有3种可能的结果，其概率P＝＝. 9.7　解析：连续2次抛掷一枚骰子，向上的数字之和的结果如表所示. 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 m可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，对应的样本点个数依次为1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，因此“两次向上的数字之和为7”时P（A）最大. 10.解：(1) 从甲、乙、丙、丁4位同学中选取2位的基本事件为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种选法；事件“甲被选中”的基本事件甲乙、甲丙、甲丁，共3个，则甲被选中概率为； (2) 由（1）可知：事件“丁没被选中”含有基本事件3个，则丁没被选中的概率为； (3) 由（1）可知：事件“甲、丁至少有1人被选中”包含的基本事件个数为5个，则甲、丁至少有1人被选中的概率为. 11.A　甲、乙两位同学参加4个兴趣小组的所有可能有种，其中 甲、乙参加同一个小组的可能有四种，所以甲、乙参加同一个小组的概率 为. 故答案选A. 12.C　将一枚质地均匀的骰子投掷两次，所得结果总数n＝6×6＝36，将投掷结果用（a，b）表示.∵方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，∴Δ＝b2－4a≥0，∴方程ax2＋bx＋1＝0有实数解包含的样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个.故方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率为. 13.　解析：由题意可知，两种兴趣班都选择的人数为21＋39－50＝10，所以所求概率为＝. 14.解：（1）若m=2, n=3, 记2个红球为, , 3个白球为, , , 依次取出2个球的样本空间, , 共20个. 则第一次和第二次都取到白球的事件, 共6个, 所以第二次取到白球的概率P ( A ) . （2）有放回取球两次, 每次取到红球的概率为, 取到白球的概率为, 先取白球再取红球的概率为; 先取红球再取白球的概率为, 因此P ( n )  ( 10 - n ) , 当且仅当n=5时取等号, 所以P ( n ) 的最大值为. 15.B　从集合{5，6，7，8}中取出3个不同的数组成一个三位数，共有24个结果，其中是“凸数”的是576，675，586，685，587，785，687，786，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝. 16.解：（1）样本空间Ω＝{（1，－1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）}，共15个样本点. 函数y＝f（x）有零点等价于Δ＝b2－4a≥0， 满足条件的（a，b）有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个样本点. ∴y＝f（x）有零点的概率P1＝＝. （2）∵a＞0，函数y＝f（x）图象对称轴为直线x＝，由函数在区间[1，＋∞）上单调递增，有≤1， 满足条件的（a，b）有（1，－1），（1，1），（1，2），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13个样本点. ∴y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增的概率P2＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $