2.5二次函数与幂函数讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕二次函数与幂函数核心考点，按定义、性质、解析式、最值问题的逻辑层次梳理知识，通过知识梳理、题型突破（含定义辨析、幂值比较等五类题型）、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破解题难点。 资料采用分层练习设计，跟踪训练与课后作业梯度递进，结合高考模拟题强化实战。通过幂函数奇偶性与单调性的综合探究培养数学思维，借助二次函数最值问题提升数学语言表达能力，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

专题2.5二次函数与幂函数 知识梳理 1．幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1. (2)性质：①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 常用结论 1．巧识幂函数的图象和性质 2．记牢一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 【题型1 幂函数的定义】 【例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 2.（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．1 C．4 D．8 3.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________． 【题型2 比较幂值的大小】 【例2】（2023·上海青浦·一模）已知，，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 跟踪训练 1.已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b 2.（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2023·湖北孝感·模拟预测）已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A．2 B．3 C． D．-1 跟踪训练 1.（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 2.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 3.（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 4.若,则的取值范围是 ______ 【题型4 求二次函数的解析式】 【例4】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 跟踪训练 1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 2.（2023高三·全国·专题练习）已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ． 3.已知二次函数 ，，对任意，，且恒成立．则二次函数的完整解析式为 【题型5 二次函数的最值问题】 【例5】（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 跟踪训练 1.（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为______. 3.（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·江西九江·模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后作业： 1.（25-26高二下·北京·期中）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 2.（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2025·四川成都·模拟预测）幂函数在上单调递减，则（    ） A．或 B． C． D．或 4.（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5.（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 6.（2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 7.（2022·湖南·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9.（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 10.（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 11.（多选 25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 12.（多选 24-25高三上·贵州·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 13（多选 2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 14.（2026·上海浦东新·三模）若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． 15.（2025·上海虹口·一模）已知 ，若幂函数为偶函数，则实数____ 16．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 17.（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 18．（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 19.（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5二次函数与幂函数 知识梳理 1．幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1. (2)性质：①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 常用结论 1．巧识幂函数的图象和性质 2．记牢一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 【题型1 幂函数的定义】 【例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数的定义可判断各选项. 【解答过程】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 跟踪训练 1.（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可． 【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确. 故选：B. 2.（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．1 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的定义可求出或，结合幂函数的定义域为，即可选出正确答案. 【详解】由幂函数的概念可得，解得或. 当时，，定义域为，不符合题意，舍去； 当时，，定义域为，符合题意，所以， 所以. 故选：C 3.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________． 解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝. 答案： 【题型2 比较幂值的大小】 【例2】（2023·上海青浦·一模）已知，，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【解题思路】直接根据充分性和必要性的定义判断即可. 【解答过程】因为函数在上单调递增，所以，即“”是“”的充要条件. 故选：C. 跟踪训练 1.已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b 解析：选C．因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C． 2.（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】又函数单调性得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立. 【详解】由题意得，，， 而在上单调递增，故， 而在上单调递减，故，充分性成立， ，不妨设，满足要求， 但此时，不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3.（2023·湖北孝感·模拟预测）已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用题给条件求得在上单调性，利用为奇函数求得的大小关系，再利用幂函数性质比较的大小关系，进而得到三者间的大小关系. 【解答过程】因为当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 且，所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 因为，， 则 所以.    故选：A. 【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A．2 B．3 C． D．-1 【解题思路】根据幂函数的性质即可得解.【解答过程】由题意可得且为奇数，所以. 故选：B. 跟踪训练 1.（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 2.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【解题思路】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【解答过程】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 3.（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性 【分析】由幂函数的定义求出，由函数奇偶性得到A错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，从而判断BCD. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立， 因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减. 因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，， 所以，即，D错误. 故选：C. 4.若,则的取值范围是 ______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据幂函数当时是减函数，结合函数的定义域，列不等式即可求得的范围． 【详解】幂函数，当时是减函数， 函数 的定义域为， 所以有， 解得 ，故答案为 . 【点睛】本题主要考查幂函数的定义域与单调性，值得注意的是容易疏忽，是基础题． 【题型4 求二次函数的解析式】 【例4】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解】　法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1， 所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零点式)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 跟踪训练 1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：选A．因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－＝1　①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6　②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A． 2.（2023高三·全国·专题练习）已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ． 【解题思路】根据函数特征设然后判断并求解从而解得函数解析式. 【解答过程】设其对称轴为直线，又在区间上的最大值为12， 所以，所以 故答案为： 3.已知二次函数 ，，对任意，，且恒成立．则二次函数的完整解析式为 【解题思路】根据得到，结合得出，根据恒成立，求出的值，即可求出函数解析式． 【解答过程】对任意，， 二次函数对称轴为，，，，， 又对任意，恒成立，，即在上恒成立， ，，， ，，即函数，故答案为：． 【题型5 二次函数的最值问题】 【例5】（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由奇偶性求函数解析式、利用函数单调性求最值或值域、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值； （2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 跟踪训练 1.（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】由奇偶性求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 2.（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为______. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值 【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 故答案为：4 3.（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由得，由基本不等式得，故. 【解答过程】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得， 故选：C. 4.（2024·江西九江·模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知，再解不等式即可得答案. 【解答过程】解：因为无论取何值时，不等式恒成立， 所以，，解得， 所以，的取值范围是 故选：D. 课后作业： 1.（25-26高二下·北京·期中）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性 【详解】对于A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，A符合； 对于B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，B不符合； 对于C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，C不符合； 对于D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合． 2.（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断命题的充分不必要条件 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 3.（2025·四川成都·模拟预测）幂函数在上单调递减，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义以及单调性列出关于的方程与不等式，则结果可求. 【详解】由题意可知，解得， 故选：B. 4.（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求幂函数的值域、求指数型复合函数的值域、分段函数的值域或最值 【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案. 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确 5.（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 6.（2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求幂函数的值域、判断两个集合是否相等、判断一般幂函数的单调性 【分析】先将函数化为根式，即可得到其定义域，再结合幂函数的单调性即可求出其值域，进而即可得到答案． 【详解】由，则，解得，所以， 又是幂函数，且，即在上单调递减， 当时，；当时，，所以， 所以． 7.（2022·湖南·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据幂函数的单调性求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：因为是定义在上的增函数，又， 所以，解得， 因为由可推出，而由无法推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8.已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用函数是幂函数且在为增函数可求得的值，将所求不等式变形为，由此可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 又因为、，都有， 可设，则，所以，函数是单调递增函数， 当时，，该函数在上不单调，不合乎题意； 当时，，该函数在上为增函数. 所以等价于，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，同时也考查了利用幂函数求参数，考查计算能力，属于中等题. 9.（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、裂项相消法求和 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 10.（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 11.（多选 25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、判断五种常见幂函数的奇偶性、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以或，所以，，AB正确； 当时，，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. 12.（多选 24-25高三上·贵州·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的定义域 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，即可求出函数解析式，从而判断A、B、C；判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可判断D. 【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确； B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确； D：由知函数在上单调递增， 所以由可得，解得， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC 13（多选 2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【解题思路】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可. 【解答过程】当时，不等式为恒成立，故满足题意； 当时，要满足， 而， 所以解得； 综上，实数a的取值范围是； 所以对比选项得，实数a可能是，0，1. 故选：ABD. 14.（2026·上海浦东新·三模）若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． 【答案】/0.25 【难度】0.95 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】将已知点坐标代入幂函数解析式，即可求解参数. 【详解】由题意， 在中，图象经过点， ∴， 解得：. 15.（2025·上海虹口·一模）已知 ，若幂函数为偶函数，则实数____ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据偶函数的性质与定义，逐一分析的各个取值，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，是奇函数； 当时，，定义域为R，关于原点对称， 设，则，为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数； 故答案为：. 16．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【解答过程】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 17.（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）利用换元法求解析式； （2）分、和三种情况讨论最值，列不等式求解即可. 【详解】（1）设，则， 从而，故. （2）由（1）可知，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 当，即时，在上单调递减， 则，则. 综上，的取值集合是. 18．（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由二次函数顶点为可设，由即可求出a，则求出的解析式. （2）根据二次函数的开口和对称轴即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）设， 则由得：， ， . （2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 则若函数在区间上单调递增， 需满足， ， ∴实数a的取值范围为. 19.（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $