湖北襄阳市第四中学2026级高一卓越班期末学情调研数学试题

**基本信息** 襄阳四中高一卓越班期末数学试卷，以函数与代数为主线，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面考查数学抽象、逻辑推理与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、幂函数单调性|基础题占比60%，如第3题幂函数性质直接考查概念理解| |多选|3/18|三角函数性质、函数奇偶性与周期性|第11题综合奇偶性、周期性及零点求和，考查逻辑推理| |填空|3/15|指数对数运算、分段函数单调性|第14题结合全称与存在量词，考查数学语言表达| |解答|5/77|集合关系、三角恒等变换、新定义“k级函数”|第19题新定义函数探究，需构建方程与不等式模型，体现创新应用|

襄阳四中2026级高一卓越班期末学情调研 数学试题 命题人：高江涛 审题人：高江涛 ★祝考试顺利★ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 4．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．设，则“”是“存在，使”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（   ） A．的最大值为1 B．在上单调递增 C．是图象的一条对称轴 D．若在上恰有两个零点，则m的取值范围是 11．定义在上的函数满足：，且为偶函数.当时，.则（    ） A．函数的一个周期为4 B．函数是偶函数 C．函数在区间上的所有零点之和为50 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．计算：__________. 13．设，若函数是单调函数，则的最小值为__________. 14．设，若对任意，存在，使得.则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．设集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．设. (1)若，求的值： (2)若，且，求的值. 17．已知函数. (1)若关于的方程在时有实数根，求实数的取值范围； (2)若函数在上有3个零点，（其中），求的值. 18．设，已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值： (2)若，求函数的最小值； (3)若关于的不等式的最小整数解为2，求的取值范围. 19．已知函数的定义域为，若恰好存在个实数，使得（其中），则称函数为“级函数”. (1)判断函数是否为“级函数”？若是，求出的值：若不是，请说明理由； (2)设，记，其中.若函数是“4级函数”，且满足条件的分别为. ①求的取值范围； ②证明：. 襄阳四中2026级高一卓越班期末考试数学试卷 第3页，共4页 ◎ 襄阳四中2026级高一卓越班期末考试数学试卷 第4页，共4页 襄阳四中2026级高一卓越班期末考试数学试卷 第1页，共4页 ◎ 襄阳四中2026级高一卓越班期末考试数学试卷 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《襄阳四中2026级高一卓越班期末学情调研数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D D B B A ACD ACD 题号 11 答案 ABD 8．A 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，所以.故选：A 10．ACD 【详解】解：， 当时，取得最大值1，故A正确；时，单调递增，此时， 又在单调递减， 所以在上单调递减，故B错误；， ， 是图象的一条对称轴，故C正确； ，解得或（舍去）， 在上恰有两个零点，即在上恰有两个零点，，故D正确． 11．ABD 【详解】由，得，又，则， 即函数的图象关于对称，由为偶函数得， 即函数的图象关于对称，所以周期为4，故A对； 已知，结合上述周期有， 所以，因此函数为偶函数，故B对； ，即或， 当时，在区间上的解为； 当时，在区间上的解为， 所有零点之和为，故C错误； 由已知得， 故D对. 故选：ABD 12．/ 13．2 14．. 【详解】命题“对任意，存在，使得”， 的否定为：存在，对任意，， 解不等式，得， 于是存在，， 则两区间长度需要满足，解得， 因此对任意，存在，使得成立时，， 又，则，所以的取值范围为.故答案为： 15．(1) (2) 【详解】（1），有解， 因此可得，得， 因此实数的取值范围为. （2）由题意可得是的真子集，， ，当时，，符合题意； 当，即时， （i）当时，， 因此，此情况无解； （ii）当时，，所以， 综上，的取值范围是. 16．(1)；(2). 【详解】（1）依题意，，由，得，解得， 所以. （2）由，得，则， 由，得， 所以. 17．(1) (2) 【详解】（1）将方程变形为，即， 因为，即当时，，则， 因为，故，所以. （2）因为函数在上有3个零点，等价于方程在上有3个根， 令，由，可得， 则问题转化为在上有3 个根. 根据余弦函数的对称性可得，，则， 故，即， 所以. 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即，， 即，，化简得，所以； （2）当时，，故， 所以， 所以， 设，则时取等， 所以的最小值为； （3）①时，由得， 因为函数在上单调递增，所以要满足题意需， 即，化简得， 即，所以，解得，所以； ②因为函数在上单调递增， 当时，由得， 因为增函数，该不等式的解集形如，不存在最小整数解，故此种情况不成立， 综上所述，的取值范围是. 19．(1)是，1；(2)①；②证明见解析. 【详解】（1）由函数是级函数，得存在满足，即，即， 而，当且仅当时取等， 所以只有满足题意，即是1级函数. （2）①依题意，，由函数是4级函数， 得方程有四个不同的实数解， 令函数，由，得为偶函数， 且，函数， 当时，函数在上递增，函数在上递增， 因此函数在上递增，值域为， 方程，令， 因此关于的一元二次方程在上有两个不等的实数解， 则，解得，所以的取值范围是. ②由①不妨设，设， 而，即函数为偶函数，则， 而，由①得， ，， 则，， 因此，， 要证，即证，即证， 而函数在上递增，即证，即证， 即证，即证， 即证， 由基本不等式得， 因此，所以原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $