湖北荆州市2025-2026学年高一下学期7月质量检测数学试卷

荆州市2025—2026学年度高一年级质量检测 数学试卷 2026.7 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项； 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A． B．或 C． D． 3．样本数据，，，，，，，的第百分位数是（ ） A． B． C． D． 4．已知平面，，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A．若则 B．若则 C．若，则 D．若且，则 5．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．正四棱台中，上下底面边长之比为，高为，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，函数的所有零点之和是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（ ） A． B． C． D． 10．若函数，则下列结论正确的有（ ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在定义域内有个零点 11．在中，已知，，点，满足，，线段和相交于点．若，则下列命题中正确的有（ ） A． B． C．直线，所成角的余弦值为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在区间上，与终边相同的角为____________． 13．若，，都是正实数，则的最小值为____________． 14．如图，该图是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，侧面由个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的底面棱长为，侧棱长为，则该多面体外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知，都是实数，方程的一个根为（为虚数单位）． （1）求，的值； （2）求． 16．（本小题15分） 已知函数是R上的奇函数． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； （2）若，求实数的取值范围． 17．(本小题15分) 某科技公司研发新一代智能芯片，为测试芯片综合性能，实验室对批量芯片进行性能评分（满分分，最低分），并将所有芯片的性能得分整理，绘制得到频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）求该芯片性能得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）设该芯片性能得分的平均值为，若按得分是否在区间内进行分层抽样，且抽取枚芯片进行性能测试，得分在区间内的至少抽取枚，试估计的最小值（保留两位小数）． 18．(本小题17分) 如图，在四棱锥中，，，，，二面角的平面角大小为． （1）若，证明：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出；若不存在请说明理由； （3）设，三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，，求的值 19．（本小题17分） 如图，在平面四边形中，，为线段上一点，且，． （1）若，求； （2）记，，， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 荆州市2025-2026学年度高一年级质量检测 数学学科参考答案及评分细则 一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 7．C 8．B 9．ABC 10．AD 11．BCD 二、选择题 12． 13．2 14． 14．解：如图，设的中点在下底面上的射影为H， 上、下两底面间的距离为d，外接球的半径为R， 则，，且A到的距离为2， 所以， 从而所求外接球的表面积为 15．解答： （1)将代入方程整理得：， 因为，，所以， 所以，。 （2)由（1)知，， 所以， 所以。 16．解答：（1)由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以。 则，函数在R上单调递减。 （2)因为是R上的奇函数， 由， 有， 又因为函数在R上单调递减， 所以，整理得， 则， 解得，所以实数x的取值范围是。 17．解答：（1)由得， （2)。 即平均值为74。 （3)由（2)可知。 要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚， 则得分在区间内的频率不低于0.75。 若，则 频率； 若，则， 频率； 当b最小时，， 且， 解得，即b的最小值约为15.43。 18．解答：（1)证明：若，则平面平面ABCD，且交线为AC 因为，所以平面，故 （2)存在点E使得平面PBC． 证明如下： 过D点作，可得， 而且SD，平面，故， 而平面PBC，平面，故平面PBC， 因为平面PBC，又DS，DE交于D点，且DS，DE都在平面DES内， 所以平面平面PBC， 因为平面APC和平面PCB的交线为PC，平面PAC和平面DES的交线为ES， 所以， 所以相似于，所以． （3)第三问不作答 19．解答：（1)由题意可得，在中，，，， 由正弦定理得，解得 （2)（ⅰ)在中由余弦定理得，同理可得， 在中 在中， 因为，所以， 又因，故 （ⅱ)由（ⅰ)知，又代入上式得 即 可变形为 展开化简为 学科网（北京）股份有限公司 $