精品解析：四川省南充市高坪中学2025-2026学年九年级上学期入学检测数学

2025年秋季初2023级（初三）暑期自主学习反馈监测 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 众多选手在参加“中国诗词大会第四季”的比赛过程中，有7个选手的得分如下：126，110，132，91，92，86，91，这组数据的中位数和众数分别是 A. 91，92 B. 92，86 C. 92，91 D. 91，104 3. 点在一次函数的图象上，那么点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. ＝±15 6. 下列曲线（图象），y不是x的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知的顶点，若将沿轴向下平移，使边的中点恰好落在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( ) A. B. C. 或 D. 9. 如图，中，，，，为边上的一动点，以，为边作，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（　　） A. ﹣6 B. ﹣5 C. ﹣4 D. ﹣3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点(-6，2)，那么此一次函数的表达式为_____________． 13. 如图，在中，．于点，．是斜边的中点，则______． 14. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的边长为________． 15. 已知，则________． 16. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2）解不等式组 18. 已知，计算的值． 19. 如图，在中，是的中点，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 数学运算是数学核心素养的重要部分，为了解七年级学生的数学运算能力，某校对全体七年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分六组：A．，B．，C．，D．，E．，F． 等级 A B C D E F 分数 人数 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）在扇形统计图中，求组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图： （3）若该校约有名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有多少人． 21. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 22. 为加强体育课教学质量保障，南宁市某学校决定购买一批篮球和足球． 已知篮球的单价比足球的单价贵20元，用3000元购买篮球的数量与用2400元购买足球的数量相等． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）某学校计划购买篮球和足球共 90个，购买足球的数量不多于篮球的2 倍，设购买篮球和足球的总费用为w元，购买篮球个，求w与m的函数关系式，并求出最少购买费用． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使成立的x的取值范围； （3）求的面积． 24. 如图，四边形是正方形．点是边上的任意一点，于点，，且交于点，连接 （1）请直接写出线段的关系； （2）若点G是延长线上的任意一点，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否依然成立吗？请做出判断并给予证明； （3）若点G是延长线上的一点，且，，其他条件不变，如图3求的长（直接写出结果）． 25. 如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为-2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作 y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）当DP=6时，求t的值； （3）如图2，作PF∥ x轴，交直线于点F． 在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季初2023级（初三）暑期自主学习反馈监测 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B． ，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C． 是最简二次根式，故该选项符合题意； D． ，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 众多选手在参加“中国诗词大会第四季”的比赛过程中，有7个选手的得分如下：126，110，132，91，92，86，91，这组数据的中位数和众数分别是 A. 91，92 B. 92，86 C. 92，91 D. 91，104 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、中位数的定义求解即可 【详解】这组数据按顺序排列为：86，91，91，92，110，126，132， 故众数为：91， 中位数为：92. 故选C. 【点睛】此题考查众数、中位数，难度不大 3. 点在一次函数的图象上，那么点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此一次函数的解析式．将四个点分别代入函数的解析式进行验证即可． 【详解】解：A、把代入得，，故本选项符合题意； B、把代入得，，故本选项不符合题意； C、把代入得，，故本选项不符合题意； D、把代入得，，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. ＝±15 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的性质逐项进行计算即可得. 【详解】A. 与不能合并，故A选项错误； B. ，正确； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项错误， 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的化简，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 6. 下列曲线（图象），y不是x的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查函数图象的识别，解题的关键是熟知函数的定义．根据函数的定义即可判断． 【详解】解：根据函数定义，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．而选项D中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象． 故选：D． 7. 如图，已知的顶点，若将沿轴向下平移，使边的中点恰好落在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，从而确定向下平移个单位，据此得解． 【详解】解：，，都是的顶点， ∴，，， 即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点， ∴， ∵点是线段边的中点， ∴点的坐标为，即， ∵将沿轴向下平移，使边的中点恰好落在轴上， ∴沿轴向下平移个单位， ∴点的坐标为． 故选：B． 8. 如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( ) A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可． 【详解】解：∵直线和与x轴分别交于点，点， ∴解集为， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大． 9. 如图，中，，，，为边上的一动点，以，为边作，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、含角的直角三角形的性质，令、交于点，由平行四边形的性质可得，，即当线段长最小，则线段的长最小，由垂线段最短可得：当时，最小，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，令、交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴线段长的最小值是， 故选：D． 10. 如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（　　） A. ﹣6 B. ﹣5 C. ﹣4 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，BG⊥y轴于点G，由S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF求解． 【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，BG⊥y轴于点G． 把x＝a代入y＝得y＝， 把x＝3a代入y＝得y＝， ∴AD＝3BE， ∴点B是AC的三等分点， ∵AD⊥CO，BE⊥CO ∴BEAD ∴△BCE∽△ACD ∴ ∵DE＝a﹣3a＝﹣2a， ∴ ∴CE＝﹣a， ∵k＜0， ∵S△AOF＝＝﹣， ∴S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（AF+OE+CE）•OF+＝×（﹣5a）×（）+＝12， ∴k＝﹣6． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题关键是掌握反比例函数的性质，通过添加辅助线求解 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点(-6，2)，那么此一次函数的表达式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设此一次函数的解析式为y=kx+b，根据互相平行的两条直线的斜率相等可得k=-1，把（-6，2）代入y=kx+b可求出b的值，即可得答案． 【详解】设此一次函数的解析式为y=kx+b， ∵此一次函数的图象与直线y=-x+1平行， ∴k=-1， ∵此一次函数过点(-6，2)， ∴2=-（-6）+b， 解得：b=-4， ∴此一次函数的解析式为y=-x-4， 故答案为：y=-x-4 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求一次函数解析式，熟记互相平行的两条直线的斜率相等是解题关键． 13. 如图，在中，．于点，．是斜边的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，根据角的倍数和和差关系求出的度数，进而求出的度数，斜边上的中线，得到，得到，再根据角的和差关系，进行计算即可． 【详解】解：∵，，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以先设图1中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据图2和图3可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图1中菱形的边长． 【详解】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为， ，得， 图1中菱形的边长为：， 故答案为： 15. 已知，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 故答案为：5． 16. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，把绕点A顺时针旋转90度，此时重合，得到，连接，证明，可得点F，E，三点共线，根据等腰三角形的性质的长度，再求得，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，把绕点A顺时针旋转90度，此时重合，得到，连接， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时点F，E，三点共线， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，耐心推理是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 不等式组的解集为 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为 ． 18. 已知，计算的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再根据，得出，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴． ∴原式． 19. 如图，在中，是的中点，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 20. 数学运算是数学核心素养的重要部分，为了解七年级学生的数学运算能力，某校对全体七年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分六组：A．，B．，C．，D．，E．，F． 等级 A B C D E F 分数 人数 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）在扇形统计图中，求组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图： （3）若该校约有名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有多少人． 【答案】（1），，； （2）， 补全频数分布直方图，如图即为所求； （3）估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，解决本题的关键是从统计图中获取有用信息，会用样本估计总体． (1)根据组的占比可求得的值，利用总数减去其余各组的人数可求得的值，利用组所占百分比，即可求解； (2)求出E组所占百分比，再乘以度即可得到扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数；根据(1)的结果，再补全频数分布直方图； (3)利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知组的人数占总人数的， ， ， 组的占比为：， ． 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：E组对应扇形圆心角的度数为：， 由(1)可知． 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有人． 21. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）先证明四边形是平行四边形，矩形的性质得到，即可得证； （2）根据矩形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积 22. 为加强体育课教学质量保障，南宁市某学校决定购买一批篮球和足球． 已知篮球的单价比足球的单价贵20元，用3000元购买篮球的数量与用2400元购买足球的数量相等． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）某学校计划购买篮球和足球共 90个，购买足球的数量不多于篮球的2 倍，设购买篮球和足球的总费用为w元，购买篮球个，求w与m的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】（1）篮球的单价是100元，足球的单价是80元 （2）w与m的函数关系式的关系式为，最少购买费用为7200元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出函数解析式： （1）设篮球的单价是x元，则足球的单价是元，根据用3000元购买篮球的数量与用2400元购买足球的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可购买m个篮球，则可购买个足球，根据总费用=购买篮球的费用+购买足球的费用列出函数解析式，再根据m的取值范围和函数的性质求函数的最值． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是x元，则足球的单价是元，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价是100元，足球的单价是80元； 【小问2详解】 解：设学校购买m个篮球，则可购买个足球，则 ， ∵，且， ∴， ∵， ∴当时，w最小，最小值为7200， ∴w与m的函数关系式的关系式为，最少购买费用为7200元． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使成立的x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）的面积为8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，先求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据，即可解答． 【小问1详解】 解：将点代入得， 解得：， ∴， 把代入得， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴由图可知，当或时，， ∴当或时，； 【小问3详解】 解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D， 把代入得， ∴，则， 把代入得， 解得：， ∴，则， ∴ ． 24. 如图，四边形是正方形．点是边上的任意一点，于点，，且交于点，连接 （1）请直接写出线段的关系； （2）若点G是延长线上的任意一点，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否依然成立吗？请做出判断并给予证明； （3）若点G是延长线上的一点，且，，其他条件不变，如图3求的长（直接写出结果）． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得 再证明，可得 结合已知条件从而可得； （2）结论不变，证明过程与方法同理（1）； （3）由（1）（2）同理可证，结合，，利用勾股定理求解，再利用，从而可得答案． 【小问1详解】 结论：． 理由：如图1中， ∵于点E，且交于点， ∴于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴且， ∵ ∴， ∴． 【小问2详解】 如图2中，结论不变． 理由：延长交于 ∵于点E，且交于点， ∴于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴且， ∵ ∴， ∴． 【小问3详解】 如图3中， 同理可证， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25. 如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为-2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作 y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）当DP=6时，求t的值； （3）如图2，作PF∥ x轴，交直线于点F． 在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）t=2或t=-6；（3） P（6，6）或（，） 【解析】 【分析】（1）设直线AB的解析式为，先求出C的坐标，然后用待定系数法求出AB的解析式即可； （2）由题意可得P（t,），D（t，-t），则，由此求解即可； （3）先求出F的坐标，E点的坐标，根据AE=PF，求解即可． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为， ∵C的横坐标为-2，且C在上， ∴C（-2，2）， ∴， 解得 ∴直线AB的解析式为：； （2）∵动点P的横坐标为t， ∴P（t,），D（t，-t）， ∴， ∴ 解得t=2或t=-6 （3）由（2）得P（t,）， ∵PF∥x轴，且F在直线y=-x上， ∴点P和F的纵坐标相同， ∴F（，）， ∵A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形， ∴AE=PF， ∵E（t，0） ∴ 解得或 ∴ P（6，6）或（，）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，平行线的性质，绝对值等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 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