精品解析：四川南充市营山县2024-2025学年第一学期九年级数学开学学情自测试卷

四川营山县2024～2025学年数学九上开学监测试题 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．） 1. 若关x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 如图l1：y=x+3与l2：y=ax+b相交于点P（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解为（ ） A. x≥4 B. x＜m C. x≥m D. x≤1 3. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( ) A. 2 B. C. D. 4 4. 已知一次函数的图象过点（0，3）和（﹣2，0），那么直线必过下面的点（　　） A. （4，6） B. （﹣4，﹣3） C. （6，9） D. （﹣6，6） 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行另一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 6. 为了了解中学课堂教学质量，我市教体局去年对全市中学教学质量进行调查方法是通过考试参加考试的为全市八年级学生，从中随机抽取600名学生的英语成绩进行分析对于这次调查，以下说法不正确的是( ) A. 调查方法是抽样调查 B. 全市八年级学生是总体 C. 参加考试的每个学生的英语成绩是个体 D. 被抽到的600名学生的英语成绩是样本 7. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数y＝的自变量x的取值范围是(　　) A. x≥0且x≠2 B. x≥0 C. x≠2 D. x>2 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 为了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体统计如下： 阅读时间（小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名） 1 2 8 6 3 则关于这20名学生阅读小时的众数是_____． 10. 在三角形中，点分别是的中点，于点，若，则________. 11. 化简的结果为______． 12. 函数自变量的取值范围是_________________． 13. 如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（a，b），那么点P变换后的对应点P′的坐标为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 在矩形中，点在上，，试分别在如图两个图形中按要求使用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，画出的平分线； （2）在图2中，画出的平分线． 15. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，0），直线l∥x轴，交y轴于点C（0，3），点B（﹣4，3）在直线l上，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度，得到矩形OA′B′C′，此时直线OA′、B′C′分别与直线l相交于点P、Q． （1）当α＝90°时，点B′的坐标为　 　． （2）如图2，当点A′落在l上时，点P的坐标为　 　； （3）如图3，当矩形OA′B′C′的顶点B′落在l上时． ①求OP的长度；②S△OPB′的值是　 　． （4）在矩形OABC旋转的过程中（旋转角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，请直接写出点B′和点P的坐标；如果不能，请简要说明理由． 16. 平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 17. 如图，在中，是角平分线，点在上，且． （1）求证：； （2）若，．求的长． 18. 定向越野作为一种新兴的运动项目，深受人们的喜爱. 这种定向运动是利用地图和指北针到访地图上所指示的各个点标，以最短时间按序到达所有点标者为胜. 下面是我区某校进行定向越野活动中，中年男子组的成绩（单位：分:秒）. 9:01 14:45 9:46 19:22 11:20 18:47 11:40 12:32 11:52 13:45 22:27 15:00 17:30 13:22 18:34 10:45 19:24 16:26 21:33 15:31 19:50 14:27 15:55 16:07 20:43 12:13 21:41 14:57 11:39 12:45 12:57 15:31 13:20 14:50 14:57 9:41 12:13 14:27 12:25 12:38 例如，用时最少的赵老师的成绩为9:01，表示赵老师的成绩为9分1秒. 以下是根据某校进行定向越野活动中，中年男子组的成绩中的数据，绘制的统计图表的一部分． 某校中年男子定向越野成绩分段统计表 分组/分 频数 频率 9≤x＜11 4 0.1 11≤x＜13 b 0.275 13≤x＜15 9 0.225 15≤x＜17 6 d 17≤x＜19 3 0.075 19≤x＜21 4 0.1 21≤x＜23 3 0.075 合计 a c （1）这组数据的极差是____________； （2）上表中的a =____________ ,b =____________ , c =____________, d =____________； （3）补全频数分布直方图. B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若10个数的平均数是3，方差是4，现将这10个数都扩大2倍，则这组新数据的方差是_____． 20. 二次根式有意义的条件是__________． 21. 某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上面表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是___________（填序号）． 22. 把多项式n（n﹣2）+m（2﹣n）分解因式的结果是_____． 23. 若点（a，b）在一次函数y=2x-3的图象上，则代数式4a-2b-3的值是__________ 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，已知等边△ABC，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F. （1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①. ①判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由； ②过点F作FM∥BC交射线AB于点M，求证：CF+BE=CD； （2）①当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②，请直接写出线段CF，BE，CD之间的数量关系； ②当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角或直角时，如图③，请直接写出线段CF，BE，CD之间的数量关系. 25. 先化简，再求值：，其中． 26. 已知，正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段AE上，过点F的直线，分别交AB、CD于点M、N． （1）如图，求证：； （2）如图，当点F为AE中点时，连接正方形的对角线BD，MN与BD交于点G，连接BF，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，若，，求BM的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川营山县2024～2025学年数学九上开学监测试题 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．） 1. 若关x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】去分母得：2x-x+3=m， 由分式方程有增根，得到x-3=0，即x=3， 把x=3代入整式方程得：m=6， 故选D． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2. 如图l1：y=x+3与l2：y=ax+b相交于点P（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解为（ ） A. x≥4 B. x＜m C. x≥m D. x≤1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：首先把P（m，4）代入y=x+3可得m的值，进而得到P点坐标，然后再利用图象写出不等式的解集即可． 解：把P（m，4）代入y=x+3得：m=1， 则P（1，4）， 根据图象可得不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1， 故选D． 3. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( ) A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接CE，根据线段中点的定义求出DE、AD，根据矩形的对边相等可得BC=AD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE=BC，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据矩形的对边相等可得AB=CD． 【详解】如图，连接CE， ∵点E是AD中点， ∴DE=AE=2，AD=2AE=2×2=4， ∴BC=AD=4， ∵BE 的垂直平分线MN 恰好过点C， ∴CE=BC=4， 在Rt△CDE中，由勾股定理得，CD=， ∴AB=CD=2． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形． 4. 已知一次函数的图象过点（0，3）和（﹣2，0），那么直线必过下面的点（　　） A. （4，6） B. （﹣4，﹣3） C. （6，9） D. （﹣6，6） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据“两点法”确定一次函数解析式，再检验直线解析式是否满足各点的横纵坐标． 解：设经过两点（0，3）和（﹣2，0）的直线解析式为y=kx+b， 则，解得，∴y=x+3； A、当x=4时，y=×4+3=9≠6，点不在直线上； B、当x=﹣4时，y=×（﹣4）+3=﹣3，点在直线上； C、当x=6时，y=×6+3=12≠9，点不在直线上； D、当x=﹣6时，y=×（﹣6）+3=﹣6≠6，点不在直线上； 故选B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行另一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定进行判断即可． 【详解】解：选项A中，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项错误； 选项B中，当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误； 选项C中，由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确； 选项D中，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，掌握平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键． 6. 为了了解中学课堂教学质量，我市教体局去年对全市中学教学质量进行调查方法是通过考试参加考试的为全市八年级学生，从中随机抽取600名学生的英语成绩进行分析对于这次调查，以下说法不正确的是( ) A. 调查方法是抽样调查 B. 全市八年级学生是总体 C. 参加考试的每个学生的英语成绩是个体 D. 被抽到的600名学生的英语成绩是样本 【答案】B 【解析】 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，对各选项分析后利用排除法求解. 【详解】、调查方法是抽样调查，正确； 、全市八年级学生的英语成绩是总体，错误； 、参加考试的每个学生的英语成绩是个体，正确； 、被抽到的600名学生的英语成绩是样本，正确. 故选：. 【点睛】此题考查了总体、个体、样本、样本容量．解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位. 7. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式有意义的条件，即分母不能为0． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， ∴． 8. 函数y＝的自变量x的取值范围是(　　) A. x≥0且x≠2 B. x≥0 C. x≠2 D. x>2 【答案】A 【解析】 【详解】由被开方数大于等于0，分母不等于0可得x≥0且x−2≠0，即x≥0且x≠2．故选A． 【考点】本题考查函数自变量的取值范围. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 为了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体统计如下： 阅读时间（小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名） 1 2 8 6 3 则关于这20名学生阅读小时的众数是_____． 【答案】3． 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求出． 【详解】在这一组数据中3出现了8次，出现次数最多，因此这组数据的众数为3． 故答案为3． 【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力．要明确定义． 10. 在三角形中，点分别是的中点，于点，若，则________. 【答案】80° 【解析】 【分析】先由中位线定理推出，再由平行线的性质推出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到HF=CF，最后由三角形内角和定理求出. 【详解】∵点分别是的中点 ∴（中位线的性质） 又∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵ ∴三角形是三角形 ∵是斜边上的中线 ∴ ∴（等边对等角） ∴ 【点睛】本题考查了中位线定理，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，和三角形内角和定理.熟记性质并准确识图是解题的关键． 11. 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移到根号内，进而化简式子. 【详解】解：由二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，得， ∴ ∴原式. 12. 函数自变量的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：2x+1＞0， 解得：． 故答案为：． 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（a，b），那么点P变换后的对应点P′的坐标为_____． 【答案】（a+3，b+2） 【解析】 【分析】找到一对对应点的平移规律，让点P的坐标也作相应变化即可． 【详解】点B的坐标为（-2，0），点B′的坐标为（1，2）； 横坐标增加了1-（-2）=3；纵坐标增加了2-0=2； ∵△ABC上点P的坐标为（a，b）， ∴点P的横坐标为a+3，纵坐标为b+2， ∴点P变换后的对应点P′的坐标为（a+3，b+2）． 【点睛】解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 在矩形中，点在上，，试分别在如图两个图形中按要求使用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，画出的平分线； （2）在图2中，画出的平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，三线合一： （1）连接，即为的平分线； （2）连接，交于点，作射线，即可． 【小问1详解】 如图，即为所求； ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：平分； 【小问2详解】 如图所示：即为所求， ∵， ∴平分． 15. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，0），直线l∥x轴，交y轴于点C（0，3），点B（﹣4，3）在直线l上，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度，得到矩形OA′B′C′，此时直线OA′、B′C′分别与直线l相交于点P、Q． （1）当α＝90°时，点B′的坐标为　 　． （2）如图2，当点A′落在l上时，点P的坐标为　 　； （3）如图3，当矩形OA′B′C′的顶点B′落在l上时． ①求OP的长度；②S△OPB′的值是　 　． （4）在矩形OABC旋转的过程中（旋转角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，请直接写出点B′和点P的坐标；如果不能，请简要说明理由． 【答案】（1）（3，4）；（2）（﹣，3）；（3）①OP＝ ；② ；（4）在矩形OABC旋转的过程中（旋转角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q为顶点的四边形能成为平行四边形，此时点B′的坐标为（5，0），点P的坐标为（4，3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的得到B′的坐标； （2）根据在Rt△OCA′，利用勾股定理即可求解； （3）①根据已知条件得到△CPO≌△A′PB′，设OP＝x，则CP＝A′P＝4﹣x，在Rt△CPO中，利用OP2＝OC2+CP2，即x2＝（4﹣x）2+32即可求出x的值，即可求解；②根据S△OPB′＝PB′•OC即可求解； （4）当点B′落在x轴上时，由OB′∥PQ，OP∥B′Q，此时四边形OPQB′为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解. 【详解】解：（1）∵A（﹣4，0），B（﹣4，3）， ∴OA＝4，AB＝3． 由旋转的性质，可知：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝3， ∴当α＝90°时，点B′的坐标为（3，4）． 故答案为（3，4）． （2）在Rt△OCA′中，OA′＝4，OC＝3， ∴A′C＝＝， ∴当点A′落在l上时，点P的坐标为（﹣，3）． 故答案为（﹣，3）． （3）①当四边形OA′B′C′的顶点B′落在BC的延长线上时， 在△CPO和△A′PB′中，， ∴△CPO≌△A′PB′（AAS）， ∴OP＝B′P，CP＝A′P． 设OP＝x，则CP＝A′P＝4﹣x． 在Rt△CPO中，OP＝x，CP＝4﹣x，OC＝3， ∴OP2＝OC2+CP2，即x2＝（4﹣x）2+32， 解得：x＝， ∴OP＝． ②∵B′P＝OP＝， ∴S△OPB′＝PB′•OC＝××3＝． 故答案为． （4）当点B′落在x轴上时，∵OB′∥PQ，OP∥B′Q， ∴此时四边形OPQB′为平行四边形． 过点A′作A′E⊥x轴于点E，如图4所示． ∵OA′＝4，A′B′＝3， ∴OB′＝＝5，A′E＝＝，OE＝＝， ∴点B′的坐标为（5，0），点A′的坐标为（，）． 设直线OA′的解析式为y＝kx（k≠0）， 将A′（，）代入y＝kx，得： ＝k，解得：k＝， ∴直线OA′的解析式为y＝x． 当y＝3时，有x＝3， 解得：x＝4， ∴点P的坐标为（4，3）． ∴在矩形OABC旋转的过程中（旋转角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q为顶点的四边形能成为平行四边形，此时点B′的坐标为（5，0），点P的坐标为（4，3）． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质. 16. 平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①如图2，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在中，是角平分线，点在上，且． （1）求证：； （2）若，．求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上内容是解题关键． （1）已知平分，可得，再由，可得，即可得，从而得； （2）已知∠，由三角形的性质可得，设，所以，由()可知，根据相似三角形的对应边成比例可得，解得的值，即可得的长． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ， 设， ， ， 即 解得： 的长是． 18. 定向越野作为一种新兴的运动项目，深受人们的喜爱. 这种定向运动是利用地图和指北针到访地图上所指示的各个点标，以最短时间按序到达所有点标者为胜. 下面是我区某校进行定向越野活动中，中年男子组的成绩（单位：分:秒）. 9:01 14:45 9:46 19:22 11:20 18:47 11:40 12:32 11:52 13:45 22:27 15:00 17:30 13:22 18:34 10:45 19:24 16:26 21:33 15:31 19:50 14:27 15:55 16:07 20:43 12:13 21:41 14:57 11:39 12:45 12:57 15:31 13:20 14:50 14:57 9:41 12:13 14:27 12:25 12:38 例如，用时最少的赵老师的成绩为9:01，表示赵老师的成绩为9分1秒. 以下是根据某校进行定向越野活动中，中年男子组的成绩中的数据，绘制的统计图表的一部分． 某校中年男子定向越野成绩分段统计表 分组/分 频数 频率 9≤x＜11 4 0.1 11≤x＜13 b 0.275 13≤x＜15 9 0.225 15≤x＜17 6 d 17≤x＜19 3 0.075 19≤x＜21 4 0.1 21≤x＜23 3 0.075 合计 a c （1）这组数据的极差是____________； （2）上表中的a =____________ ,b =____________ , c =____________, d =____________； （3）补全频数分布直方图. 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）先找出这组成绩的最大值与最小值，计算即可得； （2）根据分组“9≤x＜11”的频数与频率可求得a的值，然后用a乘0.275可求得b的值，用6除以a可得d，把所有频率相加可求得c，据此填空即可； （3）根据b的值补全图形即可. 【详解】（1）这组数据的最大值为22:27，最小值为9:01， 所以极差为：22：27-9：01=13：26， 故答案为13:26或 13分26秒； （2）a=4÷0.1=40，b=40×0.275=11，d=6÷40=0.15， c=0.1+0.275+0.225+0.15+0.075+0.1+0.075=1， 故答案为40，11，1，0.15. （3）如图所示. 【点睛】本题考查了极差、频数分布表、频数分布直方图，熟练掌握频数、频率与总数间的关系是解题的关键. B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若10个数的平均数是3，方差是4，现将这10个数都扩大2倍，则这组新数据的方差是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据方差的性质可知，数据中的每个数据都扩大2倍，则方差扩大4倍，即可得出答案． 【详解】解：∵将这组数据中的每个数据都扩大2倍，所得到的一组数据的方差将扩大4倍， ∴新数据的方差是4×4＝16， 故答案为16． 【点睛】本题考查了方差：一般地设有n个数据，x1，x2，…xn，若每个数据都扩大相同的倍数后，方差则变为这个倍数的平方倍． 20. 二次根式有意义的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得； 故答案为：． 21. 某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上面表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据中位数，平均数和方差的意义，逐一判断即可． 【详解】解：由于乙班学生每分钟输入汉字的中位数为151，说明有一半以上的学生都达到每分钟150个及以上，而甲班学生的中位数为149，说明不到一半的学生达到150个及以上，说明乙班优秀人数比甲班优秀人数多，故②正确；由平均数和方差的意义可知①③也正确． 故答案是：①②③． 【点睛】本题主要考查中位数，平均数和方差，掌握中位数和方差的意义，是解题的关键． 22. 把多项式n（n﹣2）+m（2﹣n）分解因式的结果是_____． 【答案】（n﹣2）（n﹣m）． 【解析】 【分析】用提取公因式法分解因式即可． 【详解】n（n﹣2）+m（2﹣n）= n（n﹣2）-m（n-2）=（n﹣2）（n﹣m）． 故答案为（n﹣2）（n﹣m）． 【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解；一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 23. 若点（a，b）在一次函数y=2x-3的图象上，则代数式4a-2b-3的值是__________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，将点（a，b）代入函数解析式即可求得2a-b的值，变形即可求得所求式子的值． 【详解】∵点（a，b）在一次函数y=2x-3的图象上， ∴b=2a-3， ∴2a-b=3， ∴4a-2b=6， ∴4a-2b-3=6-3=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，已知等边△ABC，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F. （1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①. ①判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由； ②过点F作FM∥BC交射线AB于点M，求证：CF+BE=CD； （2）①当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②，请直接写出线段CF，BE，CD之间的数量关系； ②当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角或直角时，如图③，请直接写出线段CF，BE，CD之间的数量关系. 【答案】（1）①∠1=∠2，理由见解析，②证明见解析；（2）①BE=CD+CF，②CF=CD+BE． 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质和∠ADN=60°，易得∠1+∠ADC=120°，∠2+∠ADC=120°，所以∠1=∠2； ②由条件易得四边形BCFM为平行四边形，得到BM=CF，BC=MF，再证明△MEF≌△CDA，得到ME=CD，利用等量代换即可得证； （2）①过F作FH∥BC，易得四边形BCFH为平行四边形，可得HF=BC，BH=CF，然后证明△EFH≌△DAC，得到CD=EH，利用等量代换即可得BE=CD+CF； ②过E作EG∥BC，易得四边形BCGE为平行四边形，可得EG=BC，BE=CG，然后证明△EFG≌△ADC，得到CD=FG，利用等量代换即可得CF=CD+BE． 【详解】（1）①∠1=∠2，理由如下： ∵△ABC为等边三角形 ∴∠ACB=60° ∴∠2+∠ADC=120° 又∵∠AND=60° ∴∠1+∠ADC=120° ∴∠1=∠2 ②∵MF∥BC，CF∥BM ∴四边形BCFM为平行四边形 ∴BM=CF，BC=MF=AC， ∵BC∥MF ∴∠1=∠EFM=∠2，∠EMF=∠ABC=60° 在△MEF和△CDA中， ∵∠EFM=∠2，MF= AC，∠EMF=∠ACD=60° ∴△MEF≌△CDA（ASA） ∴ME=CD ∴ME=BM+BE=CF+BE=CD 即CF+BE=CD （2）①BE=CD+CF，证明如下： 如图，过F作FH∥BC， ∵CF∥BH，FH∥BC， ∴四边形BCFH为平行四边形 ∴HF=BC=AC，BH=CF ∵△ABC为等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60° ∴∠CAD+∠ADC=60°，∠DBE=120°，∠ACD=120° 又∵∠AND=60°，即∠BDN+∠ADC=60° ∴∠CAD=∠BDN ∵BD∥HF ∴∠HFE=∠BDN=∠CAD，∠EHF=∠ACD=120° 在△EFH和△DAC中， ∵∠EHF=∠ACD，HF=AC，∠HFE=∠CAD ∴△EFH≌△DAC（ASA） ∴EH=CD ∴BE=BH+EH=CF+CD 即BE=CD+CF； ②CF=CD+BE，证明如下： 如图所示，过E作EG∥BC， ∵EG∥BC，CG∥BE ∴四边形BCGE为平行四边形， ∴EG=BC=AC，BE=CG， ∵∠AND=60°，∠ACD=60° ∴∠ADC+∠CDE=120°，∠ADC+∠DAC=120° ∴∠CDE=∠DAC 又∵CD∥EG ∴∠GEF=∠CDE=∠DAC，∠EGF=∠DCF ∵AE∥CF ∴∠DCF=∠ABC=60° ∴∠EGF=∠ABC=60° 在△EFG和△ADC中， ∵∠GEF=∠DAC，EG=AC，∠EGF=∠ACD=60° ∴△EFG≌△ADC（ASA） ∴FG=CD ∴CF=CG+FG=BE+CD 即CF=CD+BE 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据“一线三等角”模型找到全等三角形，正确作出辅助线，利用等量代换找出线段关系． 25. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式进而化简得出，最后代入数据计算分式的值． 【详解】解： ， 当时，原式． 26. 已知，正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段AE上，过点F的直线，分别交AB、CD于点M、N． （1）如图，求证：； （2）如图，当点F为AE中点时，连接正方形的对角线BD，MN与BD交于点G，连接BF，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，若，，求BM的长度. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出∠B=90°，得出∠BAE+∠AEB=90°，由垂直的性质得出∠BAE+∠AMN=90°，即可得出结论； （2）连接AG、EG、CG，证明△ABG≌△CBG得出AG=CG，∠GAB=∠GCB，证出EG=CG，由等腰三角形的性质得出∠GEC=∠GCE，证出∠AGE=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出BF=AE，FG=AE，即可得出结论； （3）过G作交AD于点P，交BC于点Q，证明DP=PG=2，连接ME，证明MN是AE的垂直平分线，得，，再证明得，得，进而得，中，由勾股定理得，代入相关数据，从而得出结论. 【详解】（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵MN⊥AE于F， ∴∠BAE+∠AMN=90°， ∴∠AEB=∠AMN； （2）证明：连接AG、EG、CG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABG=∠CBG=45°，∠ABE=90°， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴AG=CG，∠GAB=∠GCB， ∵MN⊥AE于F，F为AE中点， ∴AG=EG， ∴EG=CG， ∴∠GEC=∠GCE， ∴∠GAB=∠GEC， ∵∠GEB+∠GEC=180°， ∴∠GEB+∠GAB=180°， ∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°， ∴∠AGE=90°， 在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点， ∴BF=AE，FG=AE， ∴BF=FG； （3）过G作交AD于点P，交BC于点Q，则 ，， 中，， ， ∴ ， ∴ ∵， ∴ ， ∴ 即 连接ME ∵于F，F为AE的中点, ∴MN是AE的垂直平分线 ∴， 由（2）知 ，， ∴， 又， ∴， ∴ ， ∴ ， 又， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形PDCQ为矩形 ∴ 设 ∵E是BC中点 ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 设 ∴ 中，由勾股定理得 ∴ 解得 ∴ 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $