精品解析：辽宁沈阳市法库县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这个图形叫作中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意； B、不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵分式有意义时分母不为0． ∴该分式的分母． 解得． 3. 正十二边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于． 【详解】解：因为多边形的外角和为，所以正十二边形的外角和为． 故选：C． 4. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式正确，符合题意； B、∵， ∴，原式错误，不符合题意； C、∵， ∴，原式错误，不符合题意； D、∵， ∴，原式错误，不符合题意． 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此可得答案． 【详解】解：A． ，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解； B． ，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解； C． ，从左到右将多项式化为几个整式的积的形式，属于因式分解； D． ，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． 6. 如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质，三角形内角和定理，结合图形得到角之间的关系是解题关键． 由平移的性质可得，，进而可得，最后三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：由平移的性质可得，， ， 故选：D． 7. 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在玩游戏过程中，小朋友离地面的最大距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据点是的中点得出，根据等边对等角得出，，根据三角形内角和定理得出，可得小朋友离地面的最大距离是，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，根据三角形中位线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴小朋友离地面的最大距离是， ∵，支柱垂直于地面， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴小朋友离地面的最大距离是． 8. 已知不等式ax+b＜0的解集是x＜-2，下列图象有可能是直线y=ax+b的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式得到当x＜-2时，直线y=ax+b的图象在x轴下方，然后对各选项分别进行判断． 【详解】∵不等式ax+b<0的解集是x<−2， ∴当x<−2时，函数y=ax+b的函数值为负数，即直线y=ax+b的图象在x轴下方. 故选C 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有点的横坐标所构成的集合 9. 斜边为2的两个全等的直角三角板，如图1所示拼成一个矩形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时，如图2，则平移距离的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解答本题的关键． 先求出，然后证明，推出，可得结论． 【详解】解：，， （直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半）， 四边形是菱形， ∴， ． 四边形是菱形， ∴， ，， ，． ， ． ，， ， ． 故选：A． 10. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把多项式因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解． 【详解】解： ． 12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理可得：， 解得 ，即这个多边形的边数是6． 13. 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式叫做一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 14. 如图，为等边三角形，于，点E为边的中点，点P为上一个动点，当的值最小时，线段的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值．利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，推导出，再利用利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，进而得到． 【详解】解：如连接，与交于点，此时最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故答案为：4． 15. 如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的作法和性质，勾股定理，由作图可知垂直平分线，即得，，由平行四边形的性质得，即得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程、解不等式组： （1） （2） 【答案】（1）； （2）无解 【解析】 【分析】（1）方程两边都乘以得出方程，求出方程的解，再进行检验即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解得， 解不等式②得， 解得， ∴且，无公共部分， ∴该不等式组无解． 17. 先化简：，并任选一个数a代入求值，a是整数且满足． 【答案】化简为，时，原式的值为 【解析】 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， 是整数且满足， ， ∴原式． 18. “大风车吱呀吱哟哟地转，这里的风景呀真好看，天好看，地好看，还有一起快乐的小伙伴……”这首欢快的歌，把我们拉回到快乐的童年记忆中．如图小默同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，利用图形的旋转变换绘制风车风轮的平面图形．请根据下列要求解答问题． （1）绕点逆时针旋转______度得到； （2）在图中画出将绕点顺时针旋转后得到的； （3）完整的风车风轮平面图形的面积______． 【答案】（1）90 （2） 如图所示：即为所求； （3）20 【解析】 【分析】（1）根据图形即可得到答案； （2）根据画旋转图形的作图方法求解即可； （3）根据求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，绕点逆时针旋转90度得到； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可得，， ∴完整的风车风轮平面图形的面积是20； 【点睛】本题考查坐标与图形，涉及到作旋转图形、求面积等，掌握相关知识点是关键． 19. 因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： （1）图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． （2）下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 【答案】（1）公式法 （2）①8或；②9；③；④，6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． （1）根据所学知识和图中信息提示可得空白处为公式法； （2）①根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得求解即可； ②根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得； ③先将展开，再根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得，求解即可； ④Ⅰ、直接利用完全平方公式将因式分解为即可求解； Ⅱ、设还需要x张丙纸片，由题意得，求解即可． 【小问1详解】 解：根据所学知识和图中信息提示可得空白处为：公式法， 故答案为：公式法； 【小问2详解】 ①∵是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 或， 故答案为：或； ②是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 故答案为：9； ③， 则根据多项式对应项的系数相等得：，， 解得：，， 故答案为：； ④Ⅰ、， 正方形的边长为， 故答案为：； Ⅱ、设还需要x张丙纸片， 由题意得：， ， 又x不能为负数， ， 故答案为：6． 20. 如图，已知平行四边形，的平分线交延长线于点，连接，，与相交于点，连接，平分，证明：四边形是平行四边形． 【答案】证明：是的平分线， ， 平分， ． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ，， ， ， ∵， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证明，得到，再证明，得到，进而根据平行四边形的判定即可求证． 【详解】略 21. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人表演扭秧歌，为观众带来了别开生面的新年惊喜．现有、两种型号机器人模型．已知每个模型的成本价比每个模型的成本低，同样花费100元，购进模型的数量比模型的数量多1个． （1）每个模型和模型的成本价各多少元？ （2）该机器人模型店计划购买，两种模型共120个，且每个模型的售价为35元，每个模型的售价为27元．若购进模型的数量不超过模型数量的，则购进模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）模型的进价为每个元，模型的进价为每个元 （2）购进模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程、分式方程的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设模型的成本价为  元/个，则模型进价为每个元，列出分式方程，求出解并检验即可； （2）购进模型个，则购进模型个，总利润为，用含有的关系式表示总利润，然后根据购进模型的数量不超过模型数量的，得出不等式，求出的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【小问1详解】 解：设模型的成本价为  元/个，则模型进价为每个元， 依题意得， ∴ 经检验， 是原方程的解， ∴模型进价为每个元 答：模型的进价为每个元，模型的进价为每个元． 【小问2详解】 解：设购进模型个，则购进模型个，总利润为 ． ∵购进模型的数量不超过模型数量的， ， 解得：． ，，w随着x的增大而减小， ∴当时，（元）， 即购进模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元． 22. 是等边三角形，于点M，P是射线上一动点，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当时，__________； （2）如图2，点P在线段的延长线上，连接，当点P在线段上，时，求的长； （3）如图3，在中，，，点G是的中点，点D在线段上，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点N是的中点，连接并延长交于点F． ①__________度； ②线段与线段存在一定的数量关系，请直接写出结论． 【答案】（1）2 （2） （3）①； ② 【解析】 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得，，再通过旋转得，，然后证明，最后利用全等三角形的性质来求解的长度； （2）先通过旋转得，，证明是等边三角形，再结合是等边三角形，证明，则，根据三角形内角和定理得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明，据勾股定理，即可求解； （3）在上截取，连接，证明，进而得出等边三角形，则，进而证明是的中位线，得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 是等边三角形， ，， 又将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ，， 是等边三角形，， ，是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点P在线段上， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，． 【小问3详解】 在上截取，连接， ，，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 等边三角形， ； 等边三角形， ， ，， ， ，等边三角形， ， 点G是的中点， ， ，即， 又点N是的中点， ， ，而， ． 23. 某兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在平行四边形中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折到四边形，射线与直线相交于点． （1）【操作发现】 如图1，无论点在什么位置，图中都有，请说明理由； （2）【问题延伸】 当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值； （3）【问题拓展】 如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∵将四边形沿翻折到四边形， ∴， ∴， ． （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及平行线的性质得出，根据翻折的性质可得，即可得出，根据等角对等边即可得出； （2）根据垂线段最短得出时，取最小值，根据可得取最小值，根据得出是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，即可得出答案； （3）、和点与点重合三种情况，根据勾股定理及翻折的性质分别求解即可． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：∵垂线段最短， ∴时，取最小值， ∵， ∴取最小值，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：如图，当时， ∵，将四边形沿翻折到四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴； 如图，当时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵将四边形沿翻折到四边形， ∴，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点与点重合时，即四边形沿翻折得到四边形， ∴， ∴，符合题意， ∴； 综上所述：线段的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 正十二边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 7. 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在玩游戏过程中，小朋友离地面的最大距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式ax+b＜0的解集是x＜-2，下列图象有可能是直线y=ax+b的是（　 　） A. B. C. D. 9. 斜边为2的两个全等的直角三角板，如图1所示拼成一个矩形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时，如图2，则平移距离的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把多项式因式分解的结果是______． 12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 13. 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 14. 如图，为等边三角形，于，点E为边的中点，点P为上一个动点，当的值最小时，线段的长为_______． 15. 如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程、解不等式组： （1） （2） 17. 先化简：，并任选一个数a代入求值，a是整数且满足． 18. “大风车吱呀吱哟哟地转，这里的风景呀真好看，天好看，地好看，还有一起快乐的小伙伴……”这首欢快的歌，把我们拉回到快乐的童年记忆中．如图小默同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，利用图形的旋转变换绘制风车风轮的平面图形．请根据下列要求解答问题． （1）绕点逆时针旋转______度得到； （2）在图中画出将绕点顺时针旋转后得到的； （3）完整的风车风轮平面图形的面积______． 19. 因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： （1）图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． （2）下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 20. 如图，已知平行四边形，的平分线交延长线于点，连接，，与相交于点，连接，平分，证明：四边形是平行四边形． 21. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人表演扭秧歌，为观众带来了别开生面的新年惊喜．现有、两种型号机器人模型．已知每个模型的成本价比每个模型的成本低，同样花费100元，购进模型的数量比模型的数量多1个． （1）每个模型和模型的成本价各多少元？ （2）该机器人模型店计划购买，两种模型共120个，且每个模型的售价为35元，每个模型的售价为27元．若购进模型的数量不超过模型数量的，则购进模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 是等边三角形，于点M，P是射线上一动点，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当时，__________； （2）如图2，点P在线段的延长线上，连接，当点P在线段上，时，求的长； （3）如图3，在中，，，点G是的中点，点D在线段上，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点N是的中点，连接并延长交于点F． ①__________度； ②线段与线段存在一定的数量关系，请直接写出结论． 23. 某兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在平行四边形中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折到四边形，射线与直线相交于点． （1）【操作发现】 如图1，无论点在什么位置，图中都有，请说明理由； （2）【问题延伸】 当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值； （3）【问题拓展】 如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $