精品解析：辽宁省沈阳市和平区2025-2026学年下学期八年级学情调研问卷 数学试卷

2025—2026学年下学期八年级学情调研问卷数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 2. 下列图形中为中心对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 等边三角形 C. 正九边形 D. 平行四边形 3. 数学课上，老师让同学们观察如图所示的正六边形图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：；乙同学说：；丙同学说：；丁同学说：．以上四位同学的回答中，正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 14 6. 用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，平行四边形中，点的坐标是，现将平行四边形平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A. 先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 8. 货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区，仓库到市区的路程为120千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 9. 能被下列哪个数整除（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 10. 如图，是内一点，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长是（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 22 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为__________． 12. 正七边形的外角和为__________． 13. 三个连续正整数的和小于12，在所有满足条件的正整数组中，和最大的一组的和是__________． 14. 计算：__________． 15. 在四边形中，对角线与交于，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥，从上述6个条件中，任选两个条件可以判定四边形为平行四边形的共有__________种． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 分解因式、计算： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在梯形中，，，，，，求的长度． 19. 某小区计划购买，两种型号的劳动工具．已知型劳动工具的单价比型劳动工具的单价少5元，且用3000元购买型劳动工具的数量与用3500元购买型劳动工具的数量相等．求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点），请画出； （2）在（1）的条件下，在方格纸中画出以为直角边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长． 21. 某体育商店打算购进一批甲、乙两种足球，每个甲种足球的进价是元，每个乙种足球的进价是元，如果购进甲种足球超过个，超出部分可以享受折优惠．商店决定在甲、乙两种足球中只选购其中一种，且购买数量超过个，你认为体育商店购进哪种足球更合算？ 22. 已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，），其中为小于2的最大整数． （1）求的函数表达式及与轴，轴的交点坐标； （2）点在函数的图象上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，设线段与线段长度之和为，点的横坐标为，求关于的函数表达式； （3）在（2）的条件下，若．设直线（为常数，），当直线的图象与函数的图象交点有2个时，请直接写出的取值范围． 23. 如图，已知等边，将线段绕着点顺时针旋转度（）得到线段，点对应点是点，连接，过点作的垂直平分线交直线于点，交线段于点，若射线在边右侧． （1）求的度数（用含的代数式表示）； （2）求的度数； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期八年级学情调研问卷数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【详解】解：，， ∴． 2. 下列图形中为中心对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 等边三角形 C. 正九边形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据中心对称图形的定义判断，即在同一平面内，若一个图形绕某一点旋转后，旋转后的图形能和原图形完全重合，则该图形为中心对称图形，结合各图形性质即可求解． 【详解】解：A 、等腰梯形旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． B 、等边三角形旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． C 、正九边形旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． D 、平行四边形绕对角线交点旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，符合题意． 3. 数学课上，老师让同学们观察如图所示的正六边形图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：；乙同学说：；丙同学说：；丁同学说：．以上四位同学的回答中，正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据正六边形被分成六个相同的等边三角形，再求出每个内角的度数，然后根据旋转的性质解答． 【详解】解：∵， ∴正六边形绕这点O旋转后能和本身重合． 4. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴， 解得． 5. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作于点E，由角平分线的定义得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∵， ∴． 6. 用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中给出的图形，列出等式即可． 【详解】解：根据题图可知，图2是由图1中的3个面积为的正方形，4个的长方形，1个面积为的正方形拼成， 则有：， 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、正方形的面积以及长方形的面积，熟悉相关性质是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，平行四边形中，点的坐标是，现将平行四边形平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A. 先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】解：已知点的原坐标为，平移后对应点的坐标为． ∵横坐标的变化量为，横坐标增加，即向右平移个单位长度； 纵坐标的变化量为，纵坐标增加，即向上平移个单位长度． ∴此平移为先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度． 8. 货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区，仓库到市区的路程为120千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据预定时间表示出两种货车的行驶时间，结合速度公式得到两车速度，再根据高速货车速度是普通货车速度2倍的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵预定时间为小时，普通货车比预定时间晚小时到达， ∴普通货车的行驶时间为小时，可得普通货车速度为千米/时． ∵高速货车比预定时间早小时到达， ∴高速货车的行驶时间为小时，可得高速货车速度为千米/时． ∵高速货车的速度是普通货车的倍， ∴可列方程． 9. 能被下列哪个数整除（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意对原式提取公因式可得，通过计算可得结果为，可知原式能被整除，即可解答． 【详解】解： ， 原式能被整除． 10. 如图，是内一点，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长是（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：，，， ， 、、、分别是、、、的中点， ，， 四边形的周长， ， 四边形的周长． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 两边都乘以，去分母得，， 解得， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 12. 正七边形的外角和为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由多边形外角和定理可得，任意多边形的外角和为， 因此正七边形的外角和为． 13. 三个连续正整数的和小于12，在所有满足条件的正整数组中，和最大的一组的和是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】设出三个连续正整数的最小数，根据三个数的和小于列出一元一次不等式，求解得到未知数的取值范围，结合正整数的性质得到最大的符合条件的数组，计算得到该数组的和即可． 【详解】解：设三个连续正整数中最小的数为，则另外两个数分别为，， 根据题意列不等式得： 整理不等式得： 移项合并得： 系数化为得： 为正整数， 的最大取值为， 当时，三个连续正整数为，，，和为． 14. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式将每个分解为，然后通过“约分”消去中间项，直接得到首尾相乘的结果即可． 【详解】解：原式 ． 15. 在四边形中，对角线与交于，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥，从上述6个条件中，任选两个条件可以判定四边形为平行四边形的共有__________种． 【答案】9##九 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，先得到从6个条件中选2个的所有组合，再根据平行四边形的判定定理逐一判断，统计可判定的组合的个数即可． 【详解】解：从个条件中任选个，共有种组合，按类别逐一判断如下： 1． 两个条件均为边相关： ①，②，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可以判定； ①，③，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定； ①，④，一组对边平行，另一组对边相等，四边形可能是等腰梯形，不能判定； ②，③，一组对边平行，另一组对边相等，四边形可能是等腰梯形，不能判定； ②，④，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定； ③，④，符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可以判定； 本类共有种可判定的组合． 2． 一个边条件，一个对角线条件： ①，⑤，可证，得，对角线互相平分，可以判定； ①，⑥，可证，得，对角线互相平分，可以判定； ②，⑤，可证，得，对角线互相平分，可以判定； ②，⑥，可证，得，对角线互相平分，可以判定； ③，⑤，无法推出对边平行或对角线互相平分，不能判定； ③，⑥，无法推出对边平行或对角线互相平分，不能判定； ④，⑤，无法推出对边平行或对角线互相平分，不能判定； ④，⑥，无法推出对边平行或对角线互相平分，不能判定； 本类共有种可判定的组合． 3． 两个条件均为对角线相关： ⑤，⑥，符合“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可以判定，本类共有种可判定的组合． 总可判定组合数为 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 分解因式、计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，找到解集的公共部分即为不等式组的解集，并表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，在梯形中，，，，，，求的长度． 【答案】12 【解析】 【分析】作交于点，得到四边形为平行四边形，得到，进而求出，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：作交于点， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 19. 某小区计划购买，两种型号的劳动工具．已知型劳动工具的单价比型劳动工具的单价少5元，且用3000元购买型劳动工具的数量与用3500元购买型劳动工具的数量相等．求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ 【答案】型劳动工具的单价为30元，型劳动工具的单价为35元 【解析】 【分析】设A型劳动工具的单价为元，则B型劳动工具的单价为元．根据“购买数量相等”的等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设A型劳动工具的单价为元，则B型劳动工具的单价为元． 由题意可知， 解得， 检验：当时，分母， 因此是原方程的解， ∴B型单价为元， 答：型劳动工具的单价为30元，型劳动工具的单价为35元． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点），请画出； （2）在（1）的条件下，在方格纸中画出以为直角边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如上图，三角形即为所求； 或 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）分两种情况，点向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到点，连接得到等腰直角三角形，连接，勾股定理求出的长，点向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到点，连接得到等腰直角三角形，连接，勾股定理求出的长 即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 由勾股定理，得；. 21. 某体育商店打算购进一批甲、乙两种足球，每个甲种足球的进价是元，每个乙种足球的进价是元，如果购进甲种足球超过个，超出部分可以享受折优惠．商店决定在甲、乙两种足球中只选购其中一种，且购买数量超过个，你认为体育商店购进哪种足球更合算？ 【答案】当购进足球正好个，选择购甲种和乙种其中一种即可；当购进足球超过个，选择购甲种足球省钱；当购进足球超过个，小于个，选择购乙种足球省钱 【解析】 【分析】根据题意，购买个甲种足球需要元，购买x个乙种足球需要元，分三种情况进行解答即可． 【详解】解：根据题意，购买个甲种足球需要元，购买个乙种足球需要元， 若，解得，选择购甲种和乙种其中一种即可； 若，解得，选择甲种足球省钱； 若，解得，则，选择购乙种足球省钱； 综上，当购进足球正好个，选择购甲种和乙种其中一种即可；当购进足球超过个，选择购甲种足球省钱；当购进足球超过个，小于个，选择购乙种足球省钱． 22. 已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，），其中为小于2的最大整数． （1）求的函数表达式及与轴，轴的交点坐标； （2）点在函数的图象上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，设线段与线段长度之和为，点的横坐标为，求关于的函数表达式； （3）在（2）的条件下，若．设直线（为常数，），当直线的图象与函数的图象交点有2个时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意，，即可得出函数解析式，进而求出直线与坐标轴的交点即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，求出的坐标，进而求出线段与线段长度之和，列出函数关系式即可； （3）分和时，两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵为小于2的最大整数， ∴， ∴； 当时，；当时，； 故与轴，轴的交点坐标分别为， 【小问2详解】 解：由题意，， ∵过点作轴的平行线交函数的图象于点， ∴， ∵过点作轴的平行线交函数的图象于点， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知：； ∵， ∴当时，， 当时，， 当时，． 画出函数图象如图： ∵， ∴当时，， ∴直线过定点， 当，直线过点时，则，解得， 此时直线的图象与函数的图象只有1个交点， ∴当时，直线的图象与函数的图象交点有2个； 当，直线过点时，则，解得， 此时直线的图象与函数的图象只有1个交点， ∴当时，直线的图象与函数的图象交点有2个； 综上：或. 23. 如图，已知等边，将线段绕着点顺时针旋转度（）得到线段，点对应点是点，连接，过点作的垂直平分线交直线于点，交线段于点，若射线在边右侧． （1）求的度数（用含的代数式表示）； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）； （2） （3）证明：在射线上截取，连接， 由（2）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在射线上截取，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角结合三角形的内角和定理进行求解即可； （2）易得，等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，三角形的内角和定理求出，对顶角相等，即可得出结果； （3）在射线上截取，连接，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，在射线上截取，连接，易得是等边三角形，证明，推出，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵等边， ∴， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $