精品解析：辽宁省沈阳市法库县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 试题满分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题上做答，答在本试题上无效； 3．考试结束，将本试题和答题卡一并交回； 4．本试题包括三道大题，23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列选项中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 4. 若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，于点，则的长为（ ）     A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，尺规作图得，若，，则长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 如图，将△ABC旋转得到△ADE，DE经过点C，若AD⊥BC，，则∠ACB的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，M、N分别是的中点，D、E为上的点，连结．若，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 12. 如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是________． 13. 一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是________边形． 14. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x不等式x+1≥mx+n的解集为_____． 15. 如图，设P是等边内的一点，，，，则的度数是___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程： （2）解不等式组： 17. 先化简：，再从中选出一个合适的整数的值，代入求值． 18. 某种商品进价20元、标价30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于，请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？ 19. 如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 20. 如图，在平行四边形中，点为边中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于M，N两点；②分别以M，N两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接． （1）由图中的尺规作图可知，线段与线段的位置关系为 ； （2）若，，求度数． 21. 为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备购买甲、乙两款跳绳．已知甲款跳绳的单价比乙款跳绳的单价少5元，用250元购买甲款跳绳的数量与用300元购买乙款跳绳的数量相同． （1）求甲、乙两款跳绳的单价各是多少元； （2）该校计划购买甲、乙两款跳绳共50条，且甲款跳绳的数量不超过乙款跳绳数量的一半，求购买这批跳绳的最少费用． 22. 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 23. 【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 试题满分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题上做答，答在本试题上无效； 3．考试结束，将本试题和答题卡一并交回； 4．本试题包括三道大题，23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据轴对称的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形逐一排除即可，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 若，则下列选项中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：已知，分析各选项： 选项A：两边同时加3，不等式方向不变，即，成立． 选项B：两边同时减3，不等式方向不变，应为，但选项为，不成立． 选项C：两边同时乘以正数3，不等式方向不变，应为，但选项为，不成立． 选项D：两边同时乘以负数，不等式方向改变，应为，但选项为，不成立． 故选A． 3. 要使分式有意义，则x取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴． ∴ 故选A． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 4. 若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可． 【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得， ∵得到的， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 5. 如图，，，于点，则的长为（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 6. 如图，在平行四边形中，尺规作图得，若，，则长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，勾股定理等知识，根据尺规作图可知是的角平分线，且，可得，四边形是菱形，在中，求出的长度，根据，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，是的角平分线，，， ∴是的垂直平分线，如图所示，设与交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴根据对角线相互垂直且平分的四边形是菱形可得，四边形是菱形， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故选：． 7. 如图，将△ABC旋转得到△ADE，DE经过点C，若AD⊥BC，，则∠ACB的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据平角的定义即可得． 【详解】解：∵将旋转得到，， ∴， ， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 8. 关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集求参数．表示出不等式组的解集，由不等式组恰有3个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：解不等式组得， ∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴整数解为2，3，4， ∴． 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：分别求出符合条件的点P的坐标，并验证是否构成三角形即可． 【详解】解：①当时： 的长度为． 设，则的长度为． 由，解得或． 当时，P与O重合，无法构成三角形，舍去；当时，P有效． ②： 的长度为，由，解得或． 对应的点和均不共线，有效． ③： 由，平方后解得． 点与O、A不共线，有效． 综上，符合条件的点P共有4个：、、、． 故选D． 10. 如图，在中，，M、N分别是的中点，D、E为上的点，连结．若，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，三线合一，勾股定理，连接，易得是的中位线，得到，过点作于，三线合一，勾股定理求出的长，根据图中阴影部分的三个三角形的底长都是，且高的和为，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是，且高的和为； ∴． 故选B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式后，运用平方差公式进行分解。 【详解】解：。 故答案为： 12. 如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是________． 【答案】20米 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质．由三角形的中位线得，即可求解． 【详解】解：点P，Q分别是的边和的中点， 是的中位线， （米）， 故答案为：20米． 13. 一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是________边形． 【答案】##十 【解析】 【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和，熟记任意凸多边形的外角和都为以及其内角和公式为（其中n为边数）是解答本题的关键．结合题意列出等式，求出n即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意，得， 解得， 故答案为：． 14. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】将P(a，2)代入直线l1：y＝x+1中求出a＝1，然后再根据图像越在上方，其对应的函数值越大即可求解． 【详解】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1， 从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方， 即当x≥1时，x+1≥mx+n， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系，图像越在上方，其对应的函数值就越大． 15. 如图，设P是等边内的一点，，，，则的度数是___________． 【答案】##150度 【解析】 【详解】将绕点B逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得出答案． 【解答】解：∵为等边三角形， ∴， 将绕点B逆时针旋转得， 连接，如图， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解以及一元一次不等式组的求解，熟练掌握分式方程和不等式组的解法是解决本题的关键． （1）根据分式方程的解题步骤，先去分母变为一元一次方程求解后并检验即可． （2）分别求解不等式，即可求解不等式组的解集 【详解】（1）解：， 方程两边同乘得：， 解得： 经检验，是原分式方程的根． （2）解：， 解不等式①：得， 解不等式②：得 原不等式组的解集为． 17. 先化简：，再从中选出一个合适的整数的值，代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值． 先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从0，1，2中选出使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 详解】解： ， 对于，则或1或2， 当或1的时候，原分式无意义， ∴，则原式． 18. 某种商品进价20元、标价30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于，请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？ 【答案】这种商品最多可以按七折销售 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式解决实际问题．设这种商品按折销售，根据“利润率不能少于”列出不等式，求解即可． 【详解】解：设这种商品按折销售， 根据题意得：， 解这个不等式得：， 答：这种商品最多可以按七折销售． 19. 如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 20. 如图，在平行四边形中，点为边的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于M，N两点；②分别以M，N两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接． （1）由图中的尺规作图可知，线段与线段的位置关系为 ； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知垂直平分，即可得到答案； （2）求出，，再进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由作图可知，垂直平分， 故答案为： 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ∵E为线段的中点，垂直平分， 垂直平分， ， . 【点睛】此题考查了垂线的作图、线段垂直平分线的性质、等边对等角、平行四边形的性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质、等边对等角是解题的关键． 21. 为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备购买甲、乙两款跳绳．已知甲款跳绳的单价比乙款跳绳的单价少5元，用250元购买甲款跳绳的数量与用300元购买乙款跳绳的数量相同． （1）求甲、乙两款跳绳的单价各是多少元； （2）该校计划购买甲、乙两款跳绳共50条，且甲款跳绳的数量不超过乙款跳绳数量的一半，求购买这批跳绳的最少费用． 【答案】（1）甲款跳绳25元，乙款跳绳30元 （2）购买这批跳绳的最少费用为1420元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设甲款跳绳单价是x元，则乙种跳绳单价为元，根据“用250元购买甲款跳绳的数量与用300元购买乙款跳绳的数量相同”列出分式方程，计算求出满足要求的解，然后作答即可； （2）设购买乙款跳绳m个，则购买甲款跳绳个，所需总费用为元，依题意得，，依题意得：，可求，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设甲款跳绳单价是x元，则乙种跳绳单价为元， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲款跳绳25元，乙款跳绳30元； 【小问2详解】 解：设购买乙款跳绳m个，则购买甲款跳绳个， 设购买这批跳绳的费用为w元， 根据题意，得， ， 随m的增大而增大， 根据题意，得．解得． 为整数， 的最小值是34． 当时，w有最小值，最小值为（元）． 答：购买这批跳绳的最少费用为1420元． 22. 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 23. 【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$