精品解析：2022年江苏省南京市六合区马鞍学校中考数学模拟卷 (3)

南京市六合区马鞍学校中考数学模拟卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是：x-2≠0，解得：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集以及不等式的解集在数轴上表示，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和解不等式的方法． 利用不等式的性质求出不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 不等式的解集是： 不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题考查了积的乘方运算，正确的计算是解题的关键． 4. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O，A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示.若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（　　） ①在M处放置2台该型号的灯光装置；②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置；③在P处放置2台该型号的灯光装置． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解． 【详解】解：①在M处放置2台该型号的灯光装置，如图： 摄像装置的视角为， ∵， ∴在M处放置2台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮； ②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置 ∵， ∴在M，N处各放置1台该型号的灯光装置； ③在P处放置2台该型号的灯光装置，如图： ∵，不能找到一个角和相等 ∴由图可知，在P处放置2台该型号的灯光装置，不能使表演区完全照亮； 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意易得AD=2，，BD=1，然后可得，，设BC=x，则CD=x+1，进而根据相似三角形及勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，如图所示： ∵，， ∴AD=2，，BD=1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设BC=x，则CD=x+1， ∴， 在Rt△BEC中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴， ∴点； 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 6. 矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（　　） A. 3.6 B. C. 3.5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接ON、OG、OF，作OH⊥CD于H，在Rt△FDN中，FN2=DF2+ND2，即FN2=（12-FN）2+42，可得FN的值，设FG=x，由OG2=ON2-GN2=OF2-FG2，可得FG的值，进而即可求解． 【详解】解：连接ON、OG、OF，作OH⊥CD于H， ∵点O是矩形对称中心，矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处， ∴DH=HC=CD=6，OF=AB=6， ∵以O为圆心的圆与NF相切， ∴OG⊥NF， 由折叠的性质可知，NC=NF， 在Rt△FDN中，FN2=DF2+ND2，即FN2=（12-FN）2+42， 解得，FN=， ∴DN=12-=， ∴HN=HD-DN=6-=， 设FG=x，则NG=-x， ∵OG2=ON2-GN2=OF2-FG2， 即42+()2-（-x）2=62-x2， 解得，x=4.8， ∴OG= 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. －的相反数是__________，－的倒数是__________． 【答案】 ①. ②. －3 【解析】 【分析】根据倒数、相反数的定义即可求出结果． 【详解】－的相反数是：； －的倒数是：－3． 故答案为，－3 【点睛】本题考查了倒数、相反数的定义，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数． 8. “沉睡数千年，一醒惊天下”．三星堆遗址在5号坑提取出仅1.4 cm的牙雕制品，最细微处间隔不足50 μm（1μm＝10－6 m），用科学记数法表示50 μm是_____m． 【答案】5×10－5 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：最细微处间隔不足50 μm（1μm＝10-6 m），用科学记数法表示用科学记数法表示，则：50 ×10-6=5×10-5m， 故答案为：5×10-5． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 9. 计算的结果是______． 【答案】3 【解析】 【分析】把算式中非最简二次根式化为最简二次根式，然后化简即可． 【详解】 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，在进行二次根式的运算时，一般先把二次根式化成最简二次根式，再进行计算． 10. 方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案． 【详解】解： ①×2得：2x-4y=6③ ②-③得：3y=3， ∴y=1， 将y=1代入①得：x-2=3， ∴x=5， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用方程组的解法，本题属于基础题型． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：式子 在实数范围内有意义， 有意义，即，解得， 且 ，解得 ． 故答案为：且． 12. 写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系．设此一元二次方程为，根据两根之和是4，两根之积是2，求出、的值即可． 【详解】解：设此一元二次方程为， ∵它的两根之和是4，两根之积是2， ∴，， ∴， ∴这个方程为：． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了1000名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 204 196 160 186 254 根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是________ 人． 【答案】7200 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得． 【详解】解：根据题意得： 12000×=7200（人）， 答：该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是7200人； 故答案为：7200． 【点睛】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 14. 在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标为A(1，5)，B(−1，1)，C(3，2)，则点D的坐标是______． 【答案】(5，6) 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设点D的坐标是(x，y)， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴x=5，y=6， ∴点D的坐标是(5，6)， 故答案为：(5，6) ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，G为AD边上的一点，将矩形沿BG翻折，使得点A落在EF上的处．若，则BG的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据轴对称的性质，即可得到是等边三角形，根据轴对称的性质，即可得到，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如图，连接， 由折叠得EF垂直平分AB， ∴， 由折叠得， ∴是等边三角形， ∴， 即， 在中，， 设，则 由勾股定理得， 解得，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 16. 如图，在五边形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】作出如图的辅助线，推出四边形OFBG是正方形，设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r，ME=r -2，ON=r-1，证明Rt△OME≌Rt△OND，得到OM= ON=r-1，在Rt△OME中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：取DE的中点O，连接OF、OG，延长GO与AE的延长线相交于点M，过点D作DN⊥MG于点N， ∵BC切⊙O于点G，∴CG⊥BG， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABGM、四边形GCDN和四边形OFBG都是矩形， ∵OF=OG， ∴四边形OFBG是正方形， 设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r， ∵AE=2，CD=1， ∴ME=r -2，ON=r-1， 在Rt△OME和Rt△OND中，， ∴Rt△OME≌Rt△OND， ∴OM= ON=r-1， 在Rt△OME中，OE2=ME2+OM2， ∴r2=( r -2)2+( r-1)2， 解得：r=1(舍去)或5， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程组 ． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法计算，即可求解． 【详解】解∶ ①×2-②得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键． 18. 计算． 【答案】x2 【解析】 【分析】先算括号内、再把除法变成乘法，再按分式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： =x2． 【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算法则，灵活运用分式的四则混合运算法则是解答本题的关键． 19. 某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其中有两箱储存厂家的疫苗，另两箱分别储存厂家和厂家的疫苗． （1）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，求拿出的两个冷藏箱里有厂家疫苗的概率； （2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好拿到厂家疫苗的概率是_____． 【答案】（1）拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率为；（2）． 【解析】 【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的结果有10种，再由概率公式求解即可； （2）直接由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）画树状图如图： 共有12种等可能的结果，拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的结果有10种， ∴拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率为； （2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好拿到A厂家疫苗的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到．某天由甲，乙，丙3名同学检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级． （1）甲检查初一年级的概率为 ； （2）求他们都不检查自己所在年级的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解题； （2）根据题意列表法分析所有等可能的结果，继而解得他们都不检查自己所在年级的概率． 【详解】解：（1）甲只能检查三个年级的一个年级，概率为：， 故答案为：； （2）设甲，乙，丙分别来自初一，初二，初三3个年级， 他们都不检查自己所在年级时，如下表： 初一 初二 初三 丙 甲 乙 乙 丙 甲 甲，乙，丙3名同学各自检查一个年级，所有可能出现的结果共有6种，满足他们都不检查自己所在年级的结果有2种，所以P＝＝ ． 【点睛】本题考查概率、列表法或画树状图求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 某学校护学岗值班，每天只需要一名家长．甲、乙两位家长从周一到周四这四天中各随机选择两天值班． （1）求甲恰好是连续的两天值班的概率； （2）甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是______． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案； （2）根据（1）得出的所有等可能的情况数，找出甲、乙恰好都是连续的两天值班的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）甲随机选择两天，所有可能出现的结果有6种， 即（周一，周二）、（周一，周三）、（周一，周四）、（周二，周三）、（周二，周四）、（周三，周四），共有6种，这些结果出现的可能性相等． 所有的结果中，满足“甲恰好是连续的两天值班”（记为事件）的结果有3种， 即（周一，周二）、（周二，周三）、（周三，周四），所以． （2）共有6种等可能的情况数，其中甲、乙恰好都是连续两天值班的有2种，即甲（周一，周二），乙（周三，周四）、甲（周三，周四），乙（周一，周二）则甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，，是上的两点，点在内，点在外，，分别交于点，．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长BC交于点G，连接AG，BE，根据圆周角定理以及三角形外角性质可得∠ACB=∠CAG+∠AEB，从而得到∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，即可求证． 【详解】证明∶如图，延长BC交于点G，连接AG，BE， ∵∠AGB=∠AEB，∠ACB=∠AGB+∠CAG， ∴∠ACB=∠CAG+∠AEB， ∵∠AEB=∠ADB+∠DBE， ∴∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE， ∵点在内，点在外， ∴∠CAG＞0°，∠DBE＞0°， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，三角形外角性质是解题的关键． 23. 小明骑自行车从家匀速驶往学校，经过一个路口时恰好遇到红灯，红灯变成绿灯后，小明立即以原速骑到学校．在整个过程中，小明离家的距离y1(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示． （1）小明家与学校的距离是________，小明骑车的速度是________； （2）求图中点的坐标，并解释它的实际意义； （3）小明从家出发一段时间后，妈妈发现粗心的小明把数学书忘在家里了，于是立即从家出发，沿着小明上学的路线骑电动车以的速度追赶小明，经过路口时遇到红灯，等待后以原速继续骑行，结果在离学校还有处追上小明．在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离与小明出发的时间之间的函数图像． 【答案】（1）1500；150 （2）A(5，600)；实际意义见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据图象回答可知家与学校距离为1500m，经过4分钟，小明匀速驶过600m，列式计算即可求得小明骑车速度； （2）若不等红灯，小明到达学校用时10(min)，据此可求得A(5，600)； （3）分段求得妈妈骑行所用时间，即可求解． 【小问1详解】 解：11 min时，小明到达学校，故家与学校距离为1500m， 经过4 min，小明匀速驶过600m，故小明骑车速度为=150()， 故答案为：1500；150； 【小问2详解】 解：若不等红灯，小明到达学校用时=10(min)， ∴小明等红灯用时：11-10=1(min)， ∴A(5，600)， 点的实际意义：表示红灯变成绿灯后，小明开始以原速度骑车前往学校； 【小问3详解】 解：由题意知，红灯距离家有600m，因此妈妈到达路口用时：=2(min)， 等待30s继续骑行，小明距离学校150m时，小明用时=10(min)， 追上小明，妈妈用时：+=5(min)， 因此，妈妈在小明出发5 min后出发，2 min到达路口，等待30秒，再用4.5 min在距离150m处追上小明． 函数图像如图所示． ． 【点睛】本题考查一次函数的应用、速度、路程、时间之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24. 已知一次函数（a为常数，）和． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标； （2）不论a为何值，（a为常数，）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______； （3）若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）两个函数图象的交点坐标为(-1，0)； （2）(-3，2) （3）a的取值范围是a>1或a<-1． 【解析】 【分析】（1）把a=-1代入求得y1=-x-1，再联立解方程组即可求解； （2）把y1=ax+3a+2变形为y1-2=a(c+3)，据此即可求解； （3）画出函数图象，当直线y1=ax+3a+2经过y2=x+1与x轴的交点B(-1，0)时，求得此时a的值；当直线y1=ax+3a+2与直线y2=x+1平行时，求得此时a的值，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵y1=ax+3a+2， ∴当a=-1时，y1=-x-1， 联立， 解得， 故两个函数图象的交点坐标为(-1，0)； 【小问2详解】 解：因为y1=ax+3a+2 (a为常数，a≠0), 所有y1-2=a(c+3)，所以当x=-3时，y1恒等于2， 所以y1=ax+3a+2的图象过定点A，其坐标为(-3，2)； 故答案为：(-3，2)； 【小问3详解】 解：画出函数图象如图： 当直线y1=ax+3a+2绕着点A旋转，点B为y2=x+1与x轴的交点，坐标为B(-1，0)， 此时0=-a+3a+2， 解得a=-1， 当直线y1=ax+3a+2与直线y2=x+1平行时， 此时a=1， ∴当a>1或a<-1时，两个函数图象的交点在第三象限， 故a的取值范围是a>1或a<-1． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是结合一次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围的影响． 25. 如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC的延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE． （1）求证：∠D=∠ABE； （2）若AB=5，BC=6， ①求⊙O的半径r； ②的最大值为______． 【答案】（1） 证明：∵， ∴∠CAE=∠CBE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，∠ACB=∠D+∠CAE， ∴∠D=∠ABE； （2）①r=；② 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CAE=∠CBE，再利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质即可证明∠D=∠ABE； （2）①利用垂径定理构造直角三角形，根据勾股定理列方程计算即可求解； ②证明△DAC∽△DBE，推出，当BE最大为⊙O的直径，取得最大值，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①延长AO交BC于点H，连接OC， ∵AB=AC，AB=5，BC=6， ∴AH⊥BC，BH=CH=3， ∴AH=4， ∵OA=OC=r， ∴OH=4- r， 在Rt△OCH中，(4- r)2+32=r2， 解得：r=； ②∵∠CAE=∠CBE， ∴△DAC∽△DBE， ∴， ∵AB=AC=5，BE是⊙O的弦， ∴当BE最大时，取得最大值， 即BE最大为⊙O的直径，即BE=2r=， ∴的最大值为， 即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 26. 某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式： 方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩． 方式二 每亩土地的年租金是600元． （1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元； （2）当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？ （3）农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围． （注：年收入＝年总租金－捐款数） 【答案】（1）500 （2）30亩；4500元 （3） 【解析】 【分析】（1）依据出租方式进行列式计算即可； （2）分别计算出方式一与方式二的总租金，再计算差，得二次函数，依据二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得到关系式，根据方式 一的年收入高于方式二的年收入可得关于a的不等式，即可求出a的即会范围． 【小问1详解】 若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是： （元） 故答案为：500； 【小问2详解】 设出租亩土地，则方式一的每亩年租金为：， ∴方式一的年总租金为： 方式二的年租金为 设方式一与方式二的年总租金差为y元，由题意得， ∵ ∴当时，y有最大值为4500 ∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元； 【小问3详解】 设出租亩土地，方式一的年收入为：方式二的年收入为：； 设方式一与方式二的年总租金差为w元，由题意可得， 所以，对称轴为直线 ∵ ∴对称轴直线 ∵ ∴当时，w取得最小值 租出的土地小于60亩时，方式 一的年收入高于方式二的年收入，则 即： 解得，， ∵ ∴a的取值范围为： 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式． 27. 【概念认识】 与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆． （1）【初步理解】如图①~③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ． （2）【计算求解】已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，请求出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长． （3）【深入研究】如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作出矩形ABCD的第Ⅰ类圆或第Ⅱ类圆．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（第Ⅰ类圆，第Ⅱ类圆任选一个即可） 【答案】（1）⊙O1；⊙O2 （2）第Ⅰ类圆的半径是或；第Ⅱ类圆的半径是 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目中所给定义，就可以解决此问； （2）第Ⅰ类圆分两种情况求:当AD＝6，AB＝4时和AD＝4，BC＝6时，再根据圆的切线的性质定理，构造出直角三角形，利用勾股定理，列出方程，进行解答即可．第Ⅱ类圆，过点O作交于点M，交BC于点N，连接OC，利用切线性质和勾股定理，列出方程： ，即可得出第Ⅱ类圆的半径； （3）第Ⅰ类圆就是作不在同一直线上三点之间线段的垂直平分线，其交点就是圆心，以圆心到三点中任意一点的线段长为半径画出的圆就是第Ⅰ类圆； 矩形的Ⅱ类圆的作法就是：先作出∠BAD的平分线，然后在角平分线上任取点E，过点E作，垂足为点F，接着以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG．过点C作，CH交AD于点H，再过点H作AD的垂线，交∠BAD的平分线于点O，最后以点O为圆心，OH为半径的圆，画圆即可． 【小问1详解】 解：与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆，是符合Ⅰ类圆的定义，是矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆，符合Ⅱ类圆的定义，是矩形的第Ⅱ类圆． 故答案为：⊙O1；⊙O2； 【小问2详解】 如图1，设AD＝6，AB＝4，切点为E，过点O作交BC于F，交AD于E， ∵四边形ABCD是矩形, ∴BC=AD=6,, ∵， ∴， ∴， ∴四边形ABFE是矩形， ∴AB=EF=4, 连接BO，设BO＝r，则OE＝r，OF＝4－r， 由垂径定理可得，BF＝CF＝3， 在中，， ∴， 解得:； 如图2，设AD＝4，BC＝6，切点为E，过点O作交BC于F，交AD于E，连接BO， ∵四边形ABCD是矩形, ∴BC=AD=4,, ∵， ∴， ∴， ∴四边形ABFE是矩形, ∴AB=EF=6, 设BO＝r，则OE＝r，OF＝6－r， 由垂径定理可得，BF＝CF＝2， 在中， ∴， 解得:； 综上所述：第Ⅰ类圆的半径是或； 如图3，AD＝6，AB＝4，过点O作交于点M，交BC于点N，连接OC， 设AB边与的切点为G，连接OG， ∵四边形ABCD是矩形, ∴BC=AD=6,, ∵， ∴， ∴， ∴四边形ABNM是矩形， ∴AB=NM=4, ∵AB边与的切点为G， ∴ ∴， 设OM＝r，则OC＝r，则ON＝4－r， ∵OG＝r， ∴， ∴四边形BNOG是矩形， ∴， ∴NC＝6－r， 在中，， ， 解得， ∵, ∴ ∴第Ⅱ类圆的半径是:； 【小问3详解】 ①如图4， 第一步，作线段AD的垂直平分线交AD于点E， 第二步，连接EC， 第三步，作EC的垂直平分线交EF于点O， 第四步，以O为圆心，EO为半径作圆， ∴⊙O即为所求第Ⅰ类圆； ②如图5， 第一步：作∠BAD的平分线； 第二步：在角平分线上任取点E，过点E作，垂足为点F； 第三步：以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG； 第四步：过点C作，CH交AD于点H； 第五步：过点H作AD的垂线，交∠BAD的平分线于点O； 第六步：以点O为圆心，OH为半径的圆，即为所求第Ⅱ类圆． 【点睛】本题考查了根据新定义判断新知识、切线的性质定理、勾股定理、圆的画法、矩形的判定和性质等知识．把握圆的基础知识和准确的作出辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市六合区马鞍学校中考数学模拟卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O，A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示.若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（　　） ①在M处放置2台该型号的灯光装置；②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置；③在P处放置2台该型号的灯光装置． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（　　） A. 3.6 B. C. 3.5 D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. －的相反数是__________，－的倒数是__________． 8. “沉睡数千年，一醒惊天下”．三星堆遗址在5号坑提取出仅1.4 cm的牙雕制品，最细微处间隔不足50 μm（1μm＝10－6 m），用科学记数法表示50 μm是_____m． 9. 计算的结果是______． 10. 方程组的解是_______． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 12. 写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2：___________． 13. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了1000名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 204 196 160 186 254 根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是________ 人． 14. 在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标为A(1，5)，B(−1，1)，C(3，2)，则点D的坐标是______． 15. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，G为AD边上的一点，将矩形沿BG翻折，使得点A落在EF上的处．若，则BG的长为______． 16. 如图，在五边形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程组 ． 18. 计算． 19. 某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其中有两箱储存厂家的疫苗，另两箱分别储存厂家和厂家的疫苗． （1）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，求拿出的两个冷藏箱里有厂家疫苗的概率； （2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好拿到厂家疫苗的概率是_____． 20. 某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到．某天由甲，乙，丙3名同学检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级． （1）甲检查初一年级的概率为 ； （2）求他们都不检查自己所在年级的概率． 21. 某学校护学岗值班，每天只需要一名家长．甲、乙两位家长从周一到周四这四天中各随机选择两天值班． （1）求甲恰好是连续的两天值班的概率； （2）甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是______． 22. 如图，，是上的两点，点在内，点在外，，分别交于点，．求证． 23. 小明骑自行车从家匀速驶往学校，经过一个路口时恰好遇到红灯，红灯变成绿灯后，小明立即以原速骑到学校．在整个过程中，小明离家的距离y1(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示． （1）小明家与学校的距离是________，小明骑车的速度是________； （2）求图中点的坐标，并解释它的实际意义； （3）小明从家出发一段时间后，妈妈发现粗心的小明把数学书忘在家里了，于是立即从家出发，沿着小明上学的路线骑电动车以的速度追赶小明，经过路口时遇到红灯，等待后以原速继续骑行，结果在离学校还有处追上小明．在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离与小明出发的时间之间的函数图像． 24. 已知一次函数（a为常数，）和． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标； （2）不论a为何值，（a为常数，）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______； （3）若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围． 25. 如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC的延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE． （1）求证：∠D=∠ABE； （2）若AB=5，BC=6， ①求⊙O的半径r； ②的最大值为______． 26. 某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式： 方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩． 方式二 每亩土地的年租金是600元． （1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元； （2）当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？ （3）农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围． （注：年收入＝年总租金－捐款数） 27. 【概念认识】 与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆． （1）【初步理解】如图①~③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ． （2）【计算求解】已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，请求出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长． （3）【深入研究】如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作出矩形ABCD的第Ⅰ类圆或第Ⅱ类圆．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（第Ⅰ类圆，第Ⅱ类圆任选一个即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $