精品解析：江苏省徐州市东湖实验学校2022-2023学年九年级上学期苏科版二调数学模拟卷5

徐州市东湖实验学校二调模拟卷5 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，对选项逐个判断即可．含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 【详解】解：A、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B、是不等式，不是等式，不符合题意； C、分母有未知数，为分式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D 【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握一元二次方程的概念． 2. 按照党中央、国务院决策部署，各省、市抓紧推动稳经济一揽子政策落地．孝南区某企业4月份的利润是万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为，则依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据4月利润及平均月增长率可得5月的利润为，同理根据5月利润及平均月增长率可得5月的利润，再根据第二季度的总利润达到500万元即可列出方程． 【详解】解：∵4月份的利润是万元且利润平均月增长率为， ∴5月的利润为，同理6月的利润为， ∵第二季度的总利润达到500万元， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程实际应用题的平均增长率问题，解题关键是找准等量关系连续几个月的利润分别为多少． 3. 如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( ) A. 55° B. 70° C. 110° D. 125° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数． 4. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内切圆得出点到三边的距离相等，即可得出结论． 【详解】解：是的内切圆， 则点到三边的距离相等， 点是的三条角平分线的交点； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质． 5. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】由位似变换的性质可知， △ABC与△DEF的相似比为：1∶2 △ABC与△DEF的面积比为：1∶4 故选C． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 6. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得，对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向下， ∴当或时， ， ∴不等式的解集是或， 故选：B． 7. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 8. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可． 【详解】解∶∵对称轴 ∴，2a+b=0；故②正确； ∴a、b异号， ∴ab＜0，故①正确； ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误； 根据图示知，当m=1时，有最大值； 当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c， 所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确． 如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 方程的解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解． 【详解】解：由，得 或， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 10. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得. 11. 当k_____时，关于x的方程有两个实数根． 【答案】且 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式，列出关于的不等式组，然后求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：关于x的方程有两个实数根， ， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式是解题的关键，一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 12. 如图，是的切线，是切点．若，则______________． 【答案】130° 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴由四边形内角和可得：， ∵， ∴； 故答案为130°． 【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 13. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为：， 即： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 14. 若抛物线y＝（a－1）x2－2x＋3与x轴有交点，则整数a的最大值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】抛物线与x轴有交点，判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点 ∴， 解得：， ∵a≠1 故答案为0 【点睛】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握有关性质是解题的关键，易错点是容易忽略二次项系数不能为0． 15. 如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可） 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题． 【详解】解：根据题意，添加条件， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知易得：△MBA∽△MCO，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长． 【详解】根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知， 即， 解得AM=5． ∴小明的影长为5米． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长. 17. 如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知与的比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_______cm． 【答案】60 【解析】 【分析】如图：都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，即，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，都与水平线的垂直，M，N是垂足，则， ∵， ∴， ∴=， ∵与的比为， ∴，即， ∴当cm时，cm， 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压60cm． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则的值为_______． 【答案】48 【解析】 【分析】过作于，交于，设，，，通过证得△△，得到，解方程组求得、的值，即可得到的坐标，代入即可求得的值． 【详解】解：过作于，交于， ， ， ， ， ， △△， ， 设， ，， 正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点， ，， ， 解得，， ， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为48． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得的坐标是解题的关键． 三、解答题 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）观察方程可知，采用因式分解的方法即可求解； （2）观察方程可知，采用因式分解的方法即可求解． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 或 ， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，属于基础计算题考查，难度不大．解题的关键是观察方程结构采用合适的方法求解和计算的准确性． 20. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，有一矩形的硬纸板，长为，宽为，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为？ 【答案】剪掉的正方形的边长为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程． 设剪去正方形的边长为xcm，根据长方体盒子的底面积为列出关于x的方程求解． 【详解】解：设剪去的正方形边长为，由题意得 ， 化简得， ， 解得，， 又，即 ． 答：剪掉的正方形的边长为． 22. 如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 23. 如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C， （1）若∠ADE=25°，求∠C的度数； （2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长． 【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2． 【解析】 【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可； （2）根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）如图，连接OA， ∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∵，∠ADE=25°， ∴∠AOE=2∠ADE=50°， ∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°； （2）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵， ∴∠AOC=2∠B， ∴∠AOC=2∠C， ∵∠OAC=90°， ∴∠AOC+∠C=90°， ∴3∠C=90°， ∴∠C=30°， ∴OA=OC， 设⊙O的半径为r， ∵CE=2， ∴r=(r+2)， 解得：r=2， ∴⊙O的半径为2． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． 24. 某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． （1）求y关于x的一次函数解析式； （2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 【答案】（1） （2）价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元 【解析】 【分析】（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案； （2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案． 【小问1详解】 解：设，把，和，代入可得 ， 解得， 则； 【小问2详解】 解：每月获得利润 ． ∵， ∴当时，P有最大值，最大值为3630． 答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值． 25. 如图，以的直角边为直径作交斜边于点，过圆心作，交于点，连接． （1）判断与的位置关系并说明理由； （2）求证：． 【答案】（1）相切，理由见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）连接OD、BD，根据切线的判定即可求证答案； （2）易证△BCD∽△ACB，从而，即BC2=CD•AC，由（1）知DE=BE=CE=BC，所以4DE2=CD•AC，从而可证明2DE2=CD•OE； 【详解】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图， 连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， ∵OE∥AC，OA=OB， ∴BE=CE， ∴DE=BE=CE， ∴∠DBE=∠BDE， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵∠BDC=∠ABC=90°，∠C=∠C， ∴△BCD∽△ACB， ∴， ∴BC2=CD•AC， 由（1）知DE=BE=CE=BC， ∴4DE2=CD•AC， 由（1）知，OE是△ABC是中位线， ∴AC=2OE， ∴4DE2=CD•2OE， ∴2DE2=CD•OE； 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，切线的判定，圆周角定理等知识，需要学生灵活运用所学知识． 26. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标． 【答案】（1）顶点D的坐标为（﹣，）；（2）△ABC是直角三角形（3）当M的坐标为（﹣，） 【解析】 【分析】(1)将点A的坐标代入函数解析式求出b的值，然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标； (2)根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标，然后分别求出AC、BC和AB的长度，然后根据勾股定理的逆定理得出答案； (3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，则BC与对称轴的交点就是点M，根据一次函数的交点求法得出点M的坐标． 【详解】解：(1)∵点A（1，0）在抛物线上， ∴+b+2=0，解得，， 抛物线的解析式为， 则顶点D的坐标为； (2)△ABC是直角三角形， 证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2， 当， 解得，x1=﹣4，x2=1， 则点B的坐标为（﹣4，0），即OB=4，OA=1，OB=4， ∴AB=5， 由勾股定理得，AC=，BC=， AC2+BC2=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形； (3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称， 连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， 由题意得，， 解得，， 则直线BC的解析式为：， 当x=时，， ∴当M的坐标为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数的交点坐标，属于中等难度的题型．待定系数法求函数解析式是解决这个问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市东湖实验学校二调模拟卷5 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 按照党中央、国务院决策部署，各省、市抓紧推动稳经济一揽子政策落地．孝南区某企业4月份的利润是万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为，则依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( ) A. 55° B. 70° C. 110° D. 125° 4. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 5. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5 6. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 7. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 方程的解为______________． 10. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 11. 当k_____时，关于x的方程有两个实数根． 12. 如图，是的切线，是切点．若，则______________． 13. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 14. 若抛物线y＝（a－1）x2－2x＋3与x轴有交点，则整数a的最大值是______． 15. 如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可） 16. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米． 17. 如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知与的比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_______cm． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则的值为_______． 三、解答题 19. 解方程 （1） （2） 20. 计算 （1）． （2）． 21. 如图，有一矩形的硬纸板，长为，宽为，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为？ 22. 如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 23. 如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C， （1）若∠ADE=25°，求∠C的度数； （2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长． 24. 某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． （1）求y关于x的一次函数解析式； （2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 25. 如图，以的直角边为直径作交斜边于点，过圆心作，交于点，连接． （1）判断与的位置关系并说明理由； （2）求证：． 26. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $