精品解析：广东省茂名市高州市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期期末 八年级数学试题 本卷满分：120分，考试用时：120分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图标既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析各个选项的图形即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，也不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，也不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，但能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能绕某点旋转后与原图形重合，也能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确， 故选：D． 2. 若，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断各选项时需注意，不等式乘负数时不等号方向改变，含平方项的系数可能为0． 【详解】解：∵， ∴，，故A、D错误； 当时，， 此时，不满足，故B错误； ∵， ∴， ∴，故C正确． 3. 下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的定义， 分解因式是指将多项式变形为几个整式的乘积形式，需满足左边为多项式，右边为整式乘积． 【详解】解：分解因式要求右边为整式乘积形式， 选项A：左边为多项式，右边为整式乘积，符合定义； 选项B：左边为整式平方，右边为多项式，是整式乘法； 选项C：右边为积与和的形式，不是因式分解； 选项D：左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法； 故选：A． 4. 如图，已知，垂足为O，，，则可得到，理由是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴ ()， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，掌握直角三角形全等的判定方法是解决此题的关键． 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 命题“若，则”的逆命题为“若，则” B. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 C. 三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是真假命题的判断，根据逆命题的概念、等边三角形的判定、三角形角平分线的性质、三角形全等的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、命题“若，则”的逆命题为“若，则”，说法正确，不符合题意； B、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，说法正确，不符合题意； C、三角形角平分线的交点到三边的距离相等，而非到顶点的距离，到顶点距离相等的点为三边垂直平分线交点，说法错误，符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； 故选：C． 6. 已知不等式，则该不等式的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集在数轴上表示，熟悉掌握一元一次不等式的运算法则是解题的关键． 解出不等式后画出图象即可． 【详解】解：∵ ∴在数轴上可表示为： 故选：C． 7. 如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质，对应点所连线段的长即为平移的距离，结合已知条件求出  的长，进而求解． 【详解】解： 以每秒的速度沿着射线  向右平移，平移  秒后所得图形是 ，  平移距离为 ， ， ， ， ， ． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=12，BD=8，则点D到AB的距离是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理可得. 【详解】若BC=12，BD=8；则DC=4；在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D；则点D到AC和AB的距离相等，所以点D到AB的距离=DC=4 【点睛】理解角平分线的性质定理. 9. 体育测试中，小高和小州进行1000米跑测试，小高的速度是小州的1.25倍，小高比小州少用了40秒，设小州的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以两人的跑步时间差为等量关系，结合路程与速度列方程. 【详解】解：小州跑1000米的时间为秒，小高的速度为米/秒，跑1000米的时间为秒， ∵小高比小州少用40秒， ∴. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B是x轴上的动点，且，点C的坐标为，点D的坐标为，当取最小值时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移将  转化为 ，将问题转化为求  轴上一点  到异侧两点  距离之和最小，利用两点之间线段最短求解． 【详解】解：，  将点  向左平移  个单位得到点 ，此时 ， ，  点  与点  分别在  轴两侧，  当  三点共线时， 最小，即  最小， 设直线  的解析式为 ， 把  代入得， 解得 ， ， 当  时，，  点  的坐标为 ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因数，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 当x＝_____时，分式的值为0． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式值为0和分式成立的条件列不等式求解即可. 【详解】解：由题意可得： 解得：x=1 故答案为：x=1 【点睛】本题考查分式值为0和分式成立的条件，掌握分式的分母不能为0是本题的解题关键. 13. 如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在延长线上的D点处，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得 ，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出  的度数即可． 【详解】解： ∵  绕点  逆时针旋转至  处， ∴ ，， ∵ 点  落在  延长线上的  点处， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 14. 已知一次函数y＝ax＋b（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 不等式ax＋b＞0的解集是_____． 【答案】x＜1 【解析】 【分析】根据不等式ax+b＞0的解集为函数y=ax+b中y＞0时自变量x的取值范围，由图表可知，y随x的增大而减小，因此x＜1时，函数值y＞0，即不等式ax+b＞0的解为x＜1． 【详解】解：由图表可得：当x＝1时，y＝0， ∴方程ax+b＝0的解是x＝1，y随x的增大而减小， ∴不等式ax+b＞0的解是：x＜1， 故答案为：x＜1． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，以及一元一次不等式之间的关系，难度适中． 15. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和、折叠的性质以及三角形外角性质，熟练掌握正多边形内角和公式与折叠性质是解题的关键． 先求出正五边形的内角，再根据折叠性质得出相关角的度数，最后利用三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：∵正五边形内角和为， ∴． ∵折叠使点与点重合，折痕为， ∴平分，． ∵折叠使边落在线段上，折痕为， ∴平分，． 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，取解集的公共部分得到原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 17. 化简求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，已知四边形，现有下列三个条件： ①；②；③． 请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程． 【答案】解：选择①③． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 【答案】（1） ①如图，即为所求． ②如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【小问1详解】 解：①略 ②略 【小问2详解】 解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心M的坐标为． 20. 如图，在中，，D为延长线上一点，且交于点F． （1）求证：是等腰三角形， （2）若，F为中点，求的长． 【答案】（1） 证明： ∴∠B=∠C 又 ∴∠B+∠BFE=90° ∠C+∠D=90° ∴∠BFE=∠D ∠BFE=∠AFD ∴∠D=∠AFD ∴是等腰三角形 （2）8 【解析】 【分析】（1）通过已知条件证明AFD和D相等就能证明是等腰三角形； （2）因为AC=AB，F是AB的中点所以AF=AD=5，再根据勾股定理求出EF，过A点作AGDE，再通过证明三角形全等得出DF=2EF． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过A作AG⊥DE，交DE于点G． ∴∠AGF=∠BEF ，，F为中点 ∴BF=AF=5 又在RtBEF中，BE=3, ∴EF=＝＝4 在AGF和BEF中 ∴AGF≌BEF ∴EF=GF AG⊥DE，AD=AF ∴GF=DG ∴DF=2EF ∴DF=8 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及勾股定理．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． 21. 2026年广东省第十七届运动会将在茂名举办，当地推出省运会主题A、B两种文创纪念品，深受市民和游客喜爱．已知B种商品的单价是A种商品单价的，用200元购买B种商品的数量比用100元购买A种商品的数量多3个． （1）求A种商品的单价； （2）某游客计划用不超过800元购买A、B两种文创商品，且购买B种商品的数量比A种商品的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种商品． 【答案】（1）A种商品的单价为50元. （2）该游客最多购买6个A种商品 【解析】 【分析】（1）设A种商品单价为未知数，根据“200元购买B种商品的数量比100元购买A种商品的数量多3个”列分式方程求解； （2）设购买A种商品的数量为未知数，结合总费用不超过800元的限制列一元一次不等式，求最大正整数解． 【小问1详解】 解：设A种商品的单价为元，则B种商品的单价为元， 由题意得， 解得， 检验：当时，，， ∴是原分式方程的解，且符合题意， 答：A种商品的单价为50元； 【小问2详解】 解：设购买A种商品个，则购买B种商品个， B种商品单价为（元）， 由题意得 ， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为6， 答：该游客最多购买6个A种商品． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）若，求的值； （3）请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3）证明：设四个连续整数为，，，（为整数）， 则四个连续整数的积与1的和为， ， ， 令，则 原式， ， ， ， 为整数， 是整数， 四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 【解析】 【分析】（1）将多项式整体代换简化二次式，用完全平方公式逐层因式分解即可； （2）对四个一次因式分组相乘构造整体，结合已知方程整体代入求值即可； （3）设四个连续整数为，，，（为整数），分组相乘构造相同二次整体，换元后配成完全平方即可完成证明． 【小问1详解】 解：， 令，则 原式， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 23. 【问题背景】 一次数学综合实践活动课上，小明发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． 小明的证明思路是：如图2，过点D作，，分别交于点E，交于点F，过点A作，交于点G，利用等面积法来证明． 【问题解决】 （1）尝试证明：请参照小明的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，．求的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，平分，的垂直平分线交的延长线于点F，，当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）依据小明思路易得，即可得证； （2）由折叠的性质得平分，，则，勾股求出，进而代入求解即可； （3）由（1）的结论易求，进而设未知数，根据，列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠可知，， ∴平分， 由（1）可知， ∵，，， ∴， 设，则，， 代入得，， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵为的角平分线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的中垂线交延长线于F， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末 八年级数学试题 本卷满分：120分，考试用时：120分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图标既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，垂足为O，，，则可得到，理由是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 命题“若，则”的逆命题为“若，则” B. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 C. 三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 6. 已知不等式，则该不等式的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=12，BD=8，则点D到AB的距离是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 9. 体育测试中，小高和小州进行1000米跑测试，小高的速度是小州的1.25倍，小高比小州少用了40秒，设小州的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B是x轴上的动点，且，点C的坐标为，点D的坐标为，当取最小值时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：___________． 12. 当x＝_____时，分式的值为0． 13. 如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在延长线上的D点处，则________度． 14. 已知一次函数y＝ax＋b（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 不等式ax＋b＞0的解集是_____． 15. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为_____度． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组 17. 化简求值：，其中． 18. 如图，已知四边形，现有下列三个条件： ①；②；③． 请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 20. 如图，在中，，D为延长线上一点，且交于点F． （1）求证：是等腰三角形， （2）若，F为中点，求的长． 21. 2026年广东省第十七届运动会将在茂名举办，当地推出省运会主题A、B两种文创纪念品，深受市民和游客喜爱．已知B种商品的单价是A种商品单价的，用200元购买B种商品的数量比用100元购买A种商品的数量多3个． （1）求A种商品的单价； （2）某游客计划用不超过800元购买A、B两种文创商品，且购买B种商品的数量比A种商品的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种商品． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）若，求的值； （3）请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 23. 【问题背景】 一次数学综合实践活动课上，小明发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． 小明的证明思路是：如图2，过点D作，，分别交于点E，交于点F，过点A作，交于点G，利用等面积法来证明． 【问题解决】 （1）尝试证明：请参照小明的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，．求的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，平分，的垂直平分线交的延长线于点F，，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $