精品解析：广东茂名市茂南区2025-2026学年下学期八年级数学期末素养评价

八年级数学期末素养评价 范围：第1-6章（时间：120分钟 满分：120分） 一．单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．若取，，则，， 此时，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； C．∵，， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．∵，， ∴， ∴，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 3. 若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，n边形内角和为 利用多边形内角和公式求解． 【详解】解：设正多边形的边数为n， ∵内角和为， ∴， ∴． 故选：C． 4. 根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．当时，的分母为，分式无意义，故该变形不一定正确，不符合题意， B．的分子分母分别平方，并非同时乘同一个不为的整式，故变形错误，不符合题意， C．的分子分母同时加，不符合分式基本性质，故变形错误，不符合题意． D．∵中（否则原式无意义），∴，故变形正确，符合题意． 5. 将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，以及用几何图形解释因式分解的含义等内容，牢牢把握因式分解的定义是解决此题的关键．利用拼接前后的面积相等，再结合因式分解的定义，对选项进行排除，即可得到正确结果． 【详解】解：根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式， 故可排除选项C，D； 由图①的面积为，图②的面积为， 则， ∴可排除选项B； 故选：A． 6. 将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，角的运算，含30度角的直角三角形；根据题意得到，，利用勾股定理得到，再结合即可求出． 【详解】解：标记点C，点D，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 7. 如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 8. 若，则的值是（    ） A. 1 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的求值，由比例关系设参数k，将x、y、z用k表示，代入分式化简即可. 【详解】解：设，则，，， 代入分式： 分子：， 分母：， ∴； 故选：B 9. 在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线，且时，有最小值， 如图， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴有最小值， 故选：． 10. 如图，的对角线交于点O，平分交于点E，交于点F，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，可得，可证明是等边三角形，从而得到，进而得到，可判断①正确，②正确；由，得，可判断③错误；由三角形中位线定理得，可判断④正确，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行四边形的面积公式、垂线段最短、三角形中位线定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴；平分，故①正确，②正确； ∵， ， ∴，故③错误； ∴O是的中点，E是的中点， ∴，故④正确， 故选：C． 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知是分式方程的根，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入分式方程即可求解． 【详解】解：把代入分式方程得， ， ． 12. 已知，，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，已知式子的值求代数式的值，先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为： 13. 如图，直线经过、两点，则关于的不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵直线经过、两点， ∴当时，， ∴关于的不等式组的解集为． 14. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理捏定理，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键．连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理逆定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，最小， 当时，最小， 在中，∵，，，， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 解得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 三．解答题：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）将以点C为旋转中心旋转得到，请画出； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，写出旋转中心的坐标：_______． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图：即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画图即可； （2）根据平移的性质画图即可； （3）连接交y轴于点F即为所求，然后写出点F的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：旋转中心的坐标为． 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 18. 下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 （1）以上化简步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． （2）请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）二；①第一个分式分母因式分解后应是；②通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质 （2）化简后得正确结果为，当时，原式 【解析】 【小问1详解】 解：观察解题过程，得出从第二步开始出现错误， 这一步错误的原因是：①第一个分式分母因式分解后应是； ②通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质． 【小问2详解】 解：原式 ． ， ， 当时，原式． 四．解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【答案】（1）每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元 （2）最少预约销售了A款人形机器人10件 【解析】 【分析】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可； （2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量． 【小问1详解】 解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得 ， 解得 ， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 则， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； 【小问2详解】 解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得 ， 解得， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． 20. 如图， 中，点，分别是边，的中点，过点作 交的延长线于点， 连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时， 若 ，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握各项性质并灵活应用． （1）利用平行线的性质和中点的性质得出，再根据全等三角形的性质得出，进而利用平行四边形的判定定理即可得出答案； （2）利用相等的线段和中点，依据等腰三角形的三线合一得出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∵点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∵点，分别是边，的中点， 是的中位线， ， ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵点是边的中点，， ， ∵，点是边的中点， ， 在中，由勾股定理得，， ． 21. 阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： （1）分解因式：； （2）已知，求的值； （3）已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【答案】（1） （2）0 （3）是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 五．解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①； ②； ③； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； （3）当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】（1）①②③ （2） （3）整数的值为或或或 【解析】 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐个判断即可； （2）根据，利用完全平方公式进行化简即可； （3）先得出为整数，再结合（2）的结论，得出所有可能的取值，由此即可得． 【小问1详解】 解：①， ②， ③， 则属于“和谐分式”的是①②③． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：∵为整数， ∴也为整数， 由（2）已得：， 要使“和谐分式”的值为整数，则需的值为整数， ∴所有可能的值为，，，， ∴所有可能的值为，，，， 即当整数的值为或或或时，“和谐分式”的值为整数． 23. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，同学们和老师一起根据定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”通过猜想发现了它的逆定理“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．证明如下： 已知：在中，是边上的中线，且，即． 求证： 证明：因为，所以是等腰三角形，则，因为，所以是等腰三角形，则，在中，内角和为：，而．代入得，，，所以：得证． 紧接着老师出示了一个问题：如图，在中，为的中点，为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于，若，试猜想与的位置关系，并加以证明． 【独立思考】 （1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，判断四边形的形状，并加以证明． 【问题解决】 （3）如图，智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，点的对应点为，使于点，交于点，折痕交边于点．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积． 【答案】（1），证明如下： 为的中点， ， 中，， ， 在和中， ，又， ， ，， ， ， 为直角三角形，． （2）四边形是平行四边形，证明如下： 是由沿着翻折而成的，且为的中点， ，． ， ， ， ，又， ∴四边形是平行四边形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件证明，说明，由已知即可解答； （2）根据翻折可说明，由角的关系可证，即可证明； （3）过点作于，根据平行四边形的性质求的度数，在和中应用勾股定理求出相应的线段长，利用面积公式即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于， ，四边形为平行四边形， ，，． 是由翻折形成，且， ，． ，． ，在中 ，． 在中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末素养评价 范围：第1-6章（时间：120分钟 满分：120分） 一．单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（ ） A. B. C. D. 6. 将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 8. 若，则的值是（    ） A. 1 B. 5 C. 4 D. 3 9. 在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 10. 如图，的对角线交于点O，平分交于点E，交于点F，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知是分式方程的根，则实数的值为________． 12. 已知，，则代数式的值是______． 13. 如图，直线经过、两点，则关于的不等式组的解集为________． 14. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 15. 如图，在中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是______． 三．解答题：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）将以点C为旋转中心旋转得到，请画出； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，写出旋转中心的坐标：_______． 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 （1）以上化简步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． （2）请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，中选择一个合适的数代入求值． 四．解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 20. 如图， 中，点，分别是边，的中点，过点作 交的延长线于点， 连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时， 若 ，求的长． 21. 阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： （1）分解因式：； （2）已知，求的值； （3）已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 五．解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①； ②； ③； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； （3）当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 23. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，同学们和老师一起根据定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”通过猜想发现了它的逆定理“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．证明如下： 已知：在中，是边上的中线，且，即． 求证： 证明：因为，所以是等腰三角形，则，因为，所以是等腰三角形，则，在中，内角和为：，而．代入得，，，所以：得证． 紧接着老师出示了一个问题：如图，在中，为的中点，为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于，若，试猜想与的位置关系，并加以证明． 【独立思考】 （1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，判断四边形的形状，并加以证明． 【问题解决】 （3）如图，智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，点的对应点为，使于点，交于点，折痕交边于点．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $