精品解析：广东省茂名市高州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

高州市2023-2024学年度第二学期期末质量监测 八年级数学 本卷满分：120分考试用时:120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 以下依次是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 解不等式组时，将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线和相交于点O，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 一次函数和的图象如图所示，三位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组的解是； 乙：关于x的一元一次方程的解是； 丙：关于x的一元一次方程的解是． 丁：关于x的一元一次不等式的解集是； 四人中，判断正确的是( ) A. 甲，丙 B. 甲，丙，丁 C. 乙，丙 D. 乙，丙，丁 8. 将关于x的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分．共15分． 11. 分解因式： _______． 12. 如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是_______． 13. 点在第二象限，则的取值范围是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 15. 如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 _____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分. 16. （1）解不等式组：，并求不等式组最小的整数解； （2）解方程： ． 17. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 18. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图1，的对角线和相交于点O． 求证：，． （1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）【性质应用】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E，F．求证：． （3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接．若，的周长是9，则的周长是 ． 20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 21. 如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使得，连接，交于点O． （1）证明：与互相平分； （2）如果，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 （1）求直线AB的表达式； （2）在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形； （3）是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图），证明． （2）当绕点旋转到时（如图），线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （3）当绕点旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州市2023-2024学年度第二学期期末质量监测 八年级数学 本卷满分：120分考试用时:120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据“两数之积等于1，则称这两个数互为倒数”，得出答案即可，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴实数的倒数是， 故选：B． 2. 以下依次是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．据此解答即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 3. 下列各式变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A 中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误； B 中不是整式，故B错误； C 是整式乘法，故C错误； D 故D正确． 故选：D． 4. 解不等式组时，将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题关键．分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 将不等式①②的解来表示在同一条数轴上， 故选：C． 5. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数，计算即可，此题考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 【详解】解：正八边形的内角和为： 故选A． 6. 如图，四边形的对角线和相交于点O，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据所给条件逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故A不符合题意； B．， ，， ， ， 可根据两组对角分别相等的四边形为平行四边形，判定四边形为平行四边形， 故B不符合题意； C．一组对边相等，另一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形，故C符合题意； D．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故D不符合题意； 故选：C． 7. 一次函数和的图象如图所示，三位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组的解是； 乙：关于x的一元一次方程的解是； 丙：关于x的一元一次方程的解是． 丁：关于x的一元一次不等式的解集是； 四人中，判断正确的是( ) A. 甲，丙 B. 甲，丙，丁 C. 乙，丙 D. 乙，丙，丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据和的图象的交点坐标即为 的解，可判定甲说法；根据丙直线交点横坐标为方程的解，可判定乙说法；根据直线与轴交点的横坐标即为的解，可判定丙说法；根据两直线交点，结合图象可得不等式的解集，可判定丁说法． 【详解】解：一次函数和的图象相交于， 关于，的二元一次方程组 的解是，故甲说法正确； ∴关于的一元一次方程的解是，故乙说法错误； ∵直线与x轴交点坐标是， ∴关于的一元一次方程的解是，故丙说法正确； 一次函数和的图象相交于， ∴关于x的一元一次不等式的解集是，故丁说法正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了两直线交点问题，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与不等式的关系，掌握一次函数与方程（组）、不等式的关系是解题的关键． 8. 将关于x的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可根据去分母进行求解即可． 【详解】解：将关于x的分式方程去分母可得； 故选B． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】解：由题可得： ， ， ， 解得：， 故选：D． 10. 如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】证明即可说明可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为8，故②错误； 利用：四边形的面积等边面积面积，进行计算即可判断，故④错误； ，故③正确； 过作交的延长线于，根据三角形的面积公式即可得到，故⑤正确． 【详解】解：在和中， ， ， ． 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 如图1，连接，根据旋转的性质可知是等边三角形， 点与的距离为8，故②错误； 在中，，，， 是直角三角形，． 面积， 又等边面积， 四边形的面积为，④错误； ，③正确； 如图2，过作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解，使得问题迎刃而解． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分．共15分． 11. 分解因式： _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，进行提取公因式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的尺规作图的理解、垂直平分线的性质定理、角平分线的定义、等边对等角、三角形的内角和定理，根据尺规作图的痕迹得出直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，根据“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，得出，根据等边对等角，得出，根据“三角形的内角和为”，计算，根据计算，根据角平分线的定义，计算得出答案即可，熟练掌握垂直平分线的性质定理、三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：由作图得：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 点在第二象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，求不等式，已知点的坐标求参数，根据点在第二象限，为，进行列式化简，即可作答． 【详解】解：∵在第二象限， ∴ 解得 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5）， 又 ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到 ∵B（﹣4，2） ∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3） 故答案为：（1，3） 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键． 15. 如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据，，，得出，求出的值即可． 【详解】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分. 16. （1）解不等式组：，并求不等式组最小的整数解； （2）解方程： ． 【答案】（1）不等式组的解集为，最小的整数解为0．（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键． （1）先求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可求出不等式组的解集，根据不等式组的解集即可求得最小的整数解； （2）先去分母，将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可； 【详解】（1）解： 由①得， 由②得， 不等式组的解集为，最小的整数解为0． （2）解方程 去分母得：， 解得， 检验，当时，， 原方程的解为． 17. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 【答案】61． 【解析】 【分析】本题考查了新定义以及勾股定理的应用，根据“垂美”四边形的定义得，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴， 则 ∵ ∴． 18. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 【答案】（1）如图所示，点的坐标为 ． （2）如图所示， ． （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称： （1）根据图形平移的性质分别求得点，，平移后的对应点，，，依次连接点，，即可． （2）分别求得点，，关于原点的对应点，，，依次连接点，，即可． （3）根据图形旋转的性质，连接和中任意两个对应点，线段的中点即为旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可看作以点为旋转中心，旋转得到的． 故答案为：， 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图1，的对角线和相交于点O． 求证：，． （1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）【性质应用】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E，F．求证：． （3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接．若，的周长是9，则的周长是 ． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）18． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识， （1）由平行四边形的性质得出，则，再由证得，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，则，再由证得，即可得出结论； （3）由，得出，得出，则，推出的周长，再由平行四边形的性质即可得出结果； 熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形 是平行四边形， ， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图 2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的周长， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长， 故答案为：18． 20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 21. 如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使得，连接，交于点O． （1）证明：与互相平分； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． （2）． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及三角形中位线定理和平行四边形的判断与性质． （1）根据题意利用三角形中位线定理：三角形得中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即，且，平行且相等，根据平行四边形的判定即可得出证明． （2）由（1）可知为平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，及勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， ∵， ∴， 在中， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 （1）求直线AB的表达式； （2）在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形； （3）是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线解析式为． （2）或，或，． （3），，或，，或 ，，． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）①当时，②当或时，画出图形即可解决问题． （3）存在．分两种情形讨论即可．①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，分别求出、坐标即可． 【小问1详解】 设直线解析式为，把点，，代入得 ， 解得， 直线解析式为． 【小问2详解】 如图1中， ①当时，点坐标． ②当或时， ， 点，，，， 综上所述，当是以线段为腰的等腰三角形时，点坐标为或，或，． 【小问3详解】 如图2中，存在． ①当为平行四边形的边时，，，或，，． ②当为平行四边形的对角线时，，，． 【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题，属于中考常考题型． 23. 已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图），证明． （2）当绕点旋转到时（如图），线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （3）当绕点旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． 【答案】（1） 证明：如图，连接，交于点． 四边形为正方形， 且， ，且平分， 且， ∴ ， ，即， ， 在和中， ， ，同理可得， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ． （3）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， 和中， ， ，， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，证明根据全等三角形的性质，同理可得，则可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）证明，根据全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $