2.5.2 圆与圆的位置关系-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

0,方程无实数解，即方程组无实数解，题点三 任取一，点P(x,y),设从A地运货到P地 故直线1与圆C相离.门 :[典例]解法一直线x一5y+2√3=0 的运费为2a元/km,则从B地运货到P 3.解法一（代数法） 由方程组∫4x一3v十a=0, 和圆x2十y2=4的公共，点坐标就是方程1 地的运费为a元/km,若P地居民选择在 A地购买此商品，则2a/(x十5)2十y2 {x2+y2=100. 组{5十25=0的解 消去y,得25.x2十8a.x十a2-900=0. x+y2=4, “,理得(+ )+y △=(8a)2-4×25(a2-900) 解这个方程组，得工1=一5，=0， =-36a2+90000. (y=1, w=2. 20 所以公共点的坐标为（一√5,1），(0,2) 3 ,即点P在圆C:(x+5） 3 (1)当直线和圆相交时，△0， 即-36a2+90000>0,得-50a<50: 所以直线x一√3y十2√3=0被圆x2十y2=4 y2- 201 (2)当直线和圆相切时，△=0， 藏得的弦长为√（一√3-0）2+(1-2)2-2. 的内部.也就是说，圆C内的 即a-50或a=-50: 法二 如图，设直线x 2 居民应在A地购买此商品.同理可推得圆 (3)当直线和圆相离时，△<0，即a<一50 C外的居民应在B地购买此商品.圆C上 或a>50. -√3y+2√3=0与圆 的居民可随意远择A,B两地之一购买此 法二（几何法） x2+V2=4交于A,B 商品 圆x2+y2=100的圆心为(0,0)，半径r 两，点，弦AB的中点为 素养演练·提升技能 =10, M,则OM⊥AB(O为 1.D。[圆心(1，-1)到直线3.x十4y十12=0 a 坐标原，点)，又OM= 则圆心到直线的距离d一 的距离d=3×1十4×（一1）十12=。， /(-3)2+42 0-0+2√/5 √/32+49 =√3， √12+（一√3）9 0dr,所以相交但不过圆心.故远D.] 5 所以AB=2AM 2D[,a2十=2c2,.圆心到直线的距离 (1)当直线和圆相交时，d<r, d=- c -2√/O0A2-OM 即a<10,得-50<a<50: + 厅设贫长为4则1- =2√22-（√/5）”=2. 2√-d=.] (2)当直线和圆相切时，d=r, :对点训练 :3.AB[由圆的方程，可知圆心坐标为（a, 即a=10,得a=50或a=-50; :1.√3 「由题意知直线L的方程为y一2= 0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为 x+1),即x+y-1=0,圆心O(0,0)到 2√2，所以圆心到直线的距离d= (3)当直线和圆相离时，d>r, 直线I的距离为d= -1型-2，则有AB /22- /22) √2 2 =2.又d=a2,所以 即g10,得a<-50或a>50 2 √2 题点二 =2F-d正=28-7=v30.] a一2=2，解得a=4或a=0.] 「以0为坐标 [典例]解由于(2-1)2+(4十3)2=50> 4.4.4 1,故点M在圆外. :2.解圆x2十y2=25的半径长r为5，直线} 原点，建立如图所示 当切线斜率存在时，设切线方程是 被圆所截得的弦长=8， 的平面直角坐标系 当P,Q两点移动 y-4=k(x一2)，即kx-y+4-2k=0, 秒（t≥0)时， 由于直线与圆相切，故+3十4一2 所以弦心距d= -() P(-10, -10+ √k2+(-1)9 /52-42=3. 1.5t),Q(10,10 1,解得= 24 因为圆心O(0,0)到直线x=一3的距离恰 t),可得出直线PQ 为3，所以直线x= 一3是符合题意的一条 的方程为y-10十t= 20-2.5(x-10), 所以切线方程为24x-7y-20=0. 20 又当切线斜率不存在时，直线x一2与圆 直线.设直线十号=（虹十3）也符合题 且易知圆0的方程为x2十v2=1.由直线 相切 PQ与圆O 有公共点，可得 综上所述，所求切线方程为24x一7y一20 意，即圆心到直线kx一y十3k一 3 2.5t-20 2 =0 -+10 =0或x=2. 2 ≤1，化简得3r2+16 对点训练 3 1.2x十√6y-10=0[因为2+（√6）2=10， 的距离等于3，于是 3k一2 1+ 20-2.5t =3,解得· 20 所以点M在圆x2+y=10上，由题意可： √k2+1 知圆心C的坐标为(0,0)，则直线CM的· 3 k=- -.故直线的方程为3x十4y十15= -128≤0，结合≥0，解得0≤1≤8y7-8 3 斜率w=E 0.综上可知，满足题意的直线有两条，对· 而8厅-8≈4.4，因此，点Q在点P的“育 应的方程分别为x=一3和3x十4y十15， 因为圆的切线垂直于经过切点的直径所： =0. 区”中的时长约为4.4秒.] 在的直线，所以所求切线的斜率k一 ·题点四 5.解 (1)由C:x2+2+2x十4y+n=0, 2 [典例]解以台风 AY 得(x+1)2十(y十2)=5-m, 中心为坐标原，点，以 逃口 由5一n>0时，得n<5,,.当n<5时，曲 故经过点M的切线方程为y一√6=1 东西方向为x轴建 线C表示圆， 、轮船 立直角坐标系（如图 (2)由(1)知圆C的圆心坐标为（一1， 后x一2)，整理得2x+6y-10=0.] 所示)，其中取 -2),半径为√5一m. 2.解因为(4-3)2十(-3-1)2=17>1.所1 10km为单位长度 ,直线1：y=x一m与圆C相切， 以点、A在圆外 则受台风影响的圆形区域所对应的圆的： -1十2一m=/5-m, ①若所求切线的斜率存在，设切线斜率为 方程为x2十2=9，港口所对应的，点的坐 k,则切线方程为y十3=k(x一4).因为圆 标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的，点 解得：m=士3，满足n5, ∴.n=土3. 心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径 的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线1的 为1， 2.5.2 圆与圆的位置关系 所以3张-1一3二46=1， 方程为号十￥=1，即4x十7y一28=0，圆 必备知识·自主梳理 √k+1 心(0,0)到1：4x+7y-28=0的距离d=! 28 28 (1)d>r1十r2d=r1十r2 万-rd 即k+4-√+1， >3,所以直线！ √6 ,因为28 <r+r d=n-r d<r-re /65 所以k2+8k+16=k+1,解得=-8 5 即时小练 与圆相离，故轮船不会受到台风的影响. :1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 对点训练 2.B「圆x2+y2一1=0表示以O1(0,0),点 所以切线方程为y十3=一 15 解以直线AB为x 8 (x-4),即 轴，线段AB的垂直平 为圆心，以R1=1为半径的圆.圆x2十y 15x+8y-36=0. 一4x十2y一4=0表示以02(2，一1)点为 ②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线1 分线为y轴，建立平面 圆心，以R=3为半径的圆 x=4的距离也为1，这时直线与圆也相： 直角坐标系，如图所 示，则A(-5,0),B .OO2=√5，∴.R2-R1<)O<R 切，所以另一条切线方程是x=4,综上，所 (5,0).在坐标平面内 十R,∴圆x2+y2-1=0和图x2+y 求切线方程为15.x十8y-36=0或x=4. 4x十2y-4=0相交.故远B.] 204 3.B[设圆C的半径为r1,圆C2的半径为： 11-2×(-5)+4=35, √4十32一3=2.所以选项B正确，A不 r,依题意得C(-1,1),r1=2:C(3,4), √/1+(-2)2 正确：两个圆的圆心所在的直线斜率为 r2=5, .公共弦长1=2√/r-d=2√50-45i 3-03 ,所以选项C正确，D不正确.故 .CCg=42+32=5..r2-r1=3 4-04 =25. <CCgr十r2=7,.两圆C1,C2相 交，从而两圆有2条公切线，故选B.] 法设两圆相交于点A,B,则A,B两，点3D菠动圆圆心为（红，，若动圆与已知 选B、C. 的坐标满足方程组 4.D[由C(0,0),1=2,C2(3,4),r2= 5z2+y2-2x+10y-24=0, 圆外切，则√(x-5)+(y+7)产=4十1， √25一，由于两圆外切，.CC2=r1十 x2+y+2x+2y-8=0, .(x一5)2十(y十7)2=25；若动圆与已知 r2.即√(0-3)+(0-4)产=2+√5-m, 解得。4，或{-9： 圆内切，则√/(x一5)2+(y十7)2=4一1， .m-16.故选D. {y=0, y-2, ∴.(x一5)2+(y十7)2=9.故选D.] 关键能力·合作探究 即A(-4,0),B(0,2), 4√23[由题意将两圆的方程相减，可得 题点一 所以AB=W/(-4-0)2十(0-2)2= 角度1 圆C和圆C公共弦所在的直线l的方程 25, [典例]解析 （1)圆心距d= 为x十y-1=0.又圆C3的圆心坐标为(1， 即公共弦长为2√5. W/(-2-2)2+(0-1)2=√/17.由于3-2 (3)解所求圆经过两圆的交，点，则可设1 1),共到直线1的距离为d=1十1一1 d2+3.故远B 所求圆的方程为x2十y2一2x十10y一24十 √/12+12 (2)由圆C:x2十y2-2x十4y十4=0，即 λ(x2+y2+2x十2y-8)=0, (x-1)+(y+2)2=1,圆C2:4x2+4y2- 整理得(1+λ)x2+(1十A)y2+(2λ-2)x ，设圆C的半径为，由条件知，广- 2 16x十8y十19=0，即(x-2)2十(y+1)= +(10+2λ)y-24-8=0, 此圆经过点(1,0)，代入上述方程，并解得 、25一工三空，所以弦长为2×√23 4 2 2 4,得C(1,-2),C2(2,-1)m1=1,r2= λ=-5. =√23.] 1 CC=√2=1)+(-1+2)对点训练 所以该圆方程为x2十v十3.x-一4=0. !5.解将两圆的方程写成标准方程为 C1:(x-a)2十(y十2)2-9， =√2 1.C[由圆x2+y一2.x十F=0和圆x2+ C2:(x+1)2+(y-a)2=4. 则r1一r2<C1C2<r1十r2, y2+2x十Ey-4=0作差，得-4x-Ey+ F十4=0.所以E=-4,F=一8.故选C.]· 所以两圆的圆心和半径分别为 ∴.圆C与圆C,相交 故这两个圆的公切线共2条 12.解由圆x2+y=4与圆x2+y+2ay C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2 答案(1)B(2)D 6=0(a>0),可得公共弦的方程为y= 设两圆的圆心距为d, 角度2 则d=(a+1)2+(-2-a)”=2a2+6a ,又x2十y2=4的圆心坐标为(0,0)，半1 典例们 解圆C1,C2的方程，经配方后· +5. 可得 径为r=2,由圆的弦长公式可得1= (1)当d=5,即2a2+6a十5=25时，两圆 C1:(x-a)2+(y-1)2-16, 外切，此时a=一5或a=2. C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, =2√3，解得 (2)当a=1时，d=√2a2+6a+5=/13, .圆心C(a,1),C(2a,1),半径r1=4,r2 a=1 r1=3,2=2, =1. 题点三 因为n一r1<d<n2十r1,所以两圆 ∴.C1C2=√(a-2a)+(1-1)=a. 1[典例]解设所求圆的方程为（x一a)十 相交。 (1)当C1C=r1十r2=5,即a=5时，两 (y一b)2=r2(r>0),由题知所求圆与圆x2 圆外切： 十y2一2x=0即(x一1)2+y2-1外切.则！ 章末综合提升 当CC=r-rn=3,即a=3时，两圆 √(a一l)+=r十1①.又所求圆过点：要点聚焦·类型突破 内切 M的切线为直线x+5y=0,故5- 题型一 (2)当3<CC,5,即3a<5时，两圆： a-3 1.ABD [对于A,若ab>0,则直线l的斜率 相交」 gg.a+%=r@. a (3)当C1C,>5,即a>5时，两圆外离. 0,A正确：对于B,若b一0，a≠0， b (4)当CC3,即0<a3时，两圆 解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,1 内含 则直线1的方程为工=二，其倾斜角为 对点训练 r=2或a=0,b=-4√3，r=6.故所求圆} 的方程为(x一4)2十y2=4或x2十(y十 90°，B正确；对于C,将(0,0)代入ax十by 解把圆C1,圆C,的方程化为标准方程， 4√5)2=36. 一2=0中，显然不成立，C错误：对于D, 得圆C:(x-m)2十(y十2)2=9，圆C2:(x 对点训练 若a=0,b≠0，则直线1的方程为y= 2 十1)2十（y一m)2=4.两圆圆心的坐标分 别为(m,一2)，（一1，n),半径分别为3,2. :1.AC[圆C:(x-1)+=1的圆心为 其倾斜角为0°，D正确.故选A、B、D.] (1)若圆C与圆C。外切，则· (1,0),半径为1.圆C2:x2+y-8x十8y2.D[当x=0时，y=a十3，当y=0时，x= /(n+1)2+(-2-m)2=3+2,即n2+ 十m=0化为(x-4)+(y+4)2=32-n, 3m-10-0,解得m--5或n-2. 圆心为(4，一4)，半径为√32-m(m< 9月令1=a+3+=5+(a-1) a十3 0一 (2)若圆C1与圆C2内含，则 32).两圆圆心距d=CC=5.依题意， 4 √(m十1)2+(-2-m)2<3-2,即m2+ 两圆相内切时，5=√32一m一1，解得n a-1 3n十2<0，解得-2<m<-1. =一4.两圆相外切时，5=√32-m十1. a>1,所以a-1>0..t≥5十 题点二 解得n-16.故远A、C.] [典例](1)证明将两圆方程配方化为标2.121或1[：x十y2=a表示一个圆，∴a 2√a-1)·。=9.当且仅当a-1 准方程，得 >0.x2+v2+6.x-8y-11=0化为(x+ 4 C1:(x-1)2+(y+5)2=50, 3)2+(y-4)=36.两圆的圆心、半径长分 a-,即a=3时，等号成立.故选D.] C2:(x+1)2+(y+1)2-10, 别为(0,0)wa与(-3,4)，6.由于两圆内3.解(1)A(0,1),B(3,2), 则圆C的圆心为(1，-5)，半径=5V反. 切，则√/(0十3)2+(0-4)2=√a-6,解1 圆C。的圆心为(-1，一1)，半径r2 得a=121或a=1.] 由垂直关系可得AB边上的高所在的直线 =10. 素养演练·提升技能 的斜率为k=一3， 又.C1C=2√5，r+r2=5√2+W10, 1.C L由已知，得C1(-2,-4),r1-5,1 ∴AB边上的高所在直线方程为 n-n2=52-√10， C。(-2,-2),r2=3,则圆心距d=C1C2日 v-0=-3(x-1), =2,所以d=r1一r2,所以两圆内切.] ∴.r1-r2<C1Cer1+r2, 化为一殷式可得3x十y一3=0. ,两圆相交， 12.BC[圆C:x2十y2=1的圆心为(0,0)， (2).M(1,1)为AC的中点，A(0,1), (2)解将两圆方程相减 半径为1：圆C%的标准方程为(x一4)2+ 2-1 得公共弦所在直线方程为x一2y十4=0. (y一3)2=4，圆心为(4,3)，半径为2.当 C2,1心kx=321, 法一圆C1的圆心为(1，一5)，其到公共 C1,P,Q和C,按照该顺序四点共线时， ,∴.边BC所在直线方程为y一1=x一2， 弦所在直线x一2y十4=0的距离d=1 PQ取得最小值，为CCg|一2一1- 化为一殷式可得x一y一1=0. 205数学选择性必修第一册 2.5.2 圆与圆的位置关系 【课标要求】1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判 定方法与几何判定方法.3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题. 【素养要求】通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 圆与圆位置关系的判定 即时小练 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1,r2,两圆连 心线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法：1.判断正误 如下： (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组 ( 位置关系 外离 实数解，则两圆外切 外切 相交 内切 内含 (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则 两圆相交 () 图示 (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一 次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.() (4)若两圆有公共点，则r1-r2≤d≤r1十r2: d与r1, r2的关系 () 2.两圆x2十y2-1=0和x2+y2-4x十2y-4=0 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解： 的位置关系是 () 的个数进行判断 A.内切 B.相交C.外切 D.外离 圆C,方程消元，一元二次方程 3.圆C1:(.x+1)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-3)2 十(y-4)2=25的公切线有 ( 圆C2方程 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 A>0→相交 4.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-6x-8y △=0→内切或外切 十m=0外切，则实数m= △<0→外离或内含 A.-24 B.-16 C.24 D.16 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 [听课记录] 题点一圆与圆位置关系的判定 角度1两圆位置关系的判断 [典例](1)圆(x+2)2十y2=4与圆(x-2)2+ (y一1)2=9的位置关系为 ( A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 (2)已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圆 C2:4x2+4y2-16.x+8y+19=0,则这两个圆 的公切线的条数为 ( A.1或3 B.4 C.0 D.2 72 第二章 直线和圆的方程 角度2已知两圆位置关系求参数 题点二两圆相交问题 [典例]已知圆C1:x2+y2-2a.x-2y+a2-15 =0(a>0),圆C2:x2十y2-4a.x-2y+4a2=0[典例]已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0 (a>0).试求a为何值时，两圆C1,C2的位置关： 和C2:x2+y2+2x+2y-8=0, 系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. (1)求证：圆C1与圆C2的位置关系是相交； [听课记录] (2)求公共弦所在直线方程和公共弦长； (3)求经过点M(1,0)以及圆C1和圆C2交点的 圆的方程 [听课记录] …/方法技巧/ 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系 求参数的取值范围有以下几个步骤 (1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和 半径 (2)计算两圆圆心的距离d (3)通过d,r1十r2,r1-r2的关系来判断两 圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形 结合. /方法技巧/ 1.处理两圆相交的有关问题的方法 对点训练 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方 法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直 已知圆C1:x2+y2-2m.x+4y+m2-5=0,圆： 线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次 C2:x2十y2十2x-2y十m2-3=0.问：m为何 项系数相同时，才能如此求解，否则应先调 值时， 整系数. (1)圆C1和圆C2外切？ (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆 (2)圆C1与圆C2内含？ 方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二 是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利 用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角 三角形求解. 2.已知圆C1:x2十y2+D1x+E1y+F1=0与 圆C2:x2十y2十D2x十E2y十F2=0相交， 则过两圆交点的圆的方程可设为x2十y2十 Dix+E1y+F+(x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0(入≠-1) 73 数学选择性必修第一册 对点训练 ! 题点三两圆相切问题 1.已知圆x2十y2-2x十F=0和圆x2+y2十2x十[典例]求与圆x2十y2-2x=0外切且与直线x Ey一4=0的公共弦所在的直线方程是x一y十： +√3y=0相切于点M(3,一√5)的圆的方程. 1=0,则 ( [听课记录] A.E=-4,F=8 B.E=4,F=-8 C.E=-4,F=-8D.E=4,F=8 2.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a> 0)的公共弦的长为2√3，求a的值. /方法技巧/… 解决两圆相切问题的两个步骤 即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相 定性切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况 讨论 即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于 转化 两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之 思想 和（外切时） 对点训练 1.(多选)若圆C1:(x-1)2十y2=1与圆C2:x2+ y2-8.x十8y十m=0相切，则m等于（) A.16 B.7 C.-4 D.-4或7 2.若两圆x2+y2=a与x2+y2十6.x-8y-11=0 内切，则a的值为 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.圆C1:x2十y2+4x十8y-5=0与圆C2:x2+y2:3.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y十7)2= +4x+4y-1=0的位置关系为 ( 16相切，则动圆圆心的轨迹方程是 () A.相交B.外切C.内切 D.外离 A.(x-5)2+(y-7)2=25 2.(多选)已知点P在圆C1:x2十y2=1上，点Q B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+ 在圆C2x2+y2-8x-6y十21=0上，则 7)2=15 ( C.(x-5)2+(y-7)2=9 A.PQ的最小值为1 D.(.x-5)2+(y+7)2=25或(.x-5)2+(y+ B.|PQ|的最小值为2 7)2=9 :4.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y十1 C.两个圆的圆心所在的直线斜率为 4 =0的公共弦所在的直线被圆C3:(x-1)2+ D两个圆的圆，心所在的直线斜率为 (y一1)2=25所截得的弦长为 4 74 第二章 直线和圆的方程 5.已知两圆C1:x2+y2-2a.x+4y十a2-5=0和 课堂小结 C2:x2+y2+2x-2ay十a2-3=0. (1)当a为何值时，两圆外切？ 重要思想与方法 (2)当a=1时，试判断两圆的位置关系 (1)判断两圆位置关系的方法 ①（代数法）由两圆的方程组成的方程组的实数解的组数确 定，这种方法计算量比较大，一般不用。 ②（几何法）依据圆心距与两圆半径长的和或两半径的差大 小关系 (2)处理圆与圆的位置关系相关问题时应用圆系方程更加 快捷. 外切 相切 圆与圆的 内切 位置关系 相交 外离 相离 内含 温馨提示 请做课时分层检测（二十） 章末综合提升 知识网络构建 直线的倾斜角 范围0°≤a<180 直线的倾斜角、斜率 定义≠g0°时，k=tana 直线的斜率 公式=密任司 相交 两直线垂直的条件 两条直线的位置关系 平行 两直线平行的条件 直线与方程 重合 点斜式 斜截式 直线的方程 两点式 截距式 适用条件及 相互转化 一般式 两条直线的交点坐标 直线和圆的方程 交点坐标与距离公式 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 直线与圆相离 圆的标淮方程 直线与圆 直线与圆相交 位置关系 直线与圆相切 的方程 坐标法 圆的一般方程 圆与圆的位置关系 圆与圆外离或内含 圆与圆相交 圆与圆相切 75