精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县四校2025-2026学年下学期八年级数学期末试卷

2025-2026学年度锡林郭勒盟三县四校 八年级数学期末试卷 考试分数：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共有8小题，每题3分，共24分） 1. 垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各有名同学参加了学校组织的年“生活垃圾分类回收”的考试，考试规定成绩大于等于分为优异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（　　） 参加人数 平均数 中位数 方差 甲 乙 A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 小高得分将排在甲班的前名 C. 甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 D. 甲班成绩优异的人数比乙班多 2. 如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作于A，，以O为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为（ ） A. 3.57 B. 3.6 C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接．下列关于结论①、②的判断正确的是（ ） ①的度数为； ②线段长度的最大值为 A. ①、②都对 B. ①错②对 C. ①对②错 D. ①、②都错 4. 如图，抛物线的对称轴为直线，点和在该抛物线上，点是对称轴上的任意一点，连接和．当的值最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，则对角线互相垂直的四边形ABCD的中点四边形的形状是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 7. 如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共有4小题，每题3分，共24分） 9. 已知是一次函数，则_____． 10. 如图菱形，菱形的边长为，，菱形的高为________． 11. 已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 12. 如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 三、解答题（本题共有6小题，共64分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的相对位置） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 4月24 日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，78，85，80，73，90，74，75，80 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 79 79 51.4 乙班 80 a b 26.4 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； （3）甲班共有学生50人，乙班共有学生55人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 15. 已知菱形的两条对角线交于点O，，． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形为矩形． 16. 第四中学准备对近期跳绳训练活动进行社团比赛，每班准备抽取一人进入总决赛，九（1）班经过评选，准备从甲、乙两名学生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名学生进行了5次一分钟跳绳测试．并对数据进行收集、整理： 甲乙两人得分表： 序号 1 2 3 4 5 甲（个分钟） 170 177 180 180 193 乙（个分钟） 177 180 182 179 182 甲乙两人得分统计表： 平均数 中位数 众数 甲 180 180 乙 180 182 解答下列问题： （1） ， ； （2）请计算甲乙两位学生的方差？ （3）甲、乙都认为自己去参加总决赛更好些，请根据成绩的稳定性和众数选择 （填甲和乙）去参加比赛较好． 17. 在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形． 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， _____________， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， _____________， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（④_____________）． 18. 如图，在菱形中，，． （1）实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长． 19. 如图，在菱形中，，． （1）实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高：（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县四校 八年级数学期末试卷 考试分数：100分：考试时间：90分钟 注意事项： 1,答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共有8小题，每题3分，共24分） 1.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各 有50名同学参加了学校组织的2022年“生活垃圾分类回收”的考试，考试规定成绩大于等于86分为优 异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是() 参加人数 平均数 中位数 方差 甲 50 85 80 5.1 乙 50 85 85 4.6 A.甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B.小高得84分将排在甲班的前25名 C.甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 D.甲班成绩优异的人数比乙班多 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数及方差，掌握方差的意义、中位数的意义、众数的定义和平均 第1页/共29页 学科网命组卷网 数的意义是解决此题的关键.分别根据方差的意义、中位数意义、众数的定义及平均数的意义逐一判断即 可 【详解】解：A、乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，所以乙班成绩稳定，此选项错误，不符合题意： B、甲班共50名同学，中位数是80分，则小高得84分将排在甲班的前25名，此选项正确，符合题意： C、根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数，此选项错误，不符合题意： D、甲班成绩的中位数为80分，即甲班成绩的有25位学生成绩大于等于80分， 乙班成绩的中位数为85分，即乙班成绩的有25位学生成绩大于等于85分， 85 “乙班学生成绩大于等于分的人数比甲班多， 由于成绩大于等于86分为优异，故无法判定甲乙两班成绩优异的人数，此选项错误，不符合题意. 故选：B. 2.如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作AB⊥OA于A,AB=2,以O为圆心，OB长为半 径作弧交数轴正半轴于点C,则点C对应的实数为() B A -1 0 2 3C4 A.3.57 B.3.6 c.v13 D.-3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据题意确定OA,AB,再根据勾股定理求出OB 可得答案。 【详解】由题意可知OA=3,AB=2, 第2页/共29页 6学科网 命组卷网 根据勾股定理，得OB=VOAP+AB2=√3 所以OC=V13 因为点C在正半轴， 所以点C对应的实数为V3 故选：C 3.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴的正半轴上移动， 点A,C之间的距离为4，连接OC.下列关于结论①、②的判断正确的是() ①∠BAD的度数为100°： ②线段0C长度的最大值为2V5+2 A.①、②都对 B.①错②对 C.①对②错 D.①、②都错 【答案】B 【解析】 【分析】①先证明△ABC和△ADC是等边三角形，即可求出∠BAD的度数： ②取AB的中点E,连接CE,OE,AC,在Rt△ABO中利用斜边中线性质求出OE,再求出CE的长， 最后根据OE+CE≥OC确定当CO、E三点共线时OC最大，最大值为OC=OE+CE,据此求解 即可 【详解】解：①连接AC,由题意得AB=BC=AC=4=AD=DC, 第3页/共29页 6学科网命组卷网 .△ABC和△ADC是等边三角形， .∠BAC=∠DAC=60°， .∠BAD=120°，故①不正确： ②取AB的中点E,连接CE,OE,AC,如图，取AB的中点E,连接CE,OE, :菱形ABCD的边长为4， .AD=4. .∠AOD=90°. 0e=,AD=2 ,AB的中点E, :4B=4D=2,CE14D CE=AC2-AE2=23 :0C≤0E+CE=25+2 :当C0、E三点共线时0C最大，最大值为2W3+2,故②正确 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三 线合一，正确作出辅助线是解答本题的关键 4如图，抛物线y=2+hx+C的对称轴为直线x=2,点1(-2,7)和B(1,-8)在该抛物线上，点P是 第4页/共29页 命学科网命组卷网 对称轴x=2上的任意一点，连接PA和PB.当PA+PB的值最小时，点P的坐标为() A.(2,0) B.(2,-5) c(2,-8) D.(2,-4) 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、一次函数的应用等知识点，正确确定PA+PB的值最小时点P的 位置成为解题的关键。 如图如图：作点B关于对称箱=2的对称点，连接PB,1B交y铺于点，则BP=PB 进而说明 AB是P1+PB的值最小，点乃的坐标为此时点P的坐标，根据对称性可得(3，-8) 再运用待定系数 AB 法求得直线 的解折式为)=-3x+1,然后求出点尸的坐标即可. 【详解】解：如图：作点B关于对称轴x=2的对称点月，连接PB,1B交轴于点，则BP=P8 .PA+PB=PA+PB≥AB :AB是PA+PB的值最小，点B的坐标为此时点P的坐标， P .B(1,-8) :B(3-8) AB 设直线 的解析式为y=a+b 第5页/共29页 学科网 命组卷网 7=-2k+b k=-3 则有：-8=3k+b,解得： b=1, :直线B的解析式为'=-3x+1 当x=2时，y=-5,则(2，-5)，即P点的坐标为2，-5) 故选B A,BC,E,F 5.如图， ▣ABCD 中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交 于点 ,分别以点E和点F 为圆心，大于2 的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O,作射线BO交AD于点G,交CD的延 长线于点H,若MB=3BC=5 5,则DH的长为() H G A A.1 B.2 C.3 D.V2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的尺规作图以及等腰三角形的判定，解题关键是利用平行 四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，再通过线段差计算DH的长度， 第6页/共29页 学科网命组卷网 【详解】解：由题意BH是通过“作一个角的平分线”的尺规作图方法得到的， 因此∠ABG=∠CBG, 在平行四边形MBCD中：AB‖CD.ADIBC,MB=CD=3BC=AD=5 AB‖ICD 因为 所以∠ABG=∠H(两直线平行，内错角相等)； 结合∠ABG=∠CBG,可得∠CBG=∠H; 因此△BCH为等腰三角形，即CH=BC=5; 因为CH=5,CD=3. 所以DH=CH-CD=5-3=2, 故选：B 6.顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，则对角线互相垂直的四边形ABCD的 中点四边形的形状是() A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和矩形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边 的一半是解题的关键，注意矩形的判定定理的正确运用， 本题根据E、F分别是AB、B 边的中点，得到EF=HG,EFIH ，再求证EF⊥EH 然后即 可求解： 【详解】解：如图： 第7页/共29页 6学科网命组卷网 由题意得：AC⊥BD, :E、F分别是AB、BC边的中点， 21 EFl AC, 1 HG=二AC 同理 2 ,HG∥AC, :EF=HG EFNHG ∴四边形EFGH是平行四边形， ,E、H分别是AB、AD边的中点， .EH II BD AC⊥BD EFI‖AC EH I BD EF⊥EH, ∴.四边形EFGH是矩形： 故选：A; 7.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=4,点E在边BC上，连接AE,将△ABE沿AE折叠， 若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为() 第8页/共29页 6学科网6组卷网 A.4V2-4 B.2+2V2 c4-2V2 D.4V2-2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，菱形的性质，根据菱形的性质， 得到BC=MB=4,折叠得到4E垂直平分BF,进而推出△MBE为等股直角三角形，求出BE=2V2 再根据线段的和差关系，进行求解即可. 【详解】解：菱形ABCD中，AB=4, .BC=AB=4. ,将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处， ∴AE垂直平分BF, :∠B=45°， :.△ABE为等腰直角三角形， :BE=V 2AB-22 BF=2BE=4V2 :CF=BF-BC=4V2-4 故选：A. 8.就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的.其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正 农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理.它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天 第9页/共29页 命学科网 命组卷网 Rt△ABC 地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦.如图，在 中， ∠ACB=90° 以其三边为边分别向外作正方形，连 DN,EF,MG.设△MDN,△BEF, 。 △CMG 的面积分别是S,8,S,则下列结论正确的是《) 股 合之成玉早居司图中 四 自乘 88 九乘自三勾 mmmy 合之成五干居河图中 A.S+S2=S3 B.S2+S3=S c.S2=+ D.S=S2=3 【答案】D 【解析】 【分折1过E作P1CB交CB的延长线rP.连接FP,过D作D01GC交GC的延长线于G,连 NO AA 接 ,结合正方形的性质及 可判定△PEB2ACB ，由金等三角形的性质得PE=CB 由平行四 1 边形的判定方法得四边形BEPF是平行四边形，由平行四边形的性质 S,=2S。,同理求出，即 可求解. 【详解】解：如图，过E作BP1CB交CB的延长线于P,连接FP,过D作D01GC交GC的延长 O 线于D,连接 第10页/供29页 6学科网命组卷网 M y B E D ∴.∠BPE=∠DQA=90° ∴.∠PEB+∠PBE=90° ADEB CBFG ACMN 四边形 是正方形， ∴.∠ABE=∠CBF=9O°BC=BF=CG AB=BE AC=CM ∴.∠PBE+∠CBA=90° ∠PBF=90° .∠PEB=∠CBA BF∥PE. .∠BPE=∠ACB=90° ,APEB≌ACBA,AAS、 )， ·.PB=CAPE=CB ∴.BF=PE, ∴.四边形BEPF是平行四边形， 1 第11页/共29页 6学科网命组卷网 =-PB.PE 2 c.c ADON 同理可证：四边形 是平行四边形， 1 =D0A0 1 -2AC-CB .S3=CM.CG 2 -2AC-CB .S1=S2=S3 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能添加恰当的 辅助线，构建平行四边形是解题的关键 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共有4小题，每题3分，共24分) 9已知y=x0+3 是一次函数，则m= 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义. 第12页/供29页 6学科网 命组卷网 根据一次函数的定义，形如 y=+bk≠0)的函数为一次函数，因此”的指数必须为，且系数 不为零. 【详解】解：“函数=+3是一次函数， ∴.m-1=1 解得m=2, 当m=2 y=x+3 时，函数为 ，符合一次函数定义. 故答案为：2， 10.如图菱形ABCD,菱形的边长为10Cm,∠DAB=60°，菱形的高为 C 0 B 【答案】 5v3cm 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，过D作DM⊥AB交AB于M,根据菱形的性质得 到△DMB为等边三角形，利用三线合一性质得到AM-B=5,再由勾股定理求高DM 2 【详解】解：过D作DM⊥AB交AB于M, 0 M :菱形ABCD,菱形的边长为l0cm, 第13页/共29页 6学科网 6组卷网 .AD=AB=10cm, ∠DAB=600 ∴.△DAB为等边三角形， DM⊥AB, :AM=4B=5cm 2 :.DM=VAD2-AM2=V102-52=5V3cm. 故答案为：5V3cm 11.已知 R△MBC中，∠C=90,AC=12,BC=5,点F为i边4C上的对点，点F为边AB上的 中， 动点，则EF+EB的最小值是 B 120 【答案】13 【解析】 【分析】延长BC至B',使CB=BC,则可得B'点和B点关于AC对称.过B点作B'F⊥AB交AC于 E点，交AB于F点，连接AB.由“垂线段最短”可知，此时EF+EB的值最小，最小值为B'F的长. 根据面积法求出B'F的长，即可得EF+EB的最小值. 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，“垂线段最短”，利用“垂线段最短”求线段之和最小.熟练掌握 以上知识，正确地作出图形是解题的关键. 【详解】解：延长BC至B,使CB=BC, 第14页/共29页 6学科网列组卷网 .∠ACB=90°， .AB⊥BB, .B点和B点关于AC对称， 过B点作B'F⊥AB交AC于E点，交AB于F点，连接AB'. 此时EB=EB,且B,B,F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时EF+EB的值最小，最小值为BF的长， :R△MBC中，∠C=90°，4C=I2.BC=5, :.AB=VAC2+BC=V122+5=13 .CB'=BC=5, BB=10. 又5aw=2B-BF-)BBAC 1 2 .AB·B'F=BB'·AC, .13B'F=10×12, 3BF=120 解得 13, 120 ∴.EF+EB的最小值是13. 120 故答案为：13. 第15页/供29页 6学科网组卷网 B 12如，在AMBC中.D是4B上-点，DE1C,交BC于点E,DFIBC,交1C于 ,交 1C于点F,有 下列条件：①∠ACB=90°，②CD平分∠ACB;③CD⊥AB,且E是BC的中点.选择条件 能使四边形DECF是菱形. 【答案】 ②③ 【解析】 【分析】先说明四边形DECF是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐个判断即可. 【详解】解：：DE∥AC,DF∥BC. ∴四边形DECF是平行四边形，∠DCF=∠CDE,∠ACD=∠CDE, 当∠ACB=90°时， 四边形DECF是矩形，不是菱形，则①不符合题意： .CD平分∠ACB, .∠ACD=∠BCD 第16页/共29页 6学科网 命组卷网 .∠CDE=∠DCE, .CE=DE, ∴四边形DECF是菱形，则②符合题意； CD⊥AB,且E是BC的中点， DE=1BC=CE :.四边形DECF是菱形，则③符合题意： 所以选择②③能使四边形DECF是菱形. 三、解答题（本题共有6小题，共64分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答 题卡的相对位置) 13.计算： (4)2x50-1-v3°： e3+25-s 8 【答案】(1)9 (2)3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及零指数幂的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则和 零指数幂的性质。 (1)先根据二次根式乘法法则计算2×50，再根据零指数的性质计算1-V3)°，最后计算减法： (2)先把括号内的二次根式化为最简二次根式，再合并同查二次根式，最后计算除法. 【小问1详解】 第17页/共29页 6学科网 命组卷网 解：V2×V50-1-3° =V2x5V2-1 =10-1 =9 【小问2详解】 架.3+25-s5 (65+5-455 =85÷5 3 3. 14.4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲乙两班联合举办了“航天 知识”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了 收集、整理，分析.下面给出了部分信息 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85,78,86,79,72,91,79,71,70,89 乙班10名学生竞赛成绩：85,80,78,85,80,73,90,74,75,80 【整理数据】 班级 80 90 甲班 6 乙班 4 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 第18页/共29页 学科网命组卷网 甲班 80 79 79 51.4 乙班 80 Q b 26.4 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a= b= (2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； (3)甲班共有学生50人，乙班共有学生55人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这 两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】(1)80；80 (2)总体乙班成绩比较好： (3)两个班获奖人数约为53人. 【解析】 【分析】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的 关键。 (1)根据中位数，众数的定义求解： (2)结合平均数，方差代表的数据信息说明： (3)样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数. 【小问1详解】 解：乙班10名学生竞赛成绩从低到高排列：73,74,75,78,80,80,80,85,85,90，故中位数 80+80 Q=- =80 2 众数b=80: 故答案为：80；80： 【小问2详解】 解：乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好， 总体乙班成绩比较好： 【小问3详解】 50x4 +5×6=20+33=53 解：获奖人数： 10 10 )· 第19页/共29页 6学科网6组卷网 答：两个班获奖人数为53人. 15.已知菱形 ABCD AC,BD 交于点O, BEAC CE∥BD 的两条对角线 D (1)若AB=10,BD=12,求AC的长： (2)求证：四边形OBEC为矩形. 【答案】(1)AC=16」 (2) :BERAC CE∥BD ∴.四边形OBEC是平行四边形. :AC⊥BD, .∠B0C=90°. ∴四边形OBEC是矩形. 【解析】 【分析】题目主要考查特殊四边形菱形和矩形的判定和性质，勾股定理解三角形. (1)根据菱形的性质得出 1-=4C,0B=8D=6 AC⊥BD,再由勾股定理求解即可： (2)根据矩形的判定证明即可；理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键. 【小问1详解】 第20页/共29页 学科网命组卷网 解：：菱形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O,AB=10,BD=I2, .OA-TAC OB-TD-6.ACLBD. 在RtAAOB中，由勾股定理得 A0=V102-62=8 即AC=16 【小问2详解】 略 16.第四中学准备对近期跳绳训练活动进行社团比赛，每班准备抽取一人进入总决赛，九(1)班经过评选， 准备从甲、乙两名学生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名学生进 行了5次一分钟跳绳测试.并对数据进行收集、整理： 甲乙两人得分表： 序号 3 3 4 5 甲（个分钟） 170 177 180 180 193 乙（个分钟） 177 180 182 179 182 甲乙两人得分统计表： 平均数 中位数 众数 甲 a 180 180 乙 180 b 182 解答下列问题： (1)a=, b= (2)请计算甲乙两位学生的方差？ (3)甲、乙都认为自己去参加总决赛更好些，请根据成绩的稳定性和众数选择一（填甲和乙）去参 加比赛较好 第21页/共29页 命学科网命组卷网 【答案】(1)180：180 (2)=55.6.s2=3.6 (3)乙 【解析】 【分析】(1)根据平均数的求法，代值求解即可得到口；根据中位数定义及求法即可得到b: (2)根据方差计算公式代值求解即可得到答案： (3)根据(2)中方差，判断稳定性做决策，再结合众数做决策即可得到答案. 【小问1详解】 解： a=-×(170+177+180+180+193)=180 5 将乙得分按照从小到大排列如下：177、179、180182182，则由中位数定义可知b=180: 故答案为：180：180： 【小问2详解】 解：甲的方差为： 元=5[070-1802+(17-180+080-180+080-180+193-180f] =×000+9+0+0+169) =55.6: 乙的方差%：足=5[07-180+080-180+032-1380+(079-180+082-180] 55×(9+0+4+1+4】 =3.6 【小问3详解】 解：由(2)中，=55.6吃=3.6 第22页/共29页 6学科网命组卷网 ㎡=55.6>3.6=52 ∴·乙的成绩比甲的成绩更稳定； 182 “甲成绩的众数为8；乙成绩的众数为 .180 ∴乙取得高成绩的机会更大一些： 综上所述，根据成绩的稳定性和众数选择乙去参加比赛较好， 故答案为：乙. 【点睛】本题考查统计综上，熟记平均数、中位数、方差、众数的定义及求法是解决问题的关键. 17.在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个 交点与另外两个项点所组成的四边形也是菱形.他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图.请用圆规和直尺，在所给图中作∠ABO的角平分线交对角线AC于点E;作∠CDO 的角平分线交对角线AC于点F;连接BE、DF(不写作法，保留作图痕迹)· 第二步：证明猜想如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O.BE平分∠ABO,DF平 分∠CDO.求证：四边形BEDF是菱形. 证明：在菱形ABCD中，AC⊥BD,OB=OD,AB∥CD, ·.∠ABO=∠CD0(两直线平行，内错角相等)， BE ,∠ABO DE.∠CDO 平分 平分 第23页/共29页 6学科网命组卷网 :.2∠EBO=∠ABO2∠FDO=∠CDO .① ∴BEIDF(内错角相等，两直线平行)， ∠EBO=∠FDO 在 和 中， ② ABOE△DOF ∠BOE=∠DOF .△BOE≌△DOF(ASA) .③ 又BE∥DF, .四边形BEDF是平行四边形， AC⊥BD AC 且E、F均在 上， EF⊥BD, 即BD⊥EF, ∴四边形BEDF是菱形（④ 【答案】如图所示，就是所求作的图形： B ①∠EBO=∠FDO;②OB=OD;③BE=DF；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图（角平分线），熟练掌握菱 第24页/共29页 学科网命组卷网 形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是关键.根据题意作图即可；由菱形的性质知AB∥CD,得 到∠ABO=∠CDO,结合角平分线可推得①，再证明△BOE≌△DOF,得出②，再证明四边形BEDF 是平行四边形，结合BD⊥EF,即可证明四边形BEDF是菱形，得到④. 【详解】证明：在菱形ABCD中，AC⊥BD,OB=OD,AB∥CD. ∴.∠ABO=∠CDO(两直线平行，内错角相等)， :BE∠ABO DF∠CDO ”平分 平分 ∴.2∠EBO=∠ABO2∠FDO=∠CDO ∴.∠EBO=∠FDO」 ∴.BE‖DF(内错角相等，两直线平行)， I∠EBO=∠FDO 在 和 中， OB=OD △BOE ADOF ∠BOE=∠DOF ∴.△BOE≌△DOF(ASA) ∴.BE=DF, 又：BE∥DF, ∴四边形BEDF是平行四边形， .AC⊥BD AC ,且E、F均在上， ∴.EF⊥BD, 即BD⊥EF, ∴·四边形BEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）· 故答案为：①∠EBO=∠FDO;②OB=OD;③BE=DF;④对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 18.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=30°，AB=6, 第25页/供29页 6学科网命组卷网 B (1)实践操作：用尺规作图法过点B作CD边上的高BE；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)应用与证明：在(1)的条件下，在线段BA上截取线段BF,使BF=DE,连接DF,求证四边形 DFBE是矩形，并求出它的周长. 【答案】(1)过点B作CD边上的高BE,如图， M (2) B 18-63 【解析】 【分析】(I)分别以B、C为圆心，BC长为半径画圆交于点M,则△BCM是等边三角形，再根据菱 形的性质得到∠DAB=∠DCB=30°，即可得到CD平分∠BCM,根据等边三角形的性质得到 CD⊥BM CD BE ，即可得到边上的高； (2)先画出图形，再根据菱形的性质得到AB=BC=CD=6,∠DAB=∠DCB=30°，AB∥CD, 在RtaCE中，求出E=号BC=3,CE-35,根据BF=DE,AB∥CD,得到四边形DFBE是平 2 行四边形，再根据BE⊥CD,得到平行四边形DFBE是矩形，最后计算矩形DFBE的周长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在(1)的条件下，在线段BA上截取线段BF,使BF=DE,连接DF, 第26页/共29页 6学科网命组卷网 D FB :在菱形ABCD中，∠DAB=30°，AB=6, ·AB=BC=CD=6∠DAB=∠DCB=30°AB∥CD 在(1)的条件下，BE⊥CD, 在RLBCE中，BE=BC=3,CE=NBC-BB=V6-3-35, 2 :.DE=CD-CE=6-33 BF=DEAB∥CD .四边形DFBE是平行四边形， BE LCD ∴平行四边形DFBE是矩形， ∴矩形DFBE的周长为2(DE+BE)=26-3V3+3)=18-6V3 19.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=30°，AB=6. D (I)实践操作：用尺规作图法过点B作CD边上的高BE:(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)应用与证明：在(1)的条件下，在线段BA上截取线段BF,使BF=DE,连接DF,求证四边形 DFBE是矩形，并求出它的周长. 【答案】(1) 第27页/共29页 6学科网命组卷网 解：如图，BE即为所求 D (2) 证明：，四边形ABCD为菱形， .AD=AB=6.AB∥CD. BF=DE, ∴.四边形DFBE是平行四边形. ,BE为CD边上的高， .∠BED=90°， ∴四边形DFBE是矩形. .BE=DF,∠BFD=90°， .∠AFD=90° .∠DAB=30°. .DF-14D=3 AF=5 AD=33 2 BF=AB-AF=6-33 ∴矩形DFBE的周长为2(DF+BF)=2×3+6-3V3)=18-6N5 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图、菱形的性质、矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知 识解决问题， (1)结合垂线的作图方法作图即可： (2)结合菱形的性质、矩形的判定可证明四边形DFBE是矩形.由矩形的性质可得BE=DF, 第28页/共29页 6学科网 命组卷网 DF-T4D=3 4F-5 ∠BFD=90°，进而可得2 AD=35,BF=AB-AF=6-33,从而可得答 案。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第29页/共29页