6.1 二元一次方程组和它的解 暑期专项练习 2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组的概念、解及应用，通过定义辨析-解的验证-实际建模-综合创新的递进训练，系统培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|第2、6题|定义条件判断（整式/未知数个数/次数）|从二元一次方程定义到方程组的概念生成| |解的应用|第1、3、4、5、14题|代入验证法、整体代入法、表格找公共解|解的概念→解的性质→解的应用| |实际问题|第8、12、13、18、20题|方程建模、列举法（非负整数解）|实际情境→等量关系→方程求解| |综合创新|第9、10、15题|新定义转化、跨学科关联（传统文化/统计）|知识迁移→综合应用→创新思维|

6.1 二元一次方程组和它的解 暑期专项练习2025-2026学年 华东师大版七年级数学下册 一、单选题 1．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，是二元一次方程的解的是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．已知关于，的二元一次方程的解如表1，关于，的二元一次方程的解如表2，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） 表1 0 1 2 3 3 表2 0 1 2 3 A． B． C． D． 5．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．下列方程中，是二元一次方程有（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．在平面直角坐标系中可以画出任意一个二元一次方程的图象．如图，因为直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解（如点即，这是的一个解），所以直线是二元一次方程的图象．那么直线（经过若干格点）是哪个二元一次方程的图象（     ） A． B． C． D． 8．某段待检修的高铁轨道总长为米．检修组长说：“若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段”．技术员说：“若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段”，则可能是（    ）米． A． B． C． D． 9．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名．如图1，计算，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法：①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④．其中正确的个数是（   ） 图1                图2 A．1 B．2 C．3 D．4 10．长沙某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋个特色传统文化课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了、、、、次，那么等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．方程的正整数解是___________． 12．某家文具店的账目记录显示，卖出18本笔记本和12支钢笔，收入是156元；若以同样的价格卖出同款的24本笔记本和16支钢笔，则收入应是_________元． 13．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和的两种彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，你有________种不同的截法． 14．若是二元一次方程组的解，则的值是________． 15．“马年开启，瑞马相伴”．若一个正整数是偶数，且各位数字之和为，则称这个数为“瑞马数”．例如，是“瑞马数”．在，，，，，这个数中，两位数的“瑞马数”有______个，所有“瑞马数”共有______个． 三、解答题 16．如果等式的x,y满足方程组，求的值． 17．已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c是常数），有，，且是方程的一个解． (1)求a，b，c的值； (2)求方程满足，的非负整数解． 18．2026年1月，重庆二十九中举行了“岳忆奖助学奖教基金颁奖盛典”，为品学兼优的学子颁发“岳忆奖”和“励志奖”两类奖学金．已知：获得“岳忆奖”的人数比获得“励志奖”的3倍少10人；两类获奖总人数为70人． (1)请求出获得“岳忆奖”和“励志奖”各有多少人； (2)学校计划购买笔记本和钢笔作为奖品．“岳忆奖”每人奖励一个笔记本和一支钢笔，“励志奖”每人只奖励一支钢笔．学校计划购买笔记本和钢笔的总费用恰好为900元．笔记本单价为元，钢笔单价为元（，均为正整数），求和的值． 19．已知三对数值： (1)哪几对数值能使方程的左、右两边的值相等？ (2)哪几对数值是方程组的解？ 20．学校食堂采购员小王去超市采购鸡蛋，超市里鸡蛋有A，B两种包装，其中各鸡蛋品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下： A包装盒 B包装盒 每盒鸡蛋个数（个） 6 16 每盒价格（元） 5 11 (1)若小王购买了A，B两种包装共15盒，一共买到180个鸡蛋，请问小王花了多少钱？ (2)若小王购买A，B两种包装的鸡蛋恰好花了180元（A，B两种包装的鸡蛋都要购买），请写出所有购买方案，并求出小王最多可购买多少个鸡蛋？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C D B D A D B 1．D 【分析】先将已知的代入第一个方程求出，即代表的数，再将和的值代入第二个方程求出代表的数，即可得到答案． 【详解】解： 把代入第一个方程得：， ， 即代表的数为 ， 把，代入第二个方程得： ，即代表的数为． 2．B 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． 3．B 【详解】解：选项A：当，时，左边，不是方程的解； 选项B：当，时，左边右边，等式成立，是方程的解； 选项C：当，时，左边，不是方程的解； 选项D：当，时，左边，不是方程的解． 4．C 【分析】根据表格找出二元一次方程和的公共解，即可解答． 【详解】解：由表可知，是二元一次方程和的公共解， ∴关于的二元一次方程组的解是． 5．D 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解． ∴把代入方程，得 ． 解得． 6．B 【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断，统计符合条件的方程个数即可得到答案，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个不同未知数，含未知数的项的次数为1． 【详解】解：①只含有1个未知数，∴①不是二元一次方程； ②整理后为，满足二元一次方程的定义，∴②是二元一次方程； ③中不是整式，方程是分式方程，∴③不是二元一次方程； ④整理后为，满足二元一次方程的定义，∴④是二元一次方程； ⑤满足二元一次方程的定义，∴⑤是二元一次方程； ⑥中项的次数为2，不满足次数为1的要求，∴⑥不是二元一次方程； 综上，二元一次方程共有3个． 7．D 【分析】从图中可得直线经过两个明确的格点：和，将坐标代入选项验证． 【详解】解：选项A ：代入，得，不符合题意； 选项B ：代入，得，不符合题意； 选项C ：代入，得，不符合题意； 选项D ：代入得，成立；代入得，成立，符合题意． 8．A 【分析】根据题意列出关于，，的方程，利用，为非负整数的性质，求解得到的可能值，再匹配选项即可． 【详解】解：∵原轨道长米，若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段， ∴， 整理得； ∵原轨道长米，若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段， ∴， 整理得； 可知， 整理得． ∵，为非负整数，且， 因此方程的非负整数解为，，， 将三组解分别代入计算： 当时，，不符合选项； 当时，，符合选项； 当时，，不符合选项； 因此可能为米． 9．D 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，由题意可得：，，其中，，都为整数，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图， 由题意可得：，，其中，，都为整数， ∴，， 其中，，，不符合题意， 如图， ∴，，， ∴①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④， ∴①②③④都正确； 故选：D 10．B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．通过两种角度计算选课总次数建立等式，结合、的取值范围确定其值，进而求出的值即可． 【详解】解：按同学选课数统计总次数为， 按课程被选次数统计总次数为， 又两种统计方式的总次数相等， ，即， 单门课程最多被位同学各选次，故， ，得， 又每位同学至少选门课程，故， ，代入得， ， 故选：． 11． 【分析】先用的代数式表示出，再结合正整数的要求，枚举验证得到方程的解. 【详解】解：， ， 当时，， 是正整数，符合要求； 当时，， 不是正整数，舍去； 当时，， 为负数，不符合正整数要求，舍去； 方程的正整数解是． 12． 【分析】本题先设出两种商品的单价，根据第一次销售的收入得到单价满足的关系式，再将第二次销售的总收入变形后，整体代入计算即可得到结果，不需要分别求出两个单价． 【详解】解：设1本笔记本的价格为元，1支钢笔的价格为元， 根据题意可得：， 等式两边同时除以6，得， 第二次的总收入为， 将代入，得． 13． 【分析】设截成的彩绳有根，截成的彩绳有根，根据题意得出，根据、都是正整数，求出正整数解即可得出答案． 【详解】解：设截成的彩绳有根，截成的彩绳有根， ∵把长的彩绳截成和的两种彩绳，不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来， ∴， ∵、都是正整数， ∴或， ∴有种不同的截法． 14． 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值，再计算． 【详解】解：把代入方程组， 可得：， ①+②得：，解得． 将代入①式： ， ， ， ． 15． 【分析】根据“瑞马数”的定义，按数的位数分类讨论，分别计算两位数中瑞马数的个数，以及所有不超过的瑞马数的个数，最后汇总得到结果． 【详解】解：根据题意，瑞马数是正偶数且各位数字之和为， 、计算两位数的瑞马数： 设两位数为，其中，，为偶数，且， 则，由得，即， 又为偶数，故，对应，共个，即两位数的瑞马数有个； 、计算所有不超过的瑞马数： 一位数：一位数最大为，故不存在瑞马数，共个， 三位数：设百、十、个位分别为， 根据题意得，，，为偶数， ∴，即， ∴当时，，可取，共个解； 当时，，可取，共个解； 当时，，可取，共个解； 当时，，可取，共个解； 当时，，可取，共个解； ∴三位数瑞马数共（个）； 设千位为的四位数的百、十、个位分别为， ∵，为偶数，，即， ∴当时，，共个解； 当时，，共个解； 当时，，共个解； 当时，，共个解； 当时，，共个解； 千位为的瑞马数共（个）； 千位为且不超过的四位数，其百位为，设其十、个位分别为，， ∵，为偶数， ∴，即，且， 解得：， 当时，，为偶数，得，符合； 当时，，为奇数，不符合； 当时，，为偶数，得，符合；共个， 所有瑞马数总数为：（个）． 16． 【分析】由非负数的性质求得x与y的值，代入二元一次方程组求得m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：由，得， 即，， 把,分别代入方程组，得， 解得：，， 当，时， ． 17．(1)，， (2) 【分析】（1）将已知解代入方程，并用 、 消元，解出 后，进而解得 、． （2）将 代入得方程 ，可得 ，由非负整数解及 列举即可求出解． 【详解】（1）解： 是的解， ， 把代入得， 把，代入得， ，解得， ，． （2）解：由（1）得，，， 方程，化为， 即 ， ， x为非负整数，为非负整数，且，， 当，，不符合题意， 当，，不符合题意， 当，，符合题意， 当，，不符合题意， 当，，不符合题意， 原方程的整数解为：． 18．(1)获得“励志奖”的人数为人，获得“岳忆奖”的人数为人； (2)或 【分析】（1）设获得“励志奖”的人数为人，则获得“岳忆奖”的人数为人，根据总人数列方程并解方程即可； （2）根据学校计划购买笔记本和钢笔的总费用恰好为900元列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设获得“励志奖”的人数为人，则获得“岳忆奖”的人数为人， 则， 解得， ∴ 答：获得“励志奖”的人数为人，获得“岳忆奖”的人数为人； （2）解：根据题意可得， ， 整理得到，， ∵，均为正整数， ∴当时，； 当时，； 即或． 19．(1)和能使方程左右两边的值相等 (2)是方程组的解 【分析】（1）把三组、数值依次代入方程，验证等式左右是否相等，相等即为该方程的解； （2）方程组的解需要同时满足方程组里两个方程，即在（1）满足第一个方程的数值里，再代入第二个方程验算． 【详解】（1）解：①， 左边，不符合； ② 左边右边，符合； ③， 左边右边，符合， 故、能使左右相等． （2）解：方程组， 从（1）得：，满足①式，分别代入： ：左边，不满足； ：左边右边，满足， 所以只有是方程组的解． 20．(1)129元 (2) 方案一：购买A包装25盒，B包装5盒，可购买230个鸡蛋， 方案二：购买A包装14盒，B包装10盒，可购买244个鸡蛋， 方案三：购买A包装3盒，B包装15盒，可购买258个鸡蛋， 其中，方案三购买鸡蛋数量最多，最多可买258个． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设A包装盒，B包装盒，根据题意列出一元一次方程，解方程即可； （2）设购买A包装盒元，B包装盒元，根据题意列出方程，求出，由于、为正整数，则的可能取值为5，10，15，据此求出三种方案即可． 【详解】（1）解：设A包装盒，B包装盒，根据题意得： ， 解得， 则盒， 因此，购买A包装6盒，B包装9盒的总花费为：元； （2）解：设购买A包装盒，B包装盒，根据题意得： ， 解得， 由于、为正整数， 则的可能取值为5，10，15， 当时，，此时购买鸡蛋的数量为个； 当时，，此时购买鸡蛋的数量为个； 当时，，此时购买鸡蛋的数量为个； 因此，小王有3种购买方案： 方案一：购买A包装25盒，B包装5盒，可购买230个鸡蛋， 方案二：购买A包装14盒，B包装10盒，可购买244个鸡蛋， 方案三：购买A包装3盒，B包装15盒，可购买258个鸡蛋， 其中，方案三购买鸡蛋数量最多，最多可买258个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $