2.1 等式性质与不等式性质（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“分层进阶+素养导向”为特色，通过A/B/C必做与拓展选做四层设计，实现从基础巩固到高考衔接的知识深化路径，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|不等式表示、作差/商法比较大小等单一知识点|基础题型为主，标注重点/常考/易错点，如题型02作差法（重点）| |B组能力进阶|不等式性质综合应用|多选与证明题结合，如利用性质证明不等式，培养推理能力| |C组思维拔高|新定义、逻辑推理等创新应用|含新文化题与开放探究题，如“下位序列”问题，发展创新意识| |拓展链接高考|高考真题对接|选取近年高考题，如2026上海高考题，强化应用意识|

分层作业 2.1 等式性质与不等式性质 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 用不等式表示不等关系 题型02 作差法比较代数式的大小（重点） 题型03 作商法比较代数式的大小 题型04 由不等式的性质比较大小 题型05 利用不等式的性质证明不等式 题型06 由已知条件判断不等式是否正确（常考） 题型07 利用不等式的性质求代数式的范围（易错） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 用不等式表示不等关系题型01 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 作差法比较代数式的大小题型02 4．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 6．（24-25高一上·广西来宾·阶段检测）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 作商法比较代数式的大小题型03 7．已知，则与的大小关系为____________. 8．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 由不等式的性质比较大小题型04 9．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 13．（多选）（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 利用不等式的性质证明不等式题型05 14．已知，求证:. 15．（25-26高一上·吉林松原·期中）完成下列证明： (1)已知，，，求证：； (2)求证：是等边三角形的充要条件是.这里a，b，c是的三条边. 16．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段检测）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 由已知条件判断不等式是否正确题型06 17．（25-26高一下·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 18．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 20．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 利用不等式的性质求代数式的范围题型07 21．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 23．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（多选）（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·内蒙古包头·期末）下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高一上·上海·期中）设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26高一下·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 4．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则． 7．（多选）（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 9．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 10．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 1．【新定义问题】（25-26高一上·河南·阶段检测）我们把中的最大值记为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 2．【逻辑推理】（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）若 ，且 ，则（   ） A． B． C． D． 3．【新文化题】（多选）（25-26高一上·四川·阶段检测）《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有绿豆、红豆、黄豆各数粒（各有至少1粒），已知绿豆的数量多于红豆，少于黄豆，红豆的数量的2倍多于黄豆数量，则下列说法正确的是（   ） A．红豆的数量的2倍多于绿豆数量 B．绿豆的数量多于3 C．黄豆的数量多于4 D．绿豆、红豆、黄豆的数量之和的最小值为10 4．【逻辑推理和数学运算】（25-26高一上·浙江丽水·期末）以表示集合中最大的数，设，已知或，则的最小值为____. 5．【新定义问题】对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 6．【新定义问题】（25-26高一上·河北·阶段检测）对于正数满足时，则称有序数对是的“下位序列”. (1)判断有序数对是否是的“下位序列”； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试比较的大小； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.1等式性质与不等式性质 参考答案 A组 巩固过关 题型01 用不等式表示不等关系 1.D 2.B 3.B 题型02 作差法比较代数式的大小 4.A 5.A 6.【答案】(1)M>N;(2)M≥N:(3)M>N 【详解】1)M=G---可G+可 1 +√x-] Vx+vxT' v=-G-+-i+) 1 Vx+1+√x √x+1+√E 由x>1,(+1+)-(WG+可)=+1-1>0. 故√x+I>Vx-I,即有M>N: (2)M-N=a3+b-a2b-ab2=(a3-a2b)+(6-ab2） =a2(a-b)+b2(b-a)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2, 由a,b均为正实数，故(a+b)(a-b)≥0，即M≥N: (3)M-N-2i-bi-a-b-(a-b)a+b)_(a-b)o+) a2+b2a+b(a2+b2)(a+b)(a2+b2)(a+b) (a-b)(a+b'-(a-b)(a2+b）_(a-b)(a2+2ab+b2-a2-b2） (a2+b2)(a+b) (a2+b2)(a+b) 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2ab(a-b) (a2+b2)(a+b) 由a>b>0,故a-b>0,a+b>0,ab>0,a2+b2>0, 即M-N>0,故M>N. 题型03 作商法比较代数式的大小 7.a"b'>aba a2-b2、a-b 8.【答案】(1)2+5x+3>2+4x+2:(2)+b>a+6 >0 口详解】(1)2x+5x+3-+4x+2)=X+x+1=(化++ 所以2x2+5x+3>x2+4x+2. a-b_(a+bx(a-b-o.a-b (2)由a>b>0:得a-b>0'a2+b=a2+b2 a2-b2 因t多-a-+62 a2+b2 a2+b2 =1+2ab 2+6>1, a+b a2-b2、a-b 所以云+6>。 a+b 题型04 由不等式的性质比较大小 9.B 10D 11.B 12.BCD 13.AC 题型05 利用不等式的性质证明不等式 14.【详解】证明：方法一：因为c>a>b>0,所以0<c-a<c-b, 所以0<(c-a<(c-b,所以(c-a'(c-b>0, i以e-jt-y-oie-e-6-. 即0e-e-a,所以e-a可>e-b之0 b 又因为a>b>0,所以(e-a'(c-b了 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ba(c-b)2-b(c-a)月 方法=：(c-a(c-b} (c-a)'(c-b) ac2-2abe+ab2-(be2-2abe+ba2) (c-a)}'(c-b) _ac2-be2+ab2-ba2 (a-b)(c2-ab) (c-a)'(c-b}(c-a'(c-b 因为c>a>b>0,所以a-b>0,c2>ab,c-a>0,c-b>0. (a-bc2-ab）,0. 所以(a-bc-ab>0,所以(e-ac-b a b b 所以e-de-分>0，因此e-a了>eb 15.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】(1)c<d<0,-c>-d>0, 又a>b>0,.a-c>b-d>0, 0<11 a-c6-d,又，e<0,> e a-cb-d (2)先证明充分性： 由2(a2+b2+c2)=2(ab+ac+bc), 即(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(62-2bc+c2)=0, 所以(a-b)+(a-c}+(b-c}=0, 所以a=b=c,三角形为等边三角形. 然后证明必要性。 当三角形ABC是等边三角形时，a=b=c,所以a2+b2+c2=ab+ac+bc 综上所述，△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2-ab+ac+bc. 16【答案】①)证明见解析：2)①实数之y20m>0:则}<十邢，证明见解析；(CD证明见 解析。 【详解】(1)由c<d<0,得-c>-d>0,而a>b>0,则a-c>b-d>0, 于是0<1」 1 e <a-6-a,又e<0所以a-c>b-d 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上<+m (2)(①)“糖水不等式”为：实数x>y>0,m>0:则<x+m, 由x>y>0,m>0' y+m-上-0y+m)-yx+m）_-ym>0, 得x+mx x(x+m) x(x+m) 所州 a 2a ()由()及a'b,c是三角形的三边，得0<a<b+c,则b+c<a+b+c, b 2b c 2c 同理 a+c a+b+ca+b a+b+c' a b t-c 2a 2b 2b 所以b+c+a+ca+ba+b+ca+b+ca+b+c =2 题型06 由已知条件判断不等式是否正确 17.B 18.C 19.C 20.BCD 题型07 充要条件的证明 21.D 22.B 23.A 24.ABD B组 能力进阶 1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.ABD 8.ABC b+m、b 71 9.【答案】1)。+m>。:证明见解析：(2)证明见解标. b+m、b 【详解】(1)因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为：a+m>ā： 证明如下：利用作差法证明 b+m b ab+am-ab-bm m(a-b) a+m a a(a+m) a(a+m) .a>b>0,m>0 m(a-b）>0 a(a+m) 4/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b+m、b 所以a+m>。,不等式成立. (2)因为a,b,c为三角形的三边长，所以a<b+c,b<a+c,c<a+b a a+a 2a 由(1)知b+c(b+c)+ab+c+a, b b+b 2b a+c (a+c)+bb+c+a, c+c 2c a+b (a+b)+c b+c+a, 将上述三个不等式相加可得： +b+c<20+2b+2c=2, a b+c a+c a+b a+b+c a+b+c<2 所以b+ca+ea+b 10.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)-4≤3a-2b≤11. 【详解】(1)因为a>b>0,c<d<0, lel lel -c>b-d>0即(a-c}>b-d,所以(a-c6-d, 所以 e 因为e<0'所以(a-c>(b-d); x y_x(1+y)-y(1+x)_x+xy-y-xy_ x-y (2)1+x1+y1+x)1+y)1+x)1+y)(1+x1+y): 因为x,y均为正实数，所以(1+x)1+y)>0」 当x-y>0即y时，0++0，t时， x-y 当x-y=0即=y时，0+心0，t时， x-y x-y <_y 当x-y<0即<时，+0+0，此时+x中 x>y 综上可得：当x>y时，1+x>1+y: x=y 当x=y时，1+x1+y x y 一< 当x<y时，1+x1+y: 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设3a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b. 1 x= 所以x+y=3 , (x-y=-2= 所以如-2边=a+0+a-). 由3≤a+b≤2÷2≤)(a+b)s1, 唐5a-b<437sa-b)s0 5 所以-4≤a+b)+2a-b)≤1l,即4≤3a-2b≤11 C组 思维拔高 1.C 2.AB 3.ABC 4.11 catc>a 5.【答案】(1)不是，理由见解析：2)>b+d>6,理由见解析 232×11-3×71 2.3 【详解】(1)由于行77>0，即>不满足“下位序列”的概念，所以不是“下 位序列”· a c (2)ab,c,d均为正数，由(a,b)是(c,d)的“下位序列”，得方<d,即ad<bc' e_a+e-ke+cd-ad-od-d≥0，即片>gt& 则ab+d d(b+d)d(b+d) 'd b+d' aa+c ab+ad-ab-bc ad-bc bb+d bb+a)66+<0,即g+>g b+db' c、a+c、a 所以d之b+db 9n+qn 6.【答案】是：2pm+pm:3345 【详解】(1)因为2×7<5x3,所以(2,5)是(3,7)的“下位序列” (2)因为(m,n)是(P,9)的“下位序列”，所以mg<p, 因为mnPq均为正数， 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n+q n +9h=<0，即m+Dn 所以m+pm(m+p)m g品0，即 n+9>9 *m+pp 9<n+9<n 综上所述：pm+pm an<1672m (3)由已知得1(a+1)n>1673m' [an+1≤1672m 因为m,n,a 均为正整数，故am+n-1≥1673m' 所以1672(am+n-1)≥1672×1673m21673(am+1), 3345 即n 1672-a' 因为该式对集合{al≤a≤I671,a∈N}内的每一个整数a都成立， 3345 3345 所以a-1671mm 1672-167 =3345,所以 ≥3345 下证n=3345时满足题意， an<1672m 为了a+1)n>1673m·只需m<m<n+”,即3345 <m< 3345a+3345 1672 1673 1672 1673 3345a<2a+1. 取m=2a+1,由a<1672可得3345a<1672(2a+1),即1672 由a<162可得16732a+<345a+,即2a+1<345a+D. 1673, 故存在正整数m=2a+l满足题意。 综上，正整数n的最小值为3345. 拓展 链接高考 1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 717 分层作业 2.1 等式性质与不等式性质 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 用不等式表示不等关系 题型02 作差法比较代数式的大小（重点） 题型03 作商法比较代数式的大小 题型04 由不等式的性质比较大小 题型05 利用不等式的性质证明不等式 题型06 由已知条件判断不等式是否正确（常考） 题型07 利用不等式的性质求代数式的范围（易错） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 用不等式表示不等关系题型01 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 3．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 作差法比较代数式的大小题型02 4．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 6．（24-25高一上·广西来宾·阶段检测）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故. 作商法比较代数式的大小题型03 7．已知，则与的大小关系为____________. 【答案】 【详解】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 故答案为：. 8．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 由不等式的性质比较大小题型04 9．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 10．（25-26高一下·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，故A不成立； 当时，满足，此时， 故B不成立； 当时，满足， ，故，故C不成立； ，， ， ，故成立． 11．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，A错误； 对于B，因为，，所以，同乘以 ，所以，B正确； 对于C，因为，，所以，C错误； 对于D，因为，，所以，D错误. 12．（多选）（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由，，得或，则，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，，而，故C错误； 对于D，当时，满足，，而，故D错误. 13．（多选）（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于 C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 利用不等式的性质证明不等式题型05 14．已知，求证:. 【详解】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 15．（25-26高一上·吉林松原·期中）完成下列证明： (1)已知，，，求证：； (2)求证：是等边三角形的充要条件是.这里a，b，c是的三条边. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1），， 又，， ，又，. （2）先证明充分性： 由， 即， 所以， 所以，三角形为等边三角形. 然后证明必要性. 当三角形是等边三角形时，，所以. 综上所述，是等边三角形的充要条件是. 16．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段检测）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）（i）实数，则，证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由，得，而，则， 于是，又，所以. （2）（i）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （ii）由（i）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 由已知条件判断不等式是否正确题型06 17．（25-26高一下·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 18．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 20．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 利用不等式的性质求代数式的范围题型07 21．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 22．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【易错】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 错误原因：和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 23．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 24．（多选）（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 1．（25-26高一上·内蒙古包头·期末）下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，又，则，所以， 得到，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时， 不满足，所以C错误， 对于D，因为，又，则， 所以，得到，所以D正确， 故选：D. 2．（25-26高一上·上海·期中）设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，取，满足，而，①是假命题； 对于②，，②是真命题； 对于③，，③是真命题； 对于④，取，满足，而，④是假命题； 对于⑤，由，得，由，则，⑤是真命题. 3．（25-26高一下·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【详解】对于A，取，满足，， 则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为且， 所以，， 即， 两边同时乘以， 则，故D正确. 4．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，所以， 所以. 故选：A. 5．（25-26高二下·安徽·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意； 对于B：不等式，由于，即a与b异号，则与同号， 则与异号，故与题设矛盾，故B不成立； 对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误； 对于D：，设，则，不等式转化为， 因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确. 6．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则． 【答案】B 【详解】对于A，例如，满足，但，不满足，故A错误； 对于B，因为，根据不等式的基本性质，因为，所以，故B正确； 对于C，因为， 若，则， 所以，即，可知C错误； 对于D，例如，满足且，但，不满足，故D错误， 故选:B． 7．（多选）（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，由，所以，所以A正确； 对于B，因为，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由， 因为，可得，且，， 所以，即，所以，所以C错误； 对于D，由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以D正确. 故选：ABD. 8．（多选）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【详解】对于A，由， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，由，得，又， 两式相加得，即，故B正确； 对于CD，设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 9．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 10．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）. 【详解】（1）因为，， 所以，即，所以， 因为，所以； （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时． 综上可得：当时，； 当时，； 当时，； （3）设， 所以， 所以. 由， 由， 所以，即． 1．【新定义问题】（25-26高一上·河南·阶段检测）我们把中的最大值记为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】设（），则：， ， . 结合前两式，得，又 ，所以，即，故. 当时，，，此时，等号成立. 故选：C 2．【逻辑推理】（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）若 ，且 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：因为，所以，已知，代入得，选项A正确； 选项B：同理，代入，得，选项B正确； 选项C：，因，故符号由决定： 若，则， 若，则， 若，则，因此不一定成立，选项C错误； 选项D：因，故，得，又，两边乘负数不等号变向，得，选项D错误. 故选：AB 3．【新文化题】（多选）（25-26高一上·四川·阶段检测）《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有绿豆、红豆、黄豆各数粒（各有至少1粒），已知绿豆的数量多于红豆，少于黄豆，红豆的数量的2倍多于黄豆数量，则下列说法正确的是（   ） A．红豆的数量的2倍多于绿豆数量 B．绿豆的数量多于3 C．黄豆的数量多于4 D．绿豆、红豆、黄豆的数量之和的最小值为10 【答案】ABC 【详解】设绿豆、红豆、黄豆的数量分别为，，（，，均为正整数）. 由题意知，，，所以. 选项A：由得，，即红豆的数量的2倍多于绿豆数量，A正确； 选项B：取最小正整数进行验证. 当时，，找不到满足条件的，值； 当时，，找不到满足条件的，值； 当时，，此时，，满足条件，即绿豆的数量最少为4（多于3），B正确； 选项C：由选项B知，黄豆的数量最少为5（多于4），C正确； 选项D：由选项B知，绿豆、红豆、黄豆的数量之和的最小值为，D错误. 故选：ABC. 4．【逻辑推理和数学运算】（25-26高一上·浙江丽水·期末）以表示集合中最大的数，设，已知或，则的最小值为____. 【答案】 【详解】令，，，其中， 所以， 令，因此， 若，则，即， 所以，则， 若，则，即， 所以，则， 又， 综上所述，，当且仅当，且时等号成立， 取，，，满足，且， 此时， 因此的最小值为. 故答案为：. 5．【新定义问题】对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)不是，理由见解析；(2)，理由见解析 【详解】（1）由于，即，不满足“下位序列”的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. 6．【新定义问题】（25-26高一上·河北·阶段检测）对于正数满足时，则称有序数对是的“下位序列”. (1)判断有序数对是否是的“下位序列”； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试比较的大小； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 【答案】(1)是；(2)；(3)3345 【详解】（1）因为，所以是的“下位序列”. （2）因为是的“下位序列”，所以， 因为均为正数， 所以，即， 同理，即， 综上所述：. （3）由已知得， 因为均为正整数，故， 所以， 即， 因为该式对集合内的每一个整数都成立， 所以，所以. 下证时满足题意， 为了，只需，即， 取，由可得，即. 由可得，即， 故存在正整数满足题意. 综上，正整数的最小值为3345. 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 2．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 4．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 5．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，但，，A、C错误； ，，所以.B正确. ，但，D错误. 故选:B. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $