第2章 一元二次方程 单元巩固测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册.

**基本信息** 第2章一元二次方程单元巩固测试卷，立足单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，考查根的概念、解法及应用，渗透数学抽象、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|根的概念、配方法、根的判别式|结合植物分支（第7题）等情境考查应用| |填空题|6/18|韦达定理、增长率问题（第16题AI投入）|通过表格数据判断方程解范围（第13题）| |解答题|8/72|解方程、新定义“C方程”（第22题）、销售利润（第24题）|分层设计，如第24题三问递进，体现模型意识与推理能力|

第2章 一元二次方程 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 2．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 3．将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 4．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 5．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 6．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，可列方程为（   ） A．B． C． D． 8．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 9．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 10．小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．用配方法解方程，方程可化为，则___________． 12．已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________． 13．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 14．已知，则的值为________． 15．已知m，n是方程的两个根，则________． 16．生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，则可列方程为_________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 18．解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 19．关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 20．先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 21．（1）解方程： （2）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根． ①当m为何值时，是菱形？ ②若的长为3，求的周长． 22．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 23．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 24．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． (1)若售价下降1元，每天能售出______箱饮料，若售价下降元（），每天能售出______箱饮料； (2)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ (3)能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 2．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 3．将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： 故选C 4．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 5．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 6．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，可列方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则主干、支干和小分支的总数是个分支，即可列方程． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意列方程得：． 故选：A． 8．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 9．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意，，运动时间， ， ， ， 解得（舍去）或5， ∴运动时间为5秒时，的面积等于． 故选：A． 10．小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为，所以可列关于x的方程． 【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．用配方法解方程，方程可化为，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 先移项，再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 12．已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的定义．根据关于x的方程有两个实数根，得，，且，再计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， 故答案为：且． 13．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 14．已知，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 15．已知m，n是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系得出， ，再通过完全平方公式变形所求代数式，代入计算得到最终结果． 【详解】解： 整理得： ， 这里 , , ∴ ， ∴， ∴ ． 16．生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元，列出方程即可． 【详解】解：设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据题意得： ． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的定义和求解方法是解题的关键． （1）依据一元二次方程未知数最高次数为2的定义，令方程中的次数等于2，从而列方程求解； （2）把求得的值代入原方程，再用合适的方法（如因式分解法）解一元二次方程． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：由（1）可知，方程为， ∴， ∴或， 解得，． 18．解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 19．关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 20．先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)3 (2)1，大，-2 (3)直角三角形，见解析 【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式． （2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式． （3）先因式分解，判断字母，，三边的关系，再判定三角形的形状． 【详解】（1）解：； ∴的最小值是3． （2）， ， ， ∴当的时，有最大值． 故答案为：1，大，． （3）， ， ， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0． ，，， 解得，，． ∵， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． 21．（1）解方程： （2）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根． ①当m为何值时，是菱形？ ②若的长为3，求的周长． 【答案】（1）， （2）①；②18 【分析】本题考查一元二次方程的解法和根的判别式，正确掌握一元二次方程的解法和根的判别式是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）①根据菱形的性质“邻边相等”，可得方程有两个相等的实数根，即，即可求解；②根据题意，可得是方程的一个实数根，从而求出m的值，再通过解方程求出，即可求出的周长． 【详解】（1） 解： 或， ，； （2）解：①是菱形， ，即方程有两个相等的实数根， ，即，解得，（不符合题意，舍去）， 当时，是菱形； ②由题可得，是方程的一个实数根， ，解得， 则原方程为，解得，， ， 的周长为：． 22．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“C方程”，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 23．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． (1)若售价下降1元，每天能售出______箱饮料，若售价下降元（），每天能售出______箱饮料； (2)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ (3)能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)120，； (2)每箱应降价5元； (3)不能，理由如下： 假设能使每天销售该饮料获利达到1500元， 根据题意列方程得： 整理得 该一元二次方程的判别式， ∴该方程没有实数根，不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 【分析】（1）根据题意，直接计算得到不同降价对应的销售量； （2）设每箱降价元，根据题意得出每箱利润为元，每天销售量为箱，列出方程求解即可； （3）同（2）方法一致，列出方程进行判断即可． 【详解】（1）解：已知原平均每天售出100箱，每降价1元多售出20箱， 降价1元时，销售量为(箱)， 降价元()时，多售出箱，销售量为箱； （2）设每箱降价元， 此时每箱利润为元，每天销售量为箱， 根据题意列方程得： 整理得 解得，， ∵要求扩大销售，增加利润， ∴降价越多销售量越大， ∴， 答：每箱应降价5元，可使每天销售该饮料获利1400元； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $