精品解析：广东省深圳市南山区2025-2026学年下学期八年级数学期末检测

2025—2026学年度第二学期期末检测 八年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产，如图为相关图形，下列选项为从《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则实数满足的条件是（ 　 ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（ ） A. 4840 B. 4820 C. 8420 D. 4480 第二部分 非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 10. 若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则的值为______． 11. 南山购物中心某种商品进价为元，标价元销售，购物中心规定可以打折销售，但利润率不能低于，则这种商品最多可以按______折销售． 12. 如图，在中，，，，将沿斜边平移得到，若，则重叠部分的面积为 ________________ ． 13. 如图，在腰长为4的等腰中，E为边的中点，H为边的中点，F，G为斜边上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题7分，第15题7分，第16题9分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 15. 先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； （2）将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； （3）若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 17. 如图，在四边形中，，对角线与相交于O，且O为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）尺规作图：作的中点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）．若，，，求的长度． 18. 2026年4月23日为第三十二个“世界读书日”，某图书馆购入一批全新馆藏图书．其中采购科普类图书支出600元，文学类图书支出600元．已知科普类图书的单价为文学类图书单价的1.5倍，且科普类图书比文学类图书少10本． （1）求科普类图书与文学类图书的单价分别为多少元？ （2）上述两类图书深受学生欢迎，图书馆计划再次采购这两类图书合计300本，其中科普类图书的采购数量不低于文学类图书数量的，求费用最低的采购方案． 19. 综合与实践 在数学范畴内，将形状、大小完全一致的平面图形进行拼接，使图形之间无空隙、不重叠地覆盖整个平面，该操作被定义为平面图形的密铺，也可称为平面镶嵌．在现实生活场景中，地砖铺设、墙砖铺贴、蜂巢结构等均应用了密铺原理． （1）如图1，通过观察墙砖、蜂巢密铺结构，发现正方形、正六边形都可以进行密铺．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为 °，并使相等的边重合． （2）使用若干边长相等的正三角形与正六边形完成平面密铺，若每个顶点周围共有m个正三角形、n个正六边形，求出m，n满足的关系式． （3）如图2，是运用镶嵌创造的作品，图中的基本图形是一只小“鸟”，它是对一个正方形先分割，再平移演变而成，请你在图3中，画出这个正方形． 20. 综合与探究 通过对平行四边形相关知识的学习，我们已积累了研究几何图形的经验与研究策略：一般而言，我们会从定义、性质、判定以及应用等维度开展几何图形研究，而观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等，则是我们开展此类探究时常用的方法． 【定义】 如图1，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，其中，和是筝形的对角线． 【判定】 （1）如图2，在筝形中，，，点P是对角线上一点，过点P分别作，的垂线，垂足分别为点M，N．求证：四边形是筝形． 【性质】 （2）请结合图1，写出一条筝形具有的性质（定义除外），并给出证明． 性质： ； 证明： 【应用】 （3）如图3，在筝形中，，，对角线，相交于点O，过点D作于点M，交于点N，N为中点，连接，且．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末检测 八年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产，如图为相关图形，下列选项为从《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，，，故A正确，B，C，D错误． 3. 若分式有意义，则实数满足的条件是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 4. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可求解. 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴. 5. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．根据数形结合的思想可知，不等式的解集即为满足直线的图像位于直线图像的下方的x，然后结合两直线的交点为P即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：直线与直线相交于结合函数图像可知，当时，直线的图像位于直线图像的下方，即关于的不等式的解集为：， 故选：C． 6. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，，根据三角形内角和及等边对等角求出，可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质结合折叠推出，利用全等三角形的性质，为等边三角形，对顶角相等以及等角对等边推出，再利用勾股定理求出等边三角形的高，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 如图，过点作，垂足为，则点为的中点， ， 在中，由勾股定理得，， ，解得或（舍去）， ． 8. 利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（ ） A. 4840 B. 4820 C. 8420 D. 4480 【答案】A 【解析】 【分析】先对给定多项式用平方差公式因式分解，再代入p、q的值计算各因式的结果，将结果从小到大排序后拼接得到密码，即可选出正确选项． 【详解】解：对多项式因式分解 再对用平方差公式分解，得 将，代入各因式计算： 得到因式码为，按从小到大排序后拼接得密码． 第二部分 非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，底角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在等腰中，顶角， 则底角， 设，则， 根据三角形内角和定理得， 即， ， 解得， 即． 10. 若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则的值为______． 【答案】84 【解析】 【分析】根据长方形的面积和周长得到，，再把因式分解，最后整体代入即可求出答案． 【详解】解：一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12， ∴，， ∴ 11. 南山购物中心某种商品进价为元，标价元销售，购物中心规定可以打折销售，但利润率不能低于，则这种商品最多可以按______折销售． 【答案】7##七 【解析】 【分析】设这种商品可以按折销售，根据利润率不能低于列不等式并解不等式即可求出答案． 【详解】解：设这种商品可以按折销售，则 解得， 即这种商品最多可以按折销售． 12. 如图，在中，，，，将沿斜边平移得到，若，则重叠部分的面积为 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质．设与相交于点D，根据已知易得：，再根据平移的性质可得：，，从而可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点D， ∵，， ∴， 由平移得：，， ∴，， ∵， ∴，， ∴重叠部分的面积， 故答案为：． 13. 如图，在腰长为4的等腰中，E为边的中点，H为边的中点，F，G为斜边上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，在上取点使，连接，作点E关于的对称点，连接，证明四边形是平行四边形，得到，当点，F，D三点共线时，取得最小值，即的长度，如图，以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，连接，求出和，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，在上取点使，连接，作点E关于的对称点，连接， ∵E为边的中点，H为边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴当点，F，D三点共线时，取得最小值，即的长度， 如图，以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，连接， ∵腰长为4的等腰 ∴，，， ∵E为边的中点，H为边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴点D为的中点， ∴点D的坐标为，即， 由折叠得，，， ∴，即轴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题7分，第15题7分，第16题9分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集，随后表示在数轴上即可． 【详解】解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，原不等式组的解集为， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集略． 15. 先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分，然后因式分解后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定m的值，然后代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵从0，1，2中选一个恰当的数 ∴当时，原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； （2）将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； （3）若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）将三个顶点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点A，B绕点C顺时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）和的垂直平分线的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，和的垂直平分线交于点， ∴旋转中心的坐标是． 17. 如图，在四边形中，，对角线与相交于O，且O为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）尺规作图：作的中点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）．若，，，求的长度． 【答案】（1）证明：， ， ∵点是中点， ， 在与中， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形 （2）； 【解析】 【分析】（1）先推导出，，证明出，得到，再根据，得到四边形是平行四边形，即可解答； （2）根据尺规作图-作出线段的垂直平分线，即可；推导出是中位线，得到，再根据平行四边形的性质，得到，，，由勾股定理，求出，得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，点即为所作． ∵点是中点，点是中点，， 是中位线， ， 又∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ∴在中，由勾股定理得，， ． 18. 2026年4月23日为第三十二个“世界读书日”，某图书馆购入一批全新馆藏图书．其中采购科普类图书支出600元，文学类图书支出600元．已知科普类图书的单价为文学类图书单价的1.5倍，且科普类图书比文学类图书少10本． （1）求科普类图书与文学类图书的单价分别为多少元？ （2）上述两类图书深受学生欢迎，图书馆计划再次采购这两类图书合计300本，其中科普类图书的采购数量不低于文学类图书数量的，求费用最低的采购方案． 【答案】（1）科普类图书和文学类图书的单价分别是30元和20元． （2）当采购科普类图书120本，文学类图书180本时费用最低． 【解析】 【分析】（1）设文学类单价为未知数，用科普类单价为其倍表示，再根据“同样600元买到的科普书比文学书少10本”列出分式方程，解方程并检验后得到两种书的单价； （2）设科普类购买数量为未知数，利用总数300本表示文学类数量，并按“科普类不少于文学类的三分之二”列不等式求出最低数量限制，再写出总费用关于科普类数量的函数式，利用其一次函数增减性，在最小允许数量处取得最低费用． 【小问1详解】 解：设文学类图书的单价为元，则科普类图书的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 元， 答：科普类图书和文学类图书的单价分别是30元和20元． 【小问2详解】 解：设购进科普类图书本，则购买本文学类图书， 根据题意得：， 解得：， 设所需资金为元， 根据题意得：， ， 随着的增大而增大， ∴当时，的值最小，此时， 答：当采购科普类图书120本，文学类图书180本时费用最低． 19. 综合与实践 在数学范畴内，将形状、大小完全一致的平面图形进行拼接，使图形之间无空隙、不重叠地覆盖整个平面，该操作被定义为平面图形的密铺，也可称为平面镶嵌．在现实生活场景中，地砖铺设、墙砖铺贴、蜂巢结构等均应用了密铺原理． （1）如图1，通过观察墙砖、蜂巢密铺结构，发现正方形、正六边形都可以进行密铺．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为 °，并使相等的边重合． （2）使用若干边长相等的正三角形与正六边形完成平面密铺，若每个顶点周围共有m个正三角形、n个正六边形，求出m，n满足的关系式． （3）如图2，是运用镶嵌创造的作品，图中的基本图形是一只小“鸟”，它是对一个正方形先分割，再平移演变而成，请你在图3中，画出这个正方形． 【答案】（1）360； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除． （1）围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角即可； （2）由题意列方程，化简方程即得答案； （3）按平移补全的思路画出对应正方形即可． 【小问1详解】 密铺要求在同一公共顶点处，若干个多边形的内角恰好拼满一周，因此公共顶点处所有角的和为； 【小问2详解】 ∵正三角形每个内角的度数为60°，正六边形每个内角的度数为120°， ， ． 【小问3详解】 题目说明该“小鸟”图形是由正方形先分割，再将分割得到的部分小块向外平移演变得到的，因此，我们只需要将图形中向外突出的各个不规则小块，反向平移填补到图形内部对应的空缺位置，最终围出的四边等长、四个内角均为直角的封闭图形，就是分割前的正方形，在图形对应位置画出符合要求的正方形即可，图略． 20. 综合与探究 通过对平行四边形相关知识的学习，我们已积累了研究几何图形的经验与研究策略：一般而言，我们会从定义、性质、判定以及应用等维度开展几何图形研究，而观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等，则是我们开展此类探究时常用的方法． 【定义】 如图1，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，其中，和是筝形的对角线． 【判定】 （1）如图2，在筝形中，，，点P是对角线上一点，过点P分别作，的垂线，垂足分别为点M，N．求证：四边形是筝形． 【性质】 （2）请结合图1，写出一条筝形具有的性质（定义除外），并给出证明． 性质： ； 证明： 【应用】 （3）如图3，在筝形中，，，对角线，相交于点O，过点D作于点M，交于点N，N为中点，连接，且．若，求的长． 【答案】（1）证明：∵在筝形中，，，且， ， ， 依题意知，， ， ， ， ， ， ∴四边形是筝形； （2）性质：垂直平分（答案不唯一） 证明：，， ∴点，点在的垂直平分线上， 垂直平分； （3） 【解析】 【分析】（1）先推导出，得到，依题意知，，继而推导出，得到，则四边形是筝形，即可解答； （2）先推导出点，点在的垂直平分线上，则垂直平分，即可解答； （3）过点作于点，先推导出，K为的中点，得到是的中位线，继而推导出，求出，设，则，，根据勾股定理，得到，求出（负值已舍去），则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ， 为的中点， ， 又∵筝形中，，，对角线，相交于点， ，， 是的中位线， ， ∵点是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， ， ， 解得（负值已舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $