精品解析：吉林桦甸市第三中学2025-2026学年度第二学期质量监测八年级数学试卷

桦甸市初中2025—2026学年度第二学期质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A选项不符合题意； B选项：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C选项：中被开方数不含分母，也不含有能开得尽方的因数，是最简二次根式，故C选项符合题意； D选项：中被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各二次根式，再根据二次根式的加减乘除运算法则计算各选项，判断运算是否正确． 【详解】解：选项A：，而，故A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，等式成立，C正确； 选项D：，D错误． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. 2，5，6 D. 4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】先确定每组数中的最长边，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、最长边为，，能构成直角三角形； B、最长边为，，不能构成直角三角形； C、最长边为6，，不能构成直角三角形； D、最长边为6，，不能构成直角三角形． 4. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，▱OABC的顶点，，点是边的中点，则对角线，的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得，再证明为的中位线，结合中位线的性质求得，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，对角线，的交点为， ∴， 又∵点是边的中点， ∴，且， ∵点， ∴点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 6. 在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的第三四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【解析】 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式要求被开方数非负，同时分式要求分母不为零，结合两个条件即可求出的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得． 8. 一个多边形的内角和是外角和的两倍，则这个多边形的边数为________． 【答案】6 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为6． 9. 一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象，找到当时对应的的取值范围即可得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，x的取值范围是． 10. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则边上的高__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等知识．根据菱形的性质可求出的长，利用菱形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：如图所示， 在菱形中，对角线，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，再由平行线的性质和折叠的性质证明，得到；设点E的坐标为，则，，利用勾股定理建立方程求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设点E的坐标为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中，得，解得， ∴所在直线的解析式为． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，二次根式的运算，熟悉公式是解题的关键． 利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 13. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 答：这片绿地的面积是． 14. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，按下列要求在网格中画出图形． （1）在图①中，以格点为顶点画平行四边形，使其面积为12； （2）在图②中，以格点为顶点画一个面积为5的正方形； （3）在图③中，以格点为顶点画一个菱形，使其面积为6． 【答案】（1）如图，平行四边形即为所求； （2）如图，正方形即为所求； （3）如图，菱形即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用网格的特点画一个长为4，高为3的平行四边形即可； （2）利用勾股定理得到正方形的边长为，然后画图即可； （3）利用网格的特点画一个对角线长分别为6和2的菱形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 15. 如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）判断是的中位线，是的中位线，则，，，，因此，且，命题得证； （2）作，垂足为，判断是等腰直角三角形，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，因此，结合即可计算出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，，且， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 16. 某中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数 中位数 众数 方差 小荷组 7 6 2.6 小信组 7 （1）以上成绩统计分析表中_____，____，_____； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是___________组的学生； （3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2）小荷 （3）解：选小信组参加决赛，理由如下： 两组平均数都是7，平均数相同；方差越小成绩越稳定， ∵（小信方差更小），小信组成绩更稳定， ∴应选小信组参加决赛． 【解析】 【分析】（1）因为中位数是将数据排序后中间位置的数，小荷组有10个数据，所以取第5和第6个数据的平均值计算；将小信组所有成绩求和再除以10计算；统计小信组各成绩出现的次数，找出出现次数最多的数得到． （2）因为中游略偏上意味着成绩大于小组的中位数，所以对比7分与两组中位数的大小关系，判断小明所属小组． （3）因为方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，所以比较两组方差的大小，选择方差较小的小组． 【小问1详解】 解：∵10个数据从小到大排列后，中位数是第5、第6个数的平均数，小荷组第5、6个数都是6， ∴． ∵小信组总分为， ∴． ∵小信组中出现次数最多（共4次）， ∴众数． 【小问2详解】 解：小荷组中位数为，，符合“中游略偏上”， 小信组中位数为，等于中位数，仅为中游，不符合描述， ∴小明是小荷组的学生； 【小问3详解】 略． 17. 某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟； （2）整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟； （3）当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间． 【答案】（1），； （2）； （3）分钟或分钟或分钟． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象进行回答即可； （2）根据图象可知 至 分钟速度最快； （3）分别求出在不同时段的速度，再根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了：（分钟）； 【小问2详解】 解：当时，速度为（米/分钟）， 当时，速度为（米/分钟）， 当时，速度为， 当时，速度为（米/分钟）， ， 故整个送快递的过程中，小李的最快速度是米/分钟； 【小问3详解】 解：设小李从家出发分钟时，离派送点的距离是米， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，得， 即小李出发分钟或分钟或分钟时，离派送点的距离是米． 18. 如图，在四边形中，，点，在对角线上，，且，． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）四边形是菱形， 理由：如图， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义可得，根据平行线的性质可得，根据已知条件可得，即可证明结论； （2）根据可得，，即得，进而可得四边形是平行四边形，然后根据30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 一次函数的图象与轴交于点，且经过点． （1）求点和点的坐标； （2）直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； （3）点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1） （2） 如图所示， （3）坐标是， 【解析】 【分析】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解； （2）画出经过的直线，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴令 解得 ∴点的坐标是 ∵点在一次函数的图象上 把代入， 得， ∴， ∴点的坐标是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，当时，; ∵，， ∴， 当时， ∴符合条件的点坐标是，. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） （2）【类比学习】如图1，若，，则________； （3）【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． （4）【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【答案】（1）③④ （2） （3），证明见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求． （2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算． （3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系． （4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算． 【小问1详解】 解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：数量关系：，证明如下： 设对角线、交于点， 由勾股定理： ，， ∴； 同理，，， ∴， ∴． 【小问4详解】 解： ∵，分别是，的中点， ∴，，，且． 又∵，四边形是垂美四边形， 由（3）的结论得： ， 代入，，，得 ， 整理得， 解得（边长为正，舍去负根）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒． （1）_____．（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由． （4）在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t （2） （3）四边形是矩形，理由： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为矩形， ， 四边形是矩形． （4）存在，的值为或 【解析】 【分析】（1）因为点M的运动速度是每秒2个单位长度，运动时间为t秒，根据路程=速度×时间，所以可直接得到的表达式． （2）先根据矩形性质和已知坐标求出的相关线段长度，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到为平行四边形时与的数量关系，结合的表达式建立关于t的方程求解． （3）先根据平行四边形的性质得到边的关系，再结合矩形的边长，判断的边和角的特征，可利用矩形的判定定理分析． （4）分两种情况讨论：当点在点右侧时，，当点在点左侧时，，结合勾股定理建立关于t的方程求解． 【小问1详解】 解：∵动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动．运动时间为t秒． ∴． 【小问2详解】 四边形为矩形，， ， 点是的中点， ， 由题意得：， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 存在，分两种情况： ①当点在点右侧时，如图1所示： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ： ②当点在点左侧时，如图2所示： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ． 综上所述，的值为或时，以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形． 22. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求点C的坐标及直线的表达式； （2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； （3）在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 【答案】（1）； （2）6 （3）H的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点间距离等知识，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）将点C的坐标代入直线的解析式即可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）由题易得，，进而根据面积公式求解即可； （3）根据题意在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，则分，为对角线；，为对角线；，为对角线；三种情况分别求出H点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， 解得， ∴； 将，代入直线得，， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴，， ， ． 【小问3详解】 解：设， ∵直线的解析式为与y轴交于点B， ，， ∴， ∵在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形， ①当为对角线， ∴， 则 ∵，，， ∴ ， ∴； ②当为对角线， ∴， 则， ∵，，， ∴ ， ∴H； ③当为对角线， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴； 综上：H的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桦甸市初中2025—2026学年度第二学期质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. 2，5，6 D. 4，5，6 4. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，▱OABC的顶点，，点是边的中点，则对角线，的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的第三四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 8. 一个多边形的内角和是外角和的两倍，则这个多边形的边数为________． 9. 一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 10. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则边上的高__________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为___________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 13. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 14. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，按下列要求在网格中画出图形． （1）在图①中，以格点为顶点画平行四边形，使其面积为12； （2）在图②中，以格点为顶点画一个面积为5的正方形； （3）在图③中，以格点为顶点画一个菱形，使其面积为6． 15. 如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果，，，求的长． 16. 某中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数 中位数 众数 方差 小荷组 7 6 2.6 小信组 7 （1）以上成绩统计分析表中_____，____，_____； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是___________组的学生； （3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 17. 某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟； （2）整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟； （3）当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间． 18. 如图，在四边形中，，点，在对角线上，，且，． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并说明理由． 19. 一次函数的图象与轴交于点，且经过点． （1）求点和点的坐标； （2）直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； （3）点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 20. 小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） （2）【类比学习】如图1，若，，则________； （3）【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． （4）【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒． （1）_____．（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由． （4）在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求点C的坐标及直线的表达式； （2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； （3）在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $