精品解析：吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年下学期期末八年级数学试题

2025—2026学年度下学期长春新区吉大慧谷学校期末质量检测 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 3. 老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（ ） A. 162 B. 144 C. 136 D. 132 4. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 10. 2026年5月，我国科学家在月球背面探测中发现某种矿物质颗粒的直径约为米．将数据用科学记数法表示为______． 11. 一次函数的图像不经过第__________象限． 12. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 13. 2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 14. 如图，在中，，于点，延长于点，，交于，延长与的延长线交于点.下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分.其中正确的结论有_____________个. 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、、的三角形； （2）在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是； （3）在图③中，以格点为顶点画一个面积为12的菱形． 19. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则菱形的面积为______． 20. “健康管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚，长春新区某学校在八年级和九年级开展了“食动并行，体质并重”的健康知识竞赛，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集．整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），得到如下信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 m 86 九年级 n 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：86，86，86，86，88，89 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：66，73，76，77，77，81，82，88，88，88，89，90，90，92，92，94，96，96，98，99 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：______， ______，并补全八年级的条形统计图； （2）根据竞赛成绩，你认为该学校八年级和九年级中，哪个年级的学生对健康知识掌握的更好，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）规定90分及以上为优秀，该校八年级参加此次竞赛的学生有1000人，请你估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩为优秀的共有多少人？ 21. 长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） （2）该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 22. 甲、乙两个制作团队分别同时制作两类文创产品，制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品 件； （2）当时，求乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式； （3）请直接写出时间（天）为何值时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件． 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材中的部分内容． 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，相交于点G，求证：， 证明：连接． 23. 1. 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线、交于点O，E为边的中点，、交于点F． 24. 2. 如图②，若为正方形，且，则的长为______． 25. 3. 如图③，连接交于点G，若四边形的面积为2，则的面积为______． 26. 如图，在中，，，，点D为边的中点．动点P从点B出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连接，以、为边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长为______； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）当与的一边平行时，求t的值； （4）当点在内部时，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期长春新区吉大慧谷学校期末质量检测 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】A.  ，故A不是最简二次根式，不符合题意； B. ，故B不是最简二次根式，不符合题意； C. ，故C不是最简二次根式，不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义． 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 3. 老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（ ） A. 162 B. 144 C. 136 D. 132 【答案】B 【解析】 【详解】解：由箱线图可知，跳绳次数的上四分位数是144． 4. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加时，结合，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B、添加时，结合，能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、∵，∴，∵，∴，∴，故添加时，能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、添加时，结合，能判定四边形是平行四边形，故不符合题意． 5. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，，， ∴． 6. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图像可知，直线  和直线  的交点坐标 ．   当  时，直线  的图像在直线  的图像上方，   不等式  的解集为 ． 7. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 8. 如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由，可得，可得，即反比例函数解析式为，再验证点的坐标即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， A、当时，，则点在反比例函数的图象上，故选项符合题意； B、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； C、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； D、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为． 10. 2026年5月，我国科学家在月球背面探测中发现某种矿物质颗粒的直径约为米．将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 一次函数的图像不经过第__________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：∵2＞0，1＞0， ∴一次函数y=2x+1的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限． 故答案为：四． 【点睛】此题考查一次函数的性质，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． 12. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和周长得出相等的边，求出，利用勾股定理求出，证明是的中位线，得出，最后可求出三角形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴的周长为． 13. 2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据降低率问题的数量关系，结合两次降价后的现价即可列出对应方程． 【详解】解：设两次降价的降低率为． 第一次降价后的价格为元/克， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行降价，因此第二次降价后的价格为元/克， 已知两次降价后价格为元/克， 因此可列方程． 14. 如图，在中，，于点，延长于点，，交于，延长与的延长线交于点.下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分.其中正确的结论有_____________个. 【答案】3 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质可求；②由余角的性质和平行四边形的性质可求；③由“”可证，可得；④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则和不全等，⑤假设是的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，而没有这个条件，故⑤不正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确， 在和中，只有三个角相等，没有边相等， ∴与不全等，故④错误． 若点是的中点， ∵，， ∴， 则， ∴， ∵点不一定是的中点， 则不一定成立 则线段与互相平分，不一定成立，故⑤错误， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和行，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴分式方程的解为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、、的三角形； （2）在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是； （3）在图③中，以格点为顶点画一个面积为12的菱形． 【答案】（1）画一个三边长分别为4、、的三角形如图： （2）画出平行四边形的一条边长为3，一个角是，如图 （3）以格点为顶点画一个面积为12的菱形，如图 【解析】 【分析】（1）根据，，结合网格的特点，画出三角形三边即可； （2）利用网格的特点，先以网格线为一边，确定一个的角，再沿着网格线取一边长为，利用平行四边形对边相互平行且相等的性质即可画出图形； （3）根据菱形的面积为对角线乘积的一半，结合的正方形网格的特点，画出菱形的对角线长分别为和即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 19. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则菱形的面积为______． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，由线段垂直平分线的性质可得，，，证明，得出，从而可得，即可得证； （2）由矩形的性质可得，设，则，利用勾股定理求出，再由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 20. “健康管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚，长春新区某学校在八年级和九年级开展了“食动并行，体质并重”的健康知识竞赛，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集．整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），得到如下信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 m 86 九年级 n 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：86，86，86，86，88，89 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：66，73，76，77，77，81，82，88，88，88，89，90，90，92，92，94，96，96，98，99 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：______， ______，并补全八年级的条形统计图； （2）根据竞赛成绩，你认为该学校八年级和九年级中，哪个年级的学生对健康知识掌握的更好，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）规定90分及以上为优秀，该校八年级参加此次竞赛的学生有1000人，请你估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩为优秀的共有多少人？ 【答案】（1） ，，补全八年级的条形统计图如图： （2）九年级学生对健康知识掌握的更好，理由如下：在平均数均为的情况下，九年级的众数大于八年级的众数，故九年级学生对健康知识掌握得更好； （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得出、的值，求出八年级D组人数，即可补全条形统计图； （2）根据平均数和众数分析即可得出结果； （3）利用乘以八年级参加此次竞赛的学生中成绩为优秀的人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：八年级成绩的中位数为排序后的第10位和第11位的平均数，即； 九年级成绩中出现的次数最多，故众数， 八年级D组人数为（人）， 图略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（人）， 故估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩为优秀的共有人． 21. 长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） （2）该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】（1）， （2）每件童装应该降价元 【解析】 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 22. 甲、乙两个制作团队分别同时制作两类文创产品，制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品 件； （2）当时，求乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式； （3）请直接写出时间（天）为何值时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件． 【答案】（1） （2） （3）当或或时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得答案. （2）当时，设乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式为；结合函数图象过点、，进一步求解即可. （3）当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品（件）. 【小问2详解】 解：当时，设乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式为； 由图可知，函数图象过点、， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：∵甲每天做件， ∴， 当时，乙每天做件， ∴， ∴， 解得：， 当时，， ∴， 解得：或， ∴当或或时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件． 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材中的部分内容． 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，相交于点G，求证：， 证明：连接． 23. 1. 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线、交于点O，E为边的中点，、交于点F． 24. 2. 如图②，若为正方形，且，则的长为______． 25. 3. 如图③，连接交于点G，若四边形的面积为2，则的面积为______． 【答案】23. 证明：连接，如图①， ∵在中，D，E分别是边，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 24. 25. 【解析】 【分析】（1）证明为的中位线，得出，，从而可得，由相似三角形的性质即可得出结果 （2）由正方形的性质可得，，，证明，由相似三角形的性质得出，从而得出，求出的长即可得出结果； （3）连接，由平行四边形的性质可得，由中位线的性质可得，，证明，得出，同理可得，由和的高相同，和的高相同，得出，，结合图形求出，即可得出结果 【23题详解】 略； 【24题详解】 解：∵四边形为正方形，对角线、交于点O，E为边的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴； 【25题详解】 解：如图，连接， ∵在中，对角线、交于点O，E为边的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， 同理可得为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵和的高相同，和的高相同， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 26. 如图，在中，，，，点D为边的中点．动点P从点B出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连接，以、为边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长为______； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）当与的一边平行时，求t的值； （4）当点在内部时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）当点在上运动时，，当点在上运动时， ； （3）t的值为或 （4）或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出的长即可得解； （2）分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，结合题意，分别列出代数式即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时；根据题意分别列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （4）根据平行四边形的性质，分情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵点D为边的中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵动点P从点B出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P不与点B、C重合， ∴当点在上运动时，，则， 当点在上运动时，，则； 【小问3详解】 解：当时，取的中点，连接， ∵点D为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当时，取的中点，连接， ∵点D为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵点本身就在边上，如果，那么和重合，点也会落在边上，这与题干相矛盾，故不符合题意； 综上所述，t的值为或； 【小问4详解】 解：∵平行四边形的对边互相平行， ∴当时，点始终落在外部， 由（2）可得，当时，点为的中点，此时点恰好为的中点， 当时，由平行四边形的性质可得，此时点落在内部，如图所示； 当点刚走到点时，即时，点刚好和点重合，之后点往点运动，点逐渐进入内部， 当时，即时，点刚好落在边上，超过之后，点落在外部， 综上所述，当点在内部时，t的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $