精品解析：广东梅州市兴宁市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

202��−��������学年度第二学期八年级期末质量监测试卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 【详解】A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、分母为，含字母，符合分式定义，选项正确； B、，分母为常数2，不含字母，不是分式，选项错误； C、，分母为圆周率（常数），不含字母，不是分式，选项错误； D、，分母为常数3，不含字母，不是分式，选项错误； 故选：A． 3. 下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】A. ∵，∴当m>0时，，故该选项不一定成立，不符合题意； B. ∵，∴当时，，故该选项不一定成立，不符合题意； C. ∵，，∴不一定成立，例如：3>-4，-1>-2，3×（-1）<（-4）×（-2），故该选项不一定成立，不符合题意； D. ∵，∴，∴，故该选项一定成立，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D. ，属于因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠BAD的度数为（ ） A. 55° B. 65° C. 75° D. 85° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，可得∠ADB=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案． 【详解】∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∵∠B＝25°， ∴∠BAD=90°-∠B=65°， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，等腰三角形底边中线、底边上的高、顶角的角平分线“三线合一”，熟练掌握相关性质是解题关键． 6. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组要先求出两个不等式的解集，然后依据解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，确定不等式组解集，在数轴上表示；注意带有等号的数在数轴上用实心表示，没有等号用空心圈表示，即可得出选项． 【详解】解：， 解得， 解得， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 7. 如图，的对角线相交于点，是的中点，，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 19 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，求出的长是解题的关键．根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可得，，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ，点E为边的中点， ，， ． 故选：D． 8. 如图， 在中， 以点A为圆心，的长为半径作弧， 与交于点E，分别以点E和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线交于点D． 若，， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，求出，推出，再利用三角形的外角的性质求出． 【详解】解：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 若关于x的分式方程无解，则实数a的值为（ ） A. 7 B. 3或7 C. 3或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原分式方程去分母化解为整式方程，然后整理为，则时，分式方程无解；当分式方程的分母为，即时原分式方程也无解，分别计算得出实数a的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理为：， 当时，即时，此方程无解，原分式方程也无解； 当，即， 将代入， 解得：， 或， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，分整式方程无解和整式方程有解但分式方程的增根两种情况进行讨论是解决问题的关键． 10. 如图，在中，，，点是外一点，垂直平分于，交于点，垂直平分于，交于点，连接、．则以下各说法：①；②；③；④点到点和点的距离相等．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形（四边形）内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据四边形的内角和定理可判定结论①；根据垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质可判定结论②；根据可判定结论③；如图所示，连接，根据垂直平分线的性质可判定结论④，由此即可求解． 【详解】解：在四边形中， ∵垂直平分于，垂直平分于， ∴，且， ∴， 故结论①正确； ∵在中，， ∴， ∵垂直平分于，垂直平分于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故结论②正确； 在中，，， ∴不是等腰三角形，即， ∴， ∴与的大小关系无法确定， ∴的大小关系也无法确定， 故结论③无法判定； 如图所示，连接， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， 故结论④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 当______时，分式无意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ 故答案为：． 12. 如图，将直角三角形，沿方向平移得到三角形，已知，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】39 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质推出阴影部分的面积等于梯形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积等于梯形的面积； 故答案为：39 13. 如图，线段是一个正多边形的三条边，分别延长交于点M，若，则这个正多边形是______． 【答案】正八边形 【解析】 【分析】根据正多边形的性质可知其外角相等，结合三角形内角和定理求出外角度数，再利用多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解： 线段，，是一个正多边形的三条边，   该正多边形的每个外角都相等，  ，  ，   在中，，  该正多边形的边数为，   这个正多边形是正八边形． 14. 已知关于的不等式组有且只有个负整数解，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据“只有1个负整数解”的条件确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且只有个负整数解， ∴原不等式组的负整数解为， ∴． 15. 如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，；证明，得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； ∵，是的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 三、解答题（一）（本大题共3小题，共21分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键．先提取公因式，再根据平方差公式因式分解，即得答案． 【详解】解： ． 17. 先化简再求值：，其中是从1、2、3中选取一个合适的数． 【答案】，当时，原式 【解析】 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，， ∴， 此时，原式． 18. 如图，在四边形中，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足，．求证： （1）． （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）可证得，由此得到对应边，进一步证得； （2）由（1）可知，，由此得到，，再利用内错角相等，两直线平行可知，，从而证得四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题二（本大题共3小题，共27分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． （1）求点B的坐标及k的值； （2）求直线、直线与y轴所围成的的面积； （3）根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）对于，计算自变量为﹣2时的函数值可得到B点坐标，然后把B点坐标代入可得到k的值； （2）先确定两直线与y轴的交点A、C的坐标，然后利用三角形面积公式求解； （3）观察函数图像，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：（1）当时，，则． 把代入得， 解得； 【小问2详解】 解：当时，，则； 当时，，则； 所以， 所以； 【小问3详解】 解：， 因为与交于点，根据图像可知： 当时， 解集为：． 【点睛】本题考查了一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系等知识．掌握一次函数的交点的求法和懂得通过函数图像确定不等式的解集是解题的关键． 20. 如图所示，P是等边内的一点，连接，，，将绕B点顺时针旋转得，连接，当时，请猜想出，，三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 ； 证明：由绕点B顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， 在中， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理；可证是等边三角形，从而可得，再由，即可得证；能根据性质证出是解题的关键． 【详解】略 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点E，使． 【答案】（1） 解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2） 解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（本大题共2小题，共27分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22. 为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌温度枪的单价． （2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ （3）在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； （2）该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种个，乙种个；方案二：购买甲种个，乙种个； （3）购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【解析】 【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，根据用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍列方程即可得到答案； （2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即可得到答案； （3）根据（2）代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； 【小问2详解】 解：由题意可得， 且m为整数， 解得：，且m为整数， ∴m为：或， ∴该校共有两种购买方案， 方案一：购买甲种个，乙种个； 方案二：购买甲种个，乙种个； 【小问3详解】 解：由（2）得， 方案一费用为：（元）， 方案二费用为： （元）， ∵， ∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式． 23. 根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动． 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形． 素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【答案】（1） （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （3） （4）与的面积比是定值． 理由：作于M，交延长线于N，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与的面积比是定值． 【解析】 【分析】（1）在中，利用直角三角形的性质求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得，即可由求解； （2）根据平行四边形的判定定理解答即可； （3）过点O作于点H，交于点G，利用，求得，利用，求得，从而求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． （4）作于M，交延长线于N，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出，从而得出结论． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵(已知)，(已知)， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）过点O作于点H，交于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． （4）略． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，本题是三角形综合题目，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 202��−��������学年度第二学期八年级期末质量监测试卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 2. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠BAD的度数为（ ） A. 55° B. 65° C. 75° D. 85° 6. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的对角线相交于点，是的中点，，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 19 D. 28 8. 如图， 在中， 以点A为圆心，的长为半径作弧， 与交于点E，分别以点E和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线交于点D． 若，， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程无解，则实数a的值为（ ） A. 7 B. 3或7 C. 3或 D. 10. 如图，在中，，，点是外一点，垂直平分于，交于点，垂直平分于，交于点，连接、．则以下各说法：①；②；③；④点到点和点的距离相等．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 当______时，分式无意义． 12. 如图，将直角三角形，沿方向平移得到三角形，已知，，，则阴影部分的面积为________． 13. 如图，线段是一个正多边形的三条边，分别延长交于点M，若，则这个正多边形是______． 14. 已知关于的不等式组有且只有个负整数解，则的取值范围是_________． 15. 如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 三、解答题（一）（本大题共3小题，共21分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 因式分解：． 17. 先化简再求值：，其中是从1、2、3中选取一个合适的数． 18. 如图，在四边形中，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足，．求证： （1）． （2）四边形是平行四边形． 四、解答题二（本大题共3小题，共27分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． （1）求点B的坐标及k的值； （2）求直线、直线与y轴所围成的的面积； （3）根据图像直接写出不等式的解集． 20. 如图所示，P是等边内的一点，连接，，，将绕B点顺时针旋转得，连接，当时，请猜想出，，三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点E，使． 五、解答题（三）（本大题共2小题，共27分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22. 为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌温度枪的单价． （2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ （3）在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 23. 根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动． 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形． 素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $