精品解析：广东省梅州市兴宁市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024－2025学年度第二学期八年级期末质量监测试卷 数学 说明：本试卷共4页，23小题，满分为120分，答卷时间为120分钟． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施．以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（　　） A. （﹣2，6） B. （1，3） C. （1，6） D. （﹣5，3） 4. 分式有意义，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个实数a，b，他们在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 将x克蔗糖完全溶于y克水配制成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（ ） A. 不改变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 8. 如图，在的网格纸中，的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，旋转后得到，则旋转中心是（ ） A. 点P B. 点 C. 点Q D. 点R 9. 如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（  ） A. B. C. D. 10. 如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：=______． 12. 如图是某树叶在显微镜下的细胞图片，一个细胞可近似看成如图多边形，则该多边形的内角和是______°． 13. 已知，，则的值为______． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为____cm. 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝_____． 三、解答题（共75） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：求作的垂直平分线，分别交于点D和E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求的度数． 18. 如图，在内，点P是射线上一点，点C、D分别在、上，给出下列三个信息，①是的平分线；②，；③．请选择其中两个作为条件，第三个作为结论构成一个真命题． （1）条件______，结论______．（填序号） （2）请对（1）所写的命题加以证明． 19. 阅读材料： 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； 类比应用： （1）因式分解：； （2）已知三角形的三边长分别是a，b，c且满足：，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 20. 如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． （1）若，求的长； （2）求证：四边形是平行四边形． 21. 人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利．某快递公司计划购进A，B两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍． （1）A，B两种型号分拣机器人的单价各是多少? （2）若该快递公司购进A，B两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天能分拣0.8 万个包裹，每个B种型号快递分拣机器人每天能分拣1.2万个包裹，若该快递公司每天至少要分拣44万个包裹，求最多购进A 种型号分拣机器人多少个? 22. 综合与实践 综合与实践课上，老师设计“家庭用电成本”为主题的综合实践活动． 素材一：入夏以来，为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，8：00到22：00是峰时时间，22：00到次日8：00为谷时时间． 素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式： 分时电表 普通电表 峰时（8：00到22：00） 谷时（22：00到次日8：00） 电价0.55元/度 电价0.6元/度 电价0.4元/度 素材三： 小明家 4月 5月 6月 备注 时刻 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表，实施分时电表计价 用电量（度） 250 50 250 100 320 100 小红家 4月 5月 6月 备注 用电量（度） 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价 任务一： （1）小明家4月份电费为______元，6月份电费为______元； （2）小红家4月份电费为______元，6月份电费为______元． 任务二： （1）某家庭某月用电量a度（a为常数），其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为元，用普通电表计价时总价为元．分别求出、与用电量之间的关系式； （2）通过计算判断，当为何值时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样． 任务三： 根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能（填“大”或“小”），请给使用分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费． 23. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①________°； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期八年级期末质量监测试卷 数学 说明：本试卷共4页，23小题，满分为120分，答卷时间为120分钟． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施．以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形关于某条直线对称，中心对称图形绕某点旋转后重合．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列选项中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义，可得答案． 【详解】解：是分式，，，是整式； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母． 3. 在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（　　） A. （﹣2，6） B. （1，3） C. （1，6） D. （﹣5，3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律，让点P的横坐标加3，纵坐标不变即可． 【详解】平移后点P的横坐标为﹣2+3＝1，纵坐标不变为3 所以点P（－2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3） 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移变换是中考的常考点，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 4. 分式有意义，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ 故选：B． 5. 下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的概念，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式. 【详解】解：A. 原式不是多项式，因而不是因式分解，故该选项不符合题意； B. ，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； C. ，是因式分解，故该选项符合题意； D. ，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，，故该选项不符合题意． 故选：C． 6. 已知两个实数a，b，他们在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答． 【详解】解：由图可知，， A、∵， ∴ 故本选项不符合题意； B、∵， ∴， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴， 故本项不符合题意； D、∵， ∴， 故本项符合题意． 故选：D． 7. 将x克蔗糖完全溶于y克水配制成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（ ） A. 不改变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质，先根据题意将原式变为，再约分得出答案． 【详解】根据题意，得， 所以浓度不变． 故选：A． 8. 如图，在的网格纸中，的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，旋转后得到，则旋转中心是（ ） A. 点P B. 点 C. 点Q D. 点R 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是旋转中心的确定，根据旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等可得答案. 【详解】解：如图，连接 ∴的交点即为旋转中心； 故选C 9. 如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可以直接判断本题的答案． 【详解】解：结合图象，当时， 函数在函数的下方， 即不等式的解集是； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线在另一条直线（或者x轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合；这是数形结合的典型考查． 10. 如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A． 【详解】解：过点D作DE⊥BC， ∵平行四边形ABCD中，AD=DC， ∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC， ∴当点P在边AD上运动时，y的值不变， ∴AD=a，即菱形的边长是a， ∴a•DE＝2a，即DE=4． 当点P在DB上运动时，y逐渐减小， ∴DB=5， ∴BE=， 在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4， ∴a2=42+（a-3）2，解得a=， 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，根据图象分析得出a的值是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图是某树叶在显微镜下的细胞图片，一个细胞可近似看成如图多边形，则该多边形的内角和是______°． 【答案】720 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由题可知，多边形为六边形， 故内角和． 故答案为：． 13. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查代数式求值，公式法因式分解，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， 当，时，原式． 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为____cm. 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知AO=OC，OD=OB，据此求出AO、DO的长，利用勾股定理求出AD的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm， ∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm， ∵∠ODA=90°， ∴在Rt△ADO中，由勾股定理可知，（cm）． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝_____． 【答案】． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠GCE＝∠B＝60°，证出EF⊥DG，由含30°角的直角三角形的性质得出CG＝CE＝1，求出EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝4，由勾股定理求出DE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD， ∴∠GCE＝∠B＝60°， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE＝2， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥DG， ∴∠G＝90°， ∴CG＝CE＝1， ∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4， ∴DE＝； 故答案为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出CG是解决问题的关键． 三、解答题（共75） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：求作的垂直平分线，分别交于点D和E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． （1）根据是的垂直平分线，即可求作； （2）根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求的度数． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：在中， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在内，点P是射线上一点，点C、D分别在、上，给出下列三个信息，①是的平分线；②，；③．请选择其中两个作为条件，第三个作为结论构成一个真命题． （1）条件______，结论______．（填序号） （2）请对（1）所写的命题加以证明． 【答案】（1）①②；③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质，（1）根据角平分线的性质可得，证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的性质可得，证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：条件为①②，结论为③，证明如下： ∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故答案为：①②，③． 【小问2详解】 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 19. 阅读材料： 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； 类比应用： （1）因式分解：； （2）已知三角形的三边长分别是a，b，c且满足：，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）等腰三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，再利用完全平方公式和提公因式法分解得到，根据三角形的三边关系求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：这个三角形为等腰三角形，理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是三角形的三边长 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴这个三角形为等腰三角形． 20. 如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． （1）若，求的长； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设，则，然后根据勾股定理求出x的值即可求解； （2）由等边三角形的性质得出，，得出，然后证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设 在中，，， ∴ ∴ ∴ 解得，（舍去） ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ 【小问2详解】 ∵是等边三角形 ∴， ∵点F是线段AD的中点 ∴ 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． 21. 人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利．某快递公司计划购进A，B两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍． （1）A，B两种型号分拣机器人的单价各是多少? （2）若该快递公司购进A，B两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天能分拣0.8 万个包裹，每个B种型号快递分拣机器人每天能分拣1.2万个包裹，若该快递公司每天至少要分拣44万个包裹，求最多购进A 种型号分拣机器人多少个? 【答案】（1）型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元 （2）最多购进型号分拣机器人个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元，根据“用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍”列出方程并解答； （2）设购进型号分拣机器人个，则购进型号分拣机器人个，根据“快递公司每天至少要分拣万个包裹”列出不等式并解答． 【小问1详解】 设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元； 【小问2详解】 设购进型号分拣机器人个，则购进B型号分拣机器人个, 由题意，得，解得： 答：最多购进型号分拣机器人个． 22. 综合与实践 综合与实践课上，老师设计“家庭用电成本”为主题的综合实践活动． 素材一：入夏以来，为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，8：00到22：00是峰时时间，22：00到次日8：00为谷时时间． 素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式： 分时电表 普通电表 峰时（8：00到22：00） 谷时（22：00到次日8：00） 电价0.55元/度 电价0.6元/度 电价0.4元/度 素材三： 小明家 4月 5月 6月 备注 时刻 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表，实施分时电表计价 用电量（度） 250 50 250 100 320 100 小红家 4月 5月 6月 备注 用电量（度） 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价 任务一： （1）小明家4月份电费为______元，6月份电费为______元； （2）小红家4月份电费为______元，6月份电费为______元． 任务二： （1）某家庭某月用电量a度（a为常数），其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为元，用普通电表计价时总价为元．分别求出、与用电量之间的关系式； （2）通过计算判断，当为何值时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样． 任务三： 根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能（填“大”或“小”），请给使用分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费． 【答案】任务一：（1）170；232；（2）154；231；任务二：（1）；；（2）当时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样；任务三：答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 任务一： （1）（2）根据素材三即可求解； 任务二： （1）根据素材三即可建立函数解析式； （2）当时，建立一元一次方程，求解即可； 任务三：当，解得：，故的值尽可能小，建议：为了节省电费，使用分时电表的家庭可以减少峰时使用电器时间，这样才能更节省电费（答案合理即可） 【详解】解：任务一： （1）， （2），； 任务二：（1）； （2）当时， 解得： ∴当时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样 任务三：当，解得： ∴的值尽可能小，建议：为了节省电费，使用分时电表的家庭可以减少峰时使用电器时间，这样才能更节省电费（答案合理即可） 23. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①________°； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质利用证明即可解题； （2）①证明，得到，然后利用角的和差和三角形的内角和定理解题即可；②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）在上找一点，使得，连接，证明，即可得到，然后利用勾股定理得到长，再根据解题即可． 【详解】解：（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； （2）①同理可证， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②，理由为： 过点C作，于点M，N， ∵，， ∴ ∴， ∴， 在上截取，连接， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $