精品解析：2022年江苏省镇江实验学校魅力之城分校 九年级数学学科适应性填涂训练

九年级数学学科适应性填涂训练 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、填空题（本大题共有12小题） 1. 的绝对值是______． 2. 计算：____________． 3. 因式分解：____________． 4. 一组数据2，3，1，3，5的中位数是_____． 5. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 7. 如图，直线，的顶点在直线上，．若，则____________． 8. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则____． 9. 已知满足，则的值为____________． 10. 如图，从点向引两条切线，，切点为，，作直径，连接，若，，则__________． 11. 已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 12. 如图，在中，，是线段上的一个动点，以为直径的分别交、于点、，则线段长度的最小值是____________． 二、选择题（本大题共6小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 13. 一种微粒的半径是0.000014米，这个数0.000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不相同的几何体是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 15. 一个三角形的两边长为3和6,第三边边长是方程(x-2)(x-4)=0的根，则这个三角形的周长为 ( ) A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 11和13 16. 有长度分别是的四条线段，任取其中的3条，恰好能构成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 0 17. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和2 ④当时，x的取值范围是或 其中正确的是（ ）． A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ③④ 18. 如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 三、解答题（本大题共有10小题．解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算及化简 （1）计算： （2）化简： 20. （1）解方程：； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 高尔基说：“书籍是青年人不可分离的生活伴侣和导师”，可见阅读对人成长的影响是巨大的，因此联合国教科文组织把每年的4月23日确定为“世界读书日”．某校为了了解该校学生对课外书籍的喜爱情况，在全校范围内随机对部分学生进行了问卷调查，根据调查的结果，绘制了如下不完整的统计图： 请你根据以上信息解答下列问题： （1）被抽查的学生有____________人，动漫类所占的扇形圆心角是____________度； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有3600名学生，请你估计这个学校喜爱阅读动漫类课外书籍的学生人数是多少？ 22. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． （1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？ （2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率． （3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由． 23. 如图,在中,点、是对角线上两点,且. (1)求证:四边形是平行四边形. (2)若.,且,求的面积. 24. 如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°． （1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）； （2）若（1）中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号） 25. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点D，且反比例函数交BC于点E，． （1）求D点的坐标及反比例函数的关系式； （2）若矩形的面积是24，求出的面积． （3）直接写出当时，的取值范围． 26. 如图，已知点在的边上，，的平分线交于点，且在以为直径的上． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，过点作，点是上一动点，则的最小值为____________． 27. 在矩形中，，点、分别在和上，，点是边上的动点．连接、，以、为边作，连接和． （1）请问对角线的长能否相等，为什么？ （2）当点在上运动变化时，请问点到的距离是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变化，请求出此距离的大小； （3）连接和，能否构成钝角三角形，如果能，请求出长的变化范围；如果不能，请说明理由． 28. 如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ （3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科适应性填涂训练 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、填空题（本大题共有12小题） 1. 的绝对值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，根据绝对值的含义求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故答案为： 2. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 3. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 4. 一组数据2，3，1，3，5的中位数是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：一组数据2，3，1，3，5从大到小排列为：1，2，3，3，5， 排在中间的数为第三位为3， 故中位数为3， 故答案为：3． 5. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式的性质，二次根式有意义要求被开方数为非负数，因此可得：， 解不等式得：． 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据方程有实数根，得出，建立关于的不等式，求出的取值范围即可． 【分析】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 7. 如图，直线，的顶点在直线上，．若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质，三角形内角和，直角三角形的性质，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， 8. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．证明，利用全等的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 则四边形的周长， ∴， 故答案为：8． 9. 已知满足，则的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】把已知等式两边同时乘以得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，从点向引两条切线，，切点为，，作直径，连接，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据是切线，，判断出是正三角形，根据 ，判断出，进而得出，再利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，连接， ， ，是的切线， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 是的直径， ， ， 设，则， ， ， ， 即的长度为． 【点睛】本题主要考查的是切线长定理、等边三角形的性质和判定、勾股定理，掌握本题的辅助线作法是解题的关键． 11. 已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 12. 如图，在中，，是线段上的一个动点，以为直径的分别交、于点、，则线段长度的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由题意当时，最小，故的半径最小，求出，是定值，连接，由圆周角定理得，过点作，求出，故可求出的最小值． 【详解】解：当时，最小，直径最短，即的半径最小，如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 连接，则， 过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以，线段长度的最小值是． 二、选择题（本大题共6小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 13. 一种微粒的半径是0.000014米，这个数0.000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不相同的几何体是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【详解】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，分别得到每个几何体的三视图，进而得到答案： 正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形； 圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆； 圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆； 球主视图、左视图、俯视图都是圆． ∴三视图有两个相同，而另一个不相同的几何体是圆柱和圆锥．故选B． 15. 一个三角形的两边长为3和6,第三边边长是方程(x-2)(x-4)=0的根，则这个三角形的周长为 ( ) A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 11和13 【答案】B 【解析】 【分析】求出一元二次方程的解，与三角形的另外两边比较,找到第三条边,求出三角形的周长. 【详解】∵，∴x1＝2,x2＝4,则当时,2 ＋3 ＜6,不能构成三角形; 当时,4＋3＞ 6，则三角形的周长是3＋4＋6＝13,所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟悉一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键. 16. 有长度分别是的四条线段，任取其中的3条，恰好能构成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先列出任取3条线段的所有等可能结果，再根据三角形三边关系找出能构成三角形的结果数，最后根据概率公式计算概率。 【详解】解：∵从长度为四条线段中任取3条，共有4种等可能的结果，分别为： 根据三角形任意两边之和大于第三边判断，只有这一组满足三边关系，符合条件的结果共1种. ∴恰好能构成三角形的概率是． 17. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和2 ④当时，x的取值范围是或 其中正确的是（ ）． A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，故②错误； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③正确； 当时，，由函数图像解得或，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质． 18. 如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设以为直径的半圆的圆心为点O，连接，可求出，则，进而可证明；作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接，可证明，证明，得到，则，根据，可得当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 【详解】解：如图所示，设以为直径的半圆的圆心为点O，连接， ∵是弧的中点，是半圆的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 如图所示，作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 三、解答题（本大题共有10小题．解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算及化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、绝对值、零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得: （2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后可得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），； （2）， 数轴表示如下： ． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关求解方法． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项x的系数化为1可求出答案，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1） 去分母得， ∴或 解得，； 检验：将，分别代入， ∴原方程的解为，； （2） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得，． 21. 高尔基说：“书籍是青年人不可分离的生活伴侣和导师”，可见阅读对人成长的影响是巨大的，因此联合国教科文组织把每年的4月23日确定为“世界读书日”．某校为了了解该校学生对课外书籍的喜爱情况，在全校范围内随机对部分学生进行了问卷调查，根据调查的结果，绘制了如下不完整的统计图： 请你根据以上信息解答下列问题： （1）被抽查的学生有____________人，动漫类所占的扇形圆心角是____________度； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有3600名学生，请你估计这个学校喜爱阅读动漫类课外书籍的学生人数是多少？ 【答案】（1）100；90 （2） （3）900人 【解析】 【分析】（1）用文学类的人数除以文学类的占比可得被抽查的学生数，求出其他类人数和动漫类人数，及动漫类人数的占比，再乘以即可得动漫类所占的扇形圆心角度数； （2）根据（1）补全条形统计图即可； （3）根据样本估计总体可得结论． 【小问1详解】 解：被抽查的学生：（人）， 其他类人数：（人）， 动漫类人数：（人） 动漫类所占的扇形圆心角度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：估计这个学校喜爱阅读动漫类课外书籍的学生人数：（人）， 答：估计这个学校喜爱阅读动漫类课外书籍的学生共900人． 22. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． （1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？ （2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率． （3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由． 【答案】（1）（2）（3）这种游戏方案设计对甲、乙双方公平 【解析】 【详解】解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4， ∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：． （2）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况， ∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：． （3）∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（3，4），（4，3）共6种情况， ∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．∴P（甲胜）=P（乙胜）． ∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平． （1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案． （2）首先画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率公式即可求得答案． （3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论． 23. 如图,在中,点、是对角线上两点,且. (1)求证:四边形是平行四边形. (2)若.,且,求的面积. 【答案】（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，OA=OC， ∵AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， ∴OE=OF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）12 【解析】 【分析】（1）先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，即可得出结论． （2）由AE=CF，OE=OF，EF=2AE=2，得出AE=CF=OE=OF=1，AC=4，CE=3，证出△BCE是等腰直角三角形，得出BE=CE=3，得出▱ABCD的面积=2△ABC的面积=2××AC×BE，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵AE=CF，OE=OF，EF=2AE=2， ∴AE=CF=OE=OF=1， ∴AC=4，CE=3， ∵∠ACB=45°，BE⊥AC， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE=CE=3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD的面积=2△ABC的面积=2××AC×BE=4×3=12． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 24. 如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°． （1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）； （2）若（1）中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号） 【答案】（1）2米（2）（2＋2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，可得△ABC是等腰直角三角形，即可得出BC的长； （2）根据主臂伸展角∠MAB和伸展臂伸展角∠ABC的范围求出伸展到最远时AC的长度即可得出结果． 【详解】解：（1）如图： 由题意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m， ∴BC＝AB•sin45°＝4×＝2（m）， 答：伸展臂BC的长为2米； （2）如图： 由题意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D， 在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m， ∴AD＝AB•cos30°＝4×＝2（m）， ∵∠MAB＝30°，BD⊥MN， ∴∠ABD＝60°， ∵∠ABC＝105°， ∴∠CBD＝45°， 在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝2m， ∴CD＝BC•cos45°＝2×＝2（m）， ∴AC＝CD＋AD＝2＋2， ∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2＋2）米的土石． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确解直角三角形是解题的关键． 25. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点D，且反比例函数交BC于点E，． （1）求D点的坐标及反比例函数的关系式； （2）若矩形的面积是24，求出的面积． （3）直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）点D的坐标为，反比例函数的关系式为； （2）； （3）当时，的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据AD=3，得到点D的纵坐标为3，代入，解之，求得点D的坐标，再代入，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式； （2）根据矩形的面积是24，结合AD=3，求得线段AB，线段CD的长度，得到点B，点C的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点E的坐标，根据=CE×CD，代入求值即可得到答案； （3）根据图象，结合D的坐标即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意得：点D的纵坐标为3， 把代入得：，解得：， 即点D的坐标为：，把代入得：， 解得：，即反比例函数的关系式为：； 【小问2详解】 解：设线段AB，线段CD的长度为m， 根据题意得：， 解得， 即点B，点C的横坐标为：， 把代入得：， ∴点E的坐标为：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点D的坐标为：， ∴观察图象可得，当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：（1）正确掌握代入法和待定系数法，（2）正确掌握矩形和三角形的面积公式，（3）数形结合． 26. 如图，已知点在的边上，，的平分线交于点，且在以为直径的上． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，过点作，点是上一动点，则的最小值为____________． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的切线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形等边对等角结合角平分线性质得出，证得，再由推出，依据切线判定定理即可证明是的切线； （2）先在中通过边长计算正切值，得出，再结合角平分线性质得出，借助直角三角形的边角关系得到与半径的关系，最后结合总长求出半径，即可求出的长度； （3）在上截取，构造相似三角形，即可将转化为，再根据两点之间线段最短得最小值为线段的长度，用勾股定理计算的长度，即为所求最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： 如图，在上截取，连接、、， 由（2）可知：半径，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴的最小值为 27. 在矩形中，，点、分别在和上，，点是边上的动点．连接、，以、为边作，连接和． （1）请问对角线的长能否相等，为什么？ （2）当点在上运动变化时，请问点到的距离是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变化，请求出此距离的大小； （3）连接和，能否构成钝角三角形，如果能，请求出长的变化范围；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）解：对角线与不能相等，理由如下： 要使，则平行四边形为矩形， ∴， 设，则， 在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴方程无实数根， ∴对角线与不能相等； （2）点到的距离不变，4 （3） 【解析】 【分析】（1）要使，则平行四边形为矩形，设，则，证明，得，代入得，整理得，即可判断； （2）作，垂足分别为，根据三角形中位线定理得出为定值，故可得出点到的距离为4； （3）以为直径作半圆，可得点在上运动，设半圆与交于点，则当点在之间运动时（内部）为钝角，分别求出和,故可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：作，垂足分别为， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴点是的中点 ， ∴是的中位线， ∴； 连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴点到的距离为12， ∴点到的距离为； 【小问3详解】 解：能为钝角三角形时（即为钝角时）取值范围为：； 如图：以为直径作半圆， 由第（2）问知点在上运动， 设半圆与交于点，延长交半圆于点，连接， 则， ∴ ∴当点在之间运动时（内部）为钝角， 当点与重合时，如图 在中，， ∵ ∴， ∴， 根据题意得四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴, 同理当与重合时，可得 ∴取值范围为： 28. 如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ （3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点D的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $