2026年江苏省宿迁市中考数学模拟试卷

**基本信息** 2026年宿迁中考数学模拟卷以“月壤砖”“哪吒夜叉问题”等科技文化情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率，融合抽象能力、推理意识与模型观念，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数、整式运算、科学记数法|结合春假游客数据考科学记数法，体现数据意识| |填空题|10/30|因式分解、等腰三角形、圆锥侧面积|正八边形与正五边形摆放求角度，考查空间观念| |解答题|10/96|统计、概率、圆的切线、二次函数综合|27题几何探究（定值与最值），28题二次函数与正方形存在性问题，发展创新意识与推理能力|

2026年江苏省宿迁市中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）实数4的相反数是（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a6÷a2＝a3 B．6a4﹣a4＝5 C．a4•a4＝a8 D．（a2）4＝a6 3．（3分）为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，2026年春假期间宿迁市共接待游客1538700人次．数据1538700用科学记数法表示为（　　） A．15.387×105 B．0.15387×107 C．1.5387×106 D．1.5387×107 4．（3分）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，94，95，95．这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 6．（3分）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在点B处发生折射，沿BC方向射入水中．如果∠1＝80°，那么光的传播方向改变了（　　） A．100° B．80° C．41° D．39° 7．（3分）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，则根据条件所列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，点A、B是反比例函数图象上的两点，连结AO并延长交反比例函数图象的另一支于点D，过点D作∠CAO的角平分线的垂线，若点B是线段AC的中点且S△ABE＝6，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 10．（3分）因式分解x2y﹣2xy2+y3＝　 　 ． 11．（3分）等腰三角形两边长分别为5，2，则它的周长是 　 　 ． 12．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝　 　 ． 13．（3分）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是 　 　 cm2． 14．（3分）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2　 　 ． 15．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝　 　 ． 16．（3分）将正八边形与正五边形如图摆放，其中点O为公共顶点，边AB，则∠BOC的度数为　 　 ． 17．（3分）如图，△OA1A2，△OA2A3，△OA3A4…都是等腰直角三角形，点A1（﹣1，0），A2（﹣1，1），A3（0，2）…，按图中规律，A2026的坐标是　 　 ． 18．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是射线BC上的一个动点，点F为AE上的一个动点，且满足∠AED＝∠ADF，则CF的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（． 20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝ 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点． （1）尺规作图：作∠AEC的平分线EF，与AD交于点F，连接CF． （2）求证：四边形AECF是菱形． 22．（10分）某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，请根据图中的信息解答下列问题： （1）该校九年级接受调查的人数为　 　 ，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数为　 　 ． （3）若该校九年级有800名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． 23．（8分）某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》《红岩》《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读 （1）小文诵读《长征》的概率是 　 　 ； （2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率． 24．（10分）如图，汽车在转弯时，两个前轮（转向轮），因此两个前轮转动的角度不相同，两个前轮转动角度的差（即∠α﹣∠β），B作两个前轮所在直线的垂线交于点E，经过实验研究当点E恰好落在后轮轴所在直线DC上，轴距（线段AD的长）为2.8米（∠AEB）约为12°，此时∠AED＝30°，请求出该款轿车的车身宽（线段CD的长）为多少米？（结果保留一位小数）（参考数据：） 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，OP∥AC，且∠OBP＝90° （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长． 26．（10分）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元 （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元； （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 27．（12分）如图①，∠AOB＝90°，点C为OA上一点，D是OB边上的动点，∠DCE＝90°，连接OE，求OE的最大值． 【定值探究】如图②，小明过点C作CF∥OB，过点E作EF∥CD，连结ED、FD，将CD•CE＝24转化为S△CED＝＝12，再利用S△CED＝S△CFD，通过面积计算，从而确定CF为定值，请结合上述探究过程； 【最值探究】再由∠CEF＝90°，可以确定点E的轨迹，试求OE的最大值； 【问题拓展】如图，∠AOB＝60°，C为AO上一点，D是BO边上的动点，∠DCE＝90°，直接写出OE的最大值＝　 　 ． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； （3）M，N是抛物线上的两个动点，分别过点M，垂足分别为G，H．是否存在点M，N，N，G，H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长，说明理由． 2026年江苏省宿迁市中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）实数4的相反数是（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：4的相反数是﹣4． 故选：A． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a6÷a2＝a3 B．6a4﹣a4＝5 C．a4•a4＝a8 D．（a2）4＝a6 【分析】根据同底数幂的除法运算法则判断选项A；根据合并同类项法则判断选项B；根据同底数幂的乘法运算法则判断选项C；根据幂的乘方运算法则判断选项D即可． 【解答】解：A．a6÷a2＝a2，故选项A错误； B.6a4﹣a3＝5a4，故选项B错误； C．a3•a4＝a8，故选项C正确； D．（a6）4＝a8，故选项D错误． 故选：C． 3．（3分）为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，2026年春假期间宿迁市共接待游客1538700人次．数据1538700用科学记数法表示为（　　） A．15.387×105 B．0.15387×107 C．1.5387×106 D．1.5387×107 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1538700＝1.5387×106． 故选：C． 4．（3分）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：根据几何体的特点可得：从几何体的正面可以看到选项B的图形． 故选：B． 5．（3分）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，94，95，95．这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：将这组数据重新排列为88，92，95，95， 所以这组数据的中位数为95，众数为95， 故选：B． 6．（3分）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在点B处发生折射，沿BC方向射入水中．如果∠1＝80°，那么光的传播方向改变了（　　） A．100° B．80° C．41° D．39° 【分析】利用平行线的性质得出∠MBC＝∠1＝80°，根据对顶角相等得出∠MBD＝∠2＝41°，进而求出∠DBC的度数，即可得解． 【解答】解：∵MN∥EF， ∴∠CBM＝∠1＝80°， ∵∠DBM＝∠2＝41°， ∴∠CBD＝∠MBC﹣∠MBD＝39°， ∴光的传播方向改变了39°， 故选：D． 7．（3分）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，则根据条件所列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：D． 8．（3分）如图，点A、B是反比例函数图象上的两点，连结AO并延长交反比例函数图象的另一支于点D，过点D作∠CAO的角平分线的垂线，若点B是线段AC的中点且S△ABE＝6，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12 【分析】连接OE，OB，过点A作AF⊥y轴于F，过点B作DH⊥y轴于H，由AD经过原点，则A与D关于原点对称，再由DE⊥AE，AE为∠BAO的平分线，可得AB∥OE，进而可得S△ABE＝S△AOB；设点A（m，），由已知条件B是线段AC中点，DH∥AF，可得2BH＝AF，则点B（m，），所以S△AOD＝S△AOF+S梯形AFHD﹣S△OHD＝﹣k＝6，即可求解． 【解答】解：连接OE，OB，过点B作DH⊥y轴于H， ∵过原点的直线与反比例函数图象交于A， ∴A与D关于原点对称， ∴O是AD的中点， ∵DE⊥AE， ∴OE＝OA， ∴∠OAE＝∠AEO， ∵AE为∠CAO的角平分线， ∴∠BAE＝∠AEO， ∴AB∥OE， ∴S△ABE＝S△AOB， ∵S△ABE＝6， ∴S△ABE＝S△AOB＝8， 设点A（m，）， ∵B是AC的中点，DH∥AF， ∴BH＝AF， ∴B（m，）， ∵S△AOB＝S△AOF+S梯形AFHB﹣S△OHB＝k+k ＝（﹣m﹣﹣）＝﹣k， ∴﹣k＝5， ∴k＝﹣8； 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥1　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得． 【解答】解：由题意可得， ∴x﹣2≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥7． 10．（3分）因式分解x2y﹣2xy2+y3＝y（x﹣y）2 ． 【分析】先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解． 【解答】解：原式＝y（x2﹣2xy+y7） ＝y（x﹣y）2， 故答案为：y（x﹣y）2． 11．（3分）等腰三角形两边长分别为5，2，则它的周长是 　12　 ． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时；当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时；然后分别进行计算，即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时， ∴它的周长＝7+5+2＝12； 当等腰三角形的腰长为5，底边长为5时，2，2， ∵2+2＝8＜5， ∴不能组成三角形； 综上所述：它的周长是12， 故答案为：12． 12．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝　20　 ． 【分析】根据，即可求解． 【解答】解：由条件可知， 故答案为：20． 13．（3分）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是 　12π　 cm2． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝12πcm2． 故答案为：12π． 14．（3分）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2　4　 ． 【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，根据题意得到∠BEC＝∠C，再根据等腰三角形的性质求出BE． 【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB， ∴BC＝2DE＝2×7＝4，DE∥BC， ∴∠AED＝∠C， ∵∠AED＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠C， ∴BE＝BC＝4， 故答案为：8． 15．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝　1　 ． 【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝45°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出⊙O的半径，即可解答． 【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ADC＝∠ABC＝45°， ∴AD＝＝＝2， ∴⊙O的半径是1， 故答案为：7． 16．（3分）将正八边形与正五边形如图摆放，其中点O为公共顶点，边AB，则∠BOC的度数为　63°　 ． 【分析】根据正多边形的外角和为360°分别求出∠OBC与∠OCB的度数，进而得出答案． 【解答】解：∵∠OBC＝360°÷8＝45°，∠OCB＝360°÷5＝72°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝63°． 故答案为：63°． 17．（3分）如图，△OA1A2，△OA2A3，△OA3A4…都是等腰直角三角形，点A1（﹣1，0），A2（﹣1，1），A3（0，2）…，按图中规律，A2026的坐标是　（﹣21012，21012）　 ． 【分析】由等腰直角三角形的定义及勾股定理可得OA1＝1，OA2＝，OA3＝（）2，…，OA2026＝（）2025，再利用A1、A2、A3、…，在A1的基础上每8个一循环再次回到x轴负半轴的规律即可得出A2026的坐标． 【解答】解：∵△OA1A2，△OA8A3，△OA3A4，…都是等腰直角三角形，点A1（﹣1，2），A2（﹣1，6），A3（0，7），…， ∴根据勾股定理可得：OA1＝1，OA8＝，OA3＝（）2，…，OA2026＝（　　）2025， ∵A1、A4、A3、…，在A1的基础上每3个一循环，再次回到x轴的负半轴， ∵（2026﹣1）÷8＝253……5， ∴A2026在A1的基础上每8个一循环，刚好循环了253次，又循环到了第二象限， ∴A2026横坐标是﹣（）2024＝﹣21012，A2026纵坐标为（）2024＝41012， ∴A2026的坐标为（﹣21012，21012）， 故答案为：（﹣21012，21012）． 18．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是射线BC上的一个动点，点F为AE上的一个动点，且满足∠AED＝∠ADF，则CF的最小值为 　　 ． 【分析】设AB的中点为O，以点O为圆心，以OA为半径作⊙O，连接OF，OC，BF，依题意得OA＝OB＝2，在Rt△OBC中，由勾股定理得OC＝，证明△AED和△ADF相似得＝，根据AB＝AD得＝，再根据∠EAB＝∠BAF得△AEB和△ABF相似，由相似三角形性质得∠AEB＝∠ABF，由此可得出∠AFB＝90°，则点F在正方形ABCD内部的⊙O上，于是有OF＝OA＝2，然后根据“两点之间线段最短”得CF≥OC﹣OF＝，据此可得CF的最小值． 【解答】解：设AB的中点为O，以点O为圆心，连接OF，BF ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝AD＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴⊙O的半径为8， 在△OBC中，∠ABC＝90°， 由勾股定理得：OC＝＝＝， 在△AED和△ADF， ∠AED＝∠ADF，∠EAD＝∠DAF， ∴△AED∽△ADF， ∴＝， ∵AB＝AD， ∴＝， 在△AEB和△ABF中， ＝，∠EAB＝∠BAF， ∴△AEB∽△ABF， ∴∠AEB＝∠ABF， 在△ABE中，∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， 在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠ABF+∠BAE）＝90°， ∴点F在正方形ABCD内部的⊙O上， 即当点E在射线BC上运动时，点F在正方形ABCD内部的⊙O上运动， ∴OF＝OA＝5， 根据“两点之间线段最短”得：CF+OF≥OC， ∴CF≥OC﹣OF＝， ∴当点O，F，C共线时，最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（． 【分析】先计算零指数幂及特殊角的三角函数值，再算加减即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝﹣1． 20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝ 【分析】先把括号内的2写成分母是a的分式，再根据同分母分式相加法则计算括号里面的，再把除式的分子分解因式，除法写成乘法进行约分，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝， 当a＝﹣1时， 原式＝ ＝ ＝． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点． （1）尺规作图：作∠AEC的平分线EF，与AD交于点F，连接CF． （2）求证：四边形AECF是菱形． 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可；如 （2）利用角平分线和平行线得出∠AEF＝∠AFE，可得AE＝AF，利用直角三角形斜边中线的性质得出，可得AF＝CE，结合AF∥CE，证明四边形AECF为平行四边形，再结合AE＝CE，即可求证． 【解答】（1）解：如图，EF即为所求， （2）证明：∵EF平分∠AEC， ∴∠CEF，＝∠AEF ∵BC∥AD， ∴∠CEF＝∠AFE， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∵点E是BC中点，∠BAC＝90°， ∴AE＝CE＝BC， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形， 又∵AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形． 22．（10分）某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，请根据图中的信息解答下列问题： （1）该校九年级接受调查的人数为　50　 ，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数为　108°　 ． （3）若该校九年级有800名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． 【分析】（1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数，再根据条形统计图中的数据，即可计算出选择D的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校九年级学生中喜欢“听音乐”方式进行考前减压的人数． 【解答】解：（1）该校九年级接受调查的学生有＝50（人）， 补全的条形统计图如图所示： ； 故答案为：50； （2）360°×＝108°， 即扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数是108°， 故答案为：108°； （3）800×＝432（人）， 即估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数为432人． 23．（8分）某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》《红岩》《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读 （1）小文诵读《长征》的概率是 　　 ； （2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率． 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解． 【解答】解：（1）P（小文诵读《长征》）＝； 故答案为：； （2）记《红星照耀中国》《红岩》《长征》分别为A、B、C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表格可知，共有9种等可能性结果， ∴小文和小明诵读同一种读本的概率为． 24．（10分）如图，汽车在转弯时，两个前轮（转向轮），因此两个前轮转动的角度不相同，两个前轮转动角度的差（即∠α﹣∠β），B作两个前轮所在直线的垂线交于点E，经过实验研究当点E恰好落在后轮轴所在直线DC上，轴距（线段AD的长）为2.8米（∠AEB）约为12°，此时∠AED＝30°，请求出该款轿车的车身宽（线段CD的长）为多少米？（结果保留一位小数）（参考数据：） 【分析】根据矩形得到AD＝BC＝2.8米，∠ADC＝∠BCD＝90°，根据求出（米），再根据求出（米），即可得到CD＝DE﹣CE＝4.84﹣3.11≈1.7（米）． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，线段AD的长为2.8米， ∴AD＝BC＝2.8米， ∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵点E在直线CD上， ∴∠ADE＝∠BCE＝90°， 在Rt△ADE中，∠AED＝30°， ， ∴， 解得：（经检验，且符合题意）， ∵∠BEC＝∠AED+∠AEB＝30°+12°＝42°， 在Rt△BCE中，∠BEC＝42°， ∴， ∴， 解得：（经检验，且符合题意）， ∴CD＝DE﹣CE＝3.84﹣3.11≈1.7（米）． 答：该款轿车的车身宽约为1.7米． 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，OP∥AC，且∠OBP＝90° （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长． 【分析】（1）连接OC，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得∠COP＝∠BOP，进而证明△COP≌△BOP（SAS），推出∠OCP＝∠OBP＝90°，即可证明PC与⊙O相切； （2）由△COP≌△BOP（SAS）可推出OP垂直平分BC，利用等面积法求出BD，进而求出BC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，最后用勾股定理解Rt△ACB即可． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵OP∥AC， ∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP， ∴∠COP＝∠BOP， ∵OP＝OP，OC＝OB， ∴△COP≌△BOP（SAS）， ∴∠OCP＝∠OBP＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC与⊙O相切； （2）解：连接BC交OP于点D， ∵△COP≌△BOP， ∴PC＝PB，OB＝OC， ∴OP垂直平分BC， ∵AO＝BO＝3，OP＝5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴AB＝2OA＝4，∠ACB＝90°， ∴． 26．（10分）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元 （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元； （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为（20﹣a）个，且a≤3（20﹣a），根据题意，得w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，解答即可． 【解答】解：（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元， ， x＝2500， 经检验，x＝2500是原方程的根． 此时x+300＝2800， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）甲型健身器材买了a个，a≤3（20﹣a）即a≤15， w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000， 由k＝﹣300＜0，得w随a的增大而减小， 故当a＝15时，w取得最小值， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材8台时，最低费用51500元． 27．（12分）如图①，∠AOB＝90°，点C为OA上一点，D是OB边上的动点，∠DCE＝90°，连接OE，求OE的最大值． 【定值探究】如图②，小明过点C作CF∥OB，过点E作EF∥CD，连结ED、FD，将CD•CE＝24转化为S△CED＝＝12，再利用S△CED＝S△CFD，通过面积计算，从而确定CF为定值，请结合上述探究过程； 【最值探究】再由∠CEF＝90°，可以确定点E的轨迹，试求OE的最大值； 【问题拓展】如图，∠AOB＝60°，C为AO上一点，D是BO边上的动点，∠DCE＝90°，直接写出OE的最大值＝　2+2　 ． 【分析】【问题探究】如图1，根据三角形的面积公式和平行线间的距离相等即可解答； 【问题解决】以CF为直径作圆，点E的轨迹是⊙G，当O，G，E三点共线时，OE有最大值，根据勾股定理即可解答； 【问题拓展】同理作辅助线，即可解答． 【解答】解：【定值探究】如图②，过点C作CF∥OB，连接ED， ∵∠DCE＝90°， ∴S△CDE＝•CD•CE， ∵CD•CE＝24， ∴S△CDE＝×24＝12， ∵EF∥CD， ∴S△CDE＝S△CDF， ∴S△CDF＝12， ∵S△CDF＝CF•OC，∠AOB＝90°， ∴CF＝6， ∴CF长为定值； 【最值探究】∵∠CEF＝90°， ∴点E在⊙G上运动， 如图2，作CF的垂直平分线交CF于点G，CF为直径作圆， 当OE过点G时OE的值最大， ∵CF＝2， ∴EG＝CG＝3， 由勾股定理得：OG＝＝6， ∴OE＝OG+EG＝5+3＝7， 即OE的最大值是8； 【问题拓展】如图3，过点C作CF∥OB，连接ED，过点C作CM⊥OB于点M， ∴∠CMO＝90°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠OCM＝30°， ∴OM＝OC＝，CM＝， ∵∠DCE＝90°， ∴S△CDE＝CD•CE， ∵CD•CE＝12， ∴S△CDE＝×12， ∵EF∥CD， ∴S△CDE＝S△CDF， ∴S△CDF＝6， ∵S△CDF＝CF•CM， ∴CF×3， ∴CF＝4， ∴CF长为定值； 如图4，∵∠CEF＝90°， ∴点E在⊙G上运动， 过点G作GN⊥OB于点N，过点F作FK⊥OB于点K， ∴四边形CGNM、CFKM是矩形， ∴GN＝CM＝7，MN＝CG＝2， 当OE过点G时OE的值最大， ∵ON＝OM+MN＝2+2＝5， 由勾股定理得：OG＝＝＝2， ∴OE＝OG+EG＝2+4， 即OE的最大值为2+2， 故答案为：3+2． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； （3）M，N是抛物线上的两个动点，分别过点M，垂足分别为G，H．是否存在点M，N，N，G，H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）解法1：设P（t，t2﹣2t﹣3），连接OP，利用图形的面积建立方程求解即可；解法2：连接CP，根据面积关系证得CP∥BD，求得直线CP的表达式，联立方程组求解即可； （3）分三种情况讨论：①若点M，N分别在直线BC的两侧，②若点M，N在直线BC的下方，③若点M，N在直线BC的上方，分别画出图形，利用正方形性质建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴设y＝a（x﹣7）2﹣4， 把C（3，﹣3）代入， 解得：a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝（x﹣7）2﹣4，即y＝x6﹣2x﹣3； （2）解法4：设P（t，t2﹣2t﹣7），连接OP， ∵S△CDE＝S△PBE， ∴S△CDE+S四边形BODE＝S△PBE+S四边形BODE， 即S△BCO＝S四边形BODP＝S△POB+S△POD， ∴×5×3＝2+2t+2）+×3×t， 解得：t1＝0（舍去），t4＝， ∴P（，﹣）； 解法8：如图2，连接CP， ∵S△CDE＝S△PBE， ∴S△CDE+S△BDE＝S△PBE+S△BDE， 即S△BCD＝S△BPD， ∴CP∥BD， 设直线BD的表达式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线BD的表达式为y＝x﹣1， 设直线CP的表达式为y＝x+c，﹣3）代入得：c＝﹣3， ∴直线CP的表达式为y＝x﹣3， 联立得， 解得：（舍去），， ∴P（，﹣）； （3）满足条件的点M、N存在． 理由如下： ①若点M，N分别在直线BC的两侧， 不妨令点M在直线BC上方，点N在直线BC下方， 可知∠MGH＝90°， 则∠MGN＝∠MGH+∠HGN＞90°，不符合题意． ②若点M，N在直线BC的下方， 不妨设点M在点H的下方，如图5， ∵B（3，0），﹣5）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，连接MH，则△MGN是等腰直角三角形， ∴GN⊥y轴，MH⊥x轴， 设点M坐标为（m，m2﹣4m﹣3），其中0＜m＜5， 则点H坐标为（m，m﹣3）， 根据正方形的性质得：点N的坐标为（，）， 将点N的坐标代入抛物线表达式y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）（x+5）， 得（﹣3）（， 即（m2﹣5m+6）（m2﹣5m﹣2）＝2（m3﹣m﹣6）， 化简得（m﹣2）（m﹣3）（m2﹣5m﹣7）＝2（m﹣3）（m+6）， ∵0＜m＜3， ∴（m﹣6）（m2﹣5m﹣4）＝2（m+2）， 整理得m5﹣7m+6＝4， 解得：m1＝1，m5＝6（舍去）， 此时，MH＝2． ③若点M，N在直线BC的上方， 不妨设点M在点H上方，如图5， 设点M（m，m2﹣5m﹣3），其中m＜0或m＞3， 根据正方形性质，点N坐标为（，）， 将点N的坐标代入抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣3）（x+1）， 同理可得：m2＝1（舍去），m2＝4， 此时，MH＝18． 综上所述，正方形的边长为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/4 8:57:47；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $