3.1.2 函数的表示法 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础方法到综合应用递进，覆盖函数表示法核心知识点，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|函数列表法、图象法、解析式及分段函数基础|含教材改编题，如用列表法求解析式，结合简单实际情境（阶梯水价），强化概念理解与基本运算| |能力提升练|函数图象动态分析、抽象函数及分段函数综合问题|设置多选题、动态几何情境（正方体注水）及复杂实际建模（出租车费用方案），发展推理能力与模型意识|

3.1.2　函数的表示法 基础过关练 题组一　函数表示的图象法和列表法 1.(2026陕西咸阳期中)函数y=f(x)由下表给出,则f(f(4)-2)的值为(　　) x x≤0 0<x<2 x≥2 y 1 2 3 A.1　　B.2　　C.3　　D.4 2.(2026山西阳泉期末)函数f(x)=x2-2|x|的大致图象是(　　) 3.(教材习题改编)用列表法表示f(x)如下表,则f(x)的解析式为　　　　.  x 1 2 3 4 5 f(x) 6 12 18 24 30 题组二　函数的解析式 4.(2026吉林长春东北师大附中月考)已知f(x2+1)=x4-1,则函数f(x)的解析式为(　　) A. f(x)=x2-2x　　 B. f(x)=x2-1(x≥1) C. f(x)=x2-2x+2(x≥1)　　 D. f(x)=x2-2x(x≥1) 5.(2026山东滕州第一中学月考)若函数y=f(x)满足2f-f(x)=3x,则f=　　　　.  6.(2026福建宁德期末)已知函数f(x)满足:对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立,写出函数f(x)的一个解析式:　　　　.  7.(2026河南安阳第一中学月考)求下列函数f(x)的解析式: (1)已知函数f(x)满足:f(+1)=x+2+1; (2)已知一次函数f(x)在R上满足:f(f(x))=4x+6; (3)已知函数f(x)满足:2f(x)-f(-x)=x+1. 8.(2026重庆渝东九校期中联考)已知二次函数f(x)满足f(0)=0, f(x+1)-f(x)=2x-3. (1)求二次函数f(x)的解析式; (2)求不等式f(x)≥18-x的解集. 题组三　分段函数问题 9.(2026安徽桐城中学期末)为了保护水资源,提倡节约用水,某市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下表: 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 若某户居民某月的用水量为x m3,其缴纳的水费为y元,则以下结论正确的是(　　) A.y=　　B.当x=13时,y=78 C.若y=48,则x=14　　D.若y=81,则x=13.5 10.(2026江苏连云港期末)已知函数f(x)=则f(f(x))=(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 11.(2026湖南长沙长郡中学期末)已知函数f(x)=且f(x0)=3,则实数x0的值为　　　　.  12.(2026广东深圳期中)已知函数f(x)= (1)求f(4), f(f(1))的值; (2)若f(a)=1,求a的值; (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象,并根据图象写出函数f(x)的值域(无需写出理由). 13.(教材习题改编)某小组4位同学准备乘坐出租车去参加社会实践活动.已知全程30千米,且该城市出租车的收费标准如下:起步价11元(乘车不超过3千米);行驶3千米后,每千米车费2.2元;行驶10千米后,每千米车费2.8元. (1)写出同学们乘车的费用f(x)(单位:元)与路程x(单位:千米)的函数关系式; (2)为了节省支出,他们设计了三种乘车方案: ①不换车:乘一辆出租车行驶30千米; ②分两段乘车:先乘一辆车,行驶15千米后,换乘另一辆车,再行驶15千米; ③分三段乘车:每行驶10千米后,换乘一次车. 根据(1)中函数f(x)分析哪一种方案最省钱. 能力提升练 题组一　函数的表示法 1.(2026安徽六安期末)已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象如图所示,则f(g(4))=(　　) x 1 2 3 4 y=f(x) 3 1 4 2 A.4　　B.3　　C.1　　D. 2.函数y=的图象大致是(　　) 　　 　　 3.(2026陕西汉中期中)如图所示,正方体容器内放了一个圆柱形烧杯,向放在容器底部的烧杯内注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满正方体容器,则正方体容器中水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象可能是(　　) 　　　　　　 4.(2026四川泸州高中期中)如图,点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,当点P沿A-B-C-M运动时,△APM的面积y关于点P经过的路程x的函数图象大致是　(　　) 题组二　函数的解析式及其应用 5.(2026福建莆田期中)如图,在一直角墙角内的点P处有一棵树,它到两墙的距离分别是3米和2米.现欲用10米长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,要求这棵树在花圃内或边界上.设BC=x米,矩形花圃的面积为f(x)平方米,则(　　) A. f(x)=-x2+5x(0≤x≤10) B. f(x)=-x2+10x(0≤x≤10) C. f(x)=-x2+5x(3≤x≤8) D. f(x)=-x2+10x(3≤x≤8) 6.(多选题)(2026广东广州广雅中学期末)设f(x)=,则下列结论正确的是(　　) A. f(-x)=f(x)　　B. f=-f(x) C. f(2x)=2f(x)　　D. f=f(x) 7.(2026河南部分校期中联考)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意m,n∈R,2f(m+n)=f(f(m))+4n-100恒成立,且f(0)=100,则f(55)=(　　) A.200　　B.210　　C.110　　D.220 8.(2026广东佛山南海石门中学月考)已知函数f(x)满足f(x)-2f(1-x)=x,则f(x)=　　　　.  9.(易错题)(2026安徽马鞍山第二十二中学期中)已知f=x2+,则f(x)的解析式是　　　　.  10.(2026陕西西北工业大学附属中学期末)已知函数f(x)的定义域为R,且f≠0, f(x+y)+f(x)f(y)=4xy. (1)求f(0)+f的值; (2)求f(x)的解析式; (3)已知a>0,b>0,a+2b=f,求+的最小值. 题组三　分段函数问题 11.(2026辽宁抚顺六校协作体期末)已知函数f(x)=若f(a)=f(a+1),则a=(　　) A.-　　B.-　　C.-　　D.-1 12.(多选题)(2026四川乐山峨眉二中月考)已知函数f(x)=下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A. f(x)的定义域是R B. f(x)的值域是(-∞,5) C.若f(x)=3,则x= D. f(x)的图象与直线y=2有一个交点 13.(2026江西九江六校协作体期末)已知函数f(x)=若f(f(a))=2,则a=(　　) A.-2或1　　B.-1或0　　C.-2或0　　D.-2或-1 14.(2026广东广州外国语学校期末)∀x∈R,用m(x)表示f(x),g(x),h(x)中的最小者,记为m(x)=min{f(x),g(x),h(x)},例如min{-3,1,2}的值为-3,则函数m(x)=min{-x+6,x2,x+2}的最大值为　　　　.  15.(2025广东汕头期中)定义:若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的回旋点.已知函数f(x)=其中a为常数且a∈(0,1). (1)当a=时,求f的值,并判断是不是f(x)的回旋点; (2)当x∈(a,1]时,求函数y=f(f(x))的解析式,并求出f(x)的回旋点. 答案 3.1.2　函数的表示法 基础过关练 1.B　依题表中数据得f(4)=3, 所以f(f(4)-2)=f(1)=2. 2.C　函数f(x)=x2-2|x| =其大致图象是C中图象. 3.答案　f(x)=6x,x∈{1,2,3,4,5} 4.D　令t=x2+1(换元法求解析式),则t≥1,x2=t-1, 所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t, 所以f(x)=x2-2x(x≥1). 5.答案　 解析　在2f-f(x)=3x中, 令x=4,得4f-f(4)=12①, 令x=,得f(4)-f=②, ①+②,得3f=⇒f=. 6.答案　f(x)=x-1(答案不唯一) 解析　设f(x)为一次函数, f(x)=kx+b(k≠0),则k(x+y)+b=kx+b+ky+b+1,解得b=-1. 所以函数f(x)=kx-1(k≠0)都满足条件. 7.解析　(1)解法一(配凑法): f(+1)=x+2+1=(+1)2, 因为+1≥1,所以f(x)=x2(x≥1). 解法二(换元法):设+1=t,则t≥1,=t-1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)+1=t2, 所以f(x)=x2(x≥1). (2)待定系数法: 设f(x)=kx+b(k≠0), 则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+6, 所以解得或 所以f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6. (3)方程组法: 对于2f(x)-f(-x)=x+1①, 将x换成-x得2f(-x)-f(x)=-x+1②, 由①×2+②,得3f(x)=x+3, 所以f(x)=+1. 8.解析　(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=0,得c=0,则f(x)=ax2+bx(a≠0), 由f(x+1)-f(x)=2x-3,得a(x+1)2+b(x+1)-(ax2+bx)=2x-3, 即2ax+a+b=2x-3,因此解得a=1,b=-4, 所以二次函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4x. (2)由(1)知f(x)=x2-4x,不等式f(x)≥18-x⇔x2-4x≥18-x, 即x2-3x-18≥0,解得x≤-3或x≥6, 所以原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥6}. 9.C　对于A,根据题意可知,当0<x≤12时,y=3x,当12<x≤18时,y=3×12+6(x-12)=6x-36, 当x>18时,y=6×18-36+9(x-18)=9x-90, 所以y=A错误; 对于B,当x=13时,y=13×6-36=42,B错误; 对于C,当x=12时,3x=36<48,当x=18时,6x-36=72>48,故6x-36=48,解得x=14,C正确; 对于D,由C中分析知,若y=81,则9x-90=81,解得x=19,D错误. 10.B　当x<0时, f(x)=0,则f(f(x))=f(0)=1; 当x≥0时, f(x)=1,则f(f(x))=f(1)=1. 综上, f(f(x))=1. 11.答案　-1或1 解析　由题意得当x0≥0时, f(x0)=2x0+1=3,解得x0=1; 当x0<0时, f(x0)=3=3,解得x0=-1或x0=1(舍去), 则实数x0的值为-1或1. 12.解析　(1)因为函数f(x)= 所以f(4)=-2×4+9=1, f(1)=12-2×1=-1, 所以f(f(1))=f(-1)==-1. (2)①当-1≤a<0时, f(a)==1, 解得a=1,不满足-1≤a<0,故舍去; ②当0≤a≤3时, f(a)=a2-2a=1,解得a=1±, 又因为0≤a≤3,所以a=1+; ③当3<a≤4时, f(a)=-2a+9=1,解得a=4. 综上所述,a的值为1+或4. (3)画出函数f(x)的图象,如图所示, 由图可知, f(x)的值域为(-∞,3]. 13.解析　(1)当0<x≤3时, f(x)=11, 当3<x≤10时, f(x)=11+(x-3)×2.2=2.2x+4.4, 当10<x≤30时, f(x)=11+7×2.2+(x-10)×2.8=2.8x-1.6, 所以f(x)= (2)方案①, f(30)=2.8×30-1.6=82.4, 方案②,2f(15)=2×(2.8×15-1.6)=80.8, 方案③,3f(10)=3×(2.2×10+4.4)=79.2, 因为82.4>80.8>79.2,所以方案③最省钱. 能力提升练 1.C　由题图知g(4)=2,所以f(g(4))=f(2)=1. 2.C　y==+1,则将反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y=的图象. 3.D　开始注水时,水注入烧杯中,正方体容器中无水,故水面高度为0;烧杯内注满水后,继续注水,正方体容器中水面开始上升,且上升速度较快;当正方体容器中水面和烧杯水面持平以后,继续注水,正方体容器中水面继续上升,且上升速度减慢. 4.A　当点P在AB上时,y=·AP·BC=,0<x≤1; 当点P在BC上时,y=AB·BC-·AB·BP-AD·DM-MC·CP=1-×1×(x-1)-×1×-×(2-x)=-,1<x<2; 当点P在CM上时,y=·AD·PM==-x,2≤x<. 结合选项知A正确. 5.D　因为BC=x米,篱笆总长为10米, 所以AD=x米,CD=(10-x)米, 因此f(x)=x(10-x)=-x2+10x, 又因为这棵树在花圃内或边界上, 所以解得3≤x≤8, 因此f(x)=-x2+10x(3≤x≤8). 6.AB　f(-x)===f(x),故A正确; f====-f(x),故B正确,D错误; f(2x)=,2f(x)=,显然f(2x)≠2f(x),故C错误. 7.B　在2f(m+n)=f(f(m))+4n-100中,令m=0,得2f(n)=f(f(0))+4n-100, 因为f(0)=100,所以2f(n)=f(100)+4n-100,① 令n=100,得2f(100)=f(100)+300, 则f(100)=300,代回①式, 得f(n)=2n+100,令n=55,得f(55)=2×55+100=210. 8.答案　x- 解析　在f(x)-2f(1-x)=x中, 将x换成1-x得f(1-x)-2f(x)=1-x, 联立 解得f(x)=x-. 9.答案　f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析　因为=x+,所以f=x2+=-2, 当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立, 当x<0时,x+=-≤-2=-2,当且仅当x=-1时等号成立易错警示:要注意的取值范围, 所以f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 10.解析　(1)在f(x+y)+f(x)f(y)=4xy中,令x=y=0,则f(0)+f(0)f(0)=0,即f(0)[1+f(0)]=0,解得f(0)=0或f(0)=-1, 当f(0)=0时,令x=0,y=,则f+f(0)f=0,即f=0,与题意不符,舍去. 当f(0)=-1时,令x=,y=-,则f(0)+ff=-1,即ff=0, 又f≠0,所以f=0, 故f(0)+f=-1+0=-1. (2)在f(x+y)+f(x)f(y)=4xy中,令y=-,x=t+,得f(t)+ff=-2, 由(1)知f=0,故f(t)=-2t+=-2t-1(抽象函数赋值法求解析式), 故f(x)=-2x-1. (3)由题意得a+2b=f=-2×-1=2, ∴a+b+a+3b=2a+4b=4, ∴+=(a+b+a+3b)=++≥2+=, 当且仅当=,即a=b=时等号成立. 故+的最小值为. 11.A　作出函数f(x)的图象,如图, 由图可知,若f(a)=f(a+1),则a<0,a+1>0, 所以f(a)=-a, f(a+1)=, 所以-a=,解得a=-. 12.BCD　f(x)的定义域是(-∞,2),故A错误. 当x≤-1时,x+2≤1;当-1<x<2时,0≤x2<4,1≤x2+1<5, 所以f(x)的值域是(-∞,5),故B正确. 由B选项的分析可知,若f(x)=3,则解得x=,故C正确. 令f(x)=2,得解得x=1,故f(x)的图象与直线y=2有一个交点(1,2),故D正确. 13.D　令f(a)=t,则f(t)=2, 若t≤0,则t+2=2,解得t=0, 若t>0,则t+=2,解得t=1, 故f(a)=0或f(a)=1, 当a>0时, f(a)=a+≥2(当且仅当a=1时取等号),与f(a)=0或f(a)=1矛盾, 故a≤0,所以f(a)=a+2, 所以a+2=0或a+2=1, 解得a=-2或a=-1. 14.答案　4 解析　令-x+6=x2,得x=-3或x=2, 令x+2=x2,得x=-1或x=2, 令-x+6=x+2,得x=2, 画出函数y=-x+6,y=x2,y=x+2的图象,如图所示, 由已知得m(x)=min{-x+6,x2,x+2}为图中实线部分,由图可知,当x=2时,m(x)有最大值,为4. 15.解析　(1)由题意可得,当a=时, f(x)= ∴f=2×=, ∴f=f=2×=, 又f=≠,∴是f(x)的回旋点. (2)当x∈(a,1]时, f(x)=,对是否大于a分类讨论,求出y=f(f(x))的解析式 ∵a<x≤1, ∴0≤1-x<1-a,∴0≤<1, 当a<<1,即a<x<a2-a+1时, f(f(x))=f=·=; 当0≤≤a,即a2-a+1≤x≤1时, f(f(x))=f=·=, ∴y=f(f(x)) = 当a<x<a2-a+1时,令=x,解得x=, (方程的解x0需满足两点:一是x0在分段函数对应的定义域内,二是f(x0)≠x0,从而得到回旋点) ∵0<a<1,∴-a==>0,a2-a+1-==>0,∴a<<a2-a+1. ∵f=,∴x=不是f(x)的回旋点. 当a2-a+1≤x≤1时, 令=x,解得x=, ∵0<a<1,∴-(a2-a+1)==>0, 1-==>0,∴a2-a+1<<1. 又f=·=≠,∴x=是f(x)的回旋点. 综上,y=f(f(x)) = f(x)的回旋点为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $