3.2.1单调性与最大（小）值经典题型分类训练----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以题型分类构建三层递进训练，覆盖单调性判断、应用及综合问题，培养数学推理与运算能力，实现从概念理解到综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单调性定义与判断、单调区间求解|以选择填空为主（如题型一1-7、题型二10-17），巩固概念辨析与基础运算| |能力应用|单调性参数求解、简单抽象不等式|融入逆向思维题（如题型三21-30），提升推理能力与条件转化能力| |综合拓展|抽象函数单调性证明、二次函数最值|含多问解答题（如题型四36-39、题型五40-43），培养综合应用与模型意识|

《单调性与最大（小）值》经典题型分类训练 题型一：函数单调性的判断与证明 1．下列函数中，在区间（1，+∞）单调递增的是（　　） A．y＝（x﹣2）2 B． C． D．y＝|x+1| 2．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（　　） A．y＝﹣3x+2 B．y＝x3 C．y＝x2﹣1 D． 3．函数在[l，+∞）上单调递增的充要条件是（　　） A．a＜0 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1 4．下列四个函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．f（x）＝﹣x+3 B．f（x）＝（x+1）2 C．f（x）＝﹣|x﹣1| D． 5．（多选）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（　　） A． B．y＝|x| C．y＝x2+x+1 D．y＝2x﹣1 6.（多选）下列说法正确的是（　　） A．函数y＝﹣x+1是减函数 B．函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递减 C．函数y＝x2在（0，+∞）上单调递增 D．函数在（0，+∞）上单调递增 7．已知函数在（1，2）上单调递减，则a的取值范围为 　 　 ． 8．已知函数，判断f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用定义证明． 9．已知函数． （1）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数； （2）当x∈[2，6]，求函数f（x）的值域． 题型二：求函数的单调区间 10．函数y的单调递减区间为（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．（﹣∞，0）∩（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞） 11．函数y＝x的单调递减区间为（　　） A．（0，1] B．[﹣1，1] C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[﹣1，0），（0，1] 12．已知函数，则函数f（x）的单调递增区间为（　　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣1，2） D．（1，2） 13．函数的单调递增区间为（　　） A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，0] 14．函数的单调增区间为（　　） A． B． C．和（4，+∞） D． 15．函数f（x）＝（1﹣x）•|2﹣x|的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 16．函数的单调递增区间为（　　） A． B．（﹣∞，﹣1] C． D． 17．函数y＝﹣x2﹣5x+6的单调递减区间为　 　 ． 18．函数的单调递增区间为 　 　 ． 19．已知函数f（x）的单调递增区间为 　 　 ． 20．已知函数，则f（x）的单调递增区间为 　 　 ． · 题型三：由函数的单调性求解函数或参数 21．函数f（x）＝﹣x2+2ax+3在区间（﹣∞，4）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 22．已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在[3，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　） A．[6，8] B．（﹣∞，6]∪[8，+∞） C．[8，+∞） D．（﹣∞，6] 23．已知函数f（x）＝x2﹣kx+2025在[3，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　） A．[6，8] B．（﹣∞，6]∪[8，+∞） C．（8，+∞） D．（﹣∞，6] 24．已知函数f（x）＝2x2﹣kx﹣8在[﹣2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤﹣8 B．k≥4 C．k≤﹣8或k≥4 D．﹣8≤k≤4 25．函数，若f（x）是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣5，﹣4] B． C． D．[﹣4，﹣1] 26．函数是增函数，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣3，﹣2] B．（﹣3，﹣1] C．[﹣2，﹣1] D．（﹣2，﹣1] 27．函数对任意的实数x1，x2，都有成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[1，2] B． C． D．[1，+∞） 28．（多选）已知函数是R上的增函数，则a的取值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 29．若函数为减函数，则实数a的取值范围是　 　 ． 30．已知函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是 　 　 ． 31．已知函数f（x）＝ax2﹣4x﹣2在区间（1，2）上既无最大值也无最小值，则a的取值范围为　 　 ． 32．已知函数f（x）． （1）当a＝1时，用定义证明f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减； （2）若f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，求a的取值范围． 题型四：利用函数的单调性解抽象不等式 33．已知函数f（x）是定义在（0，1）上的减函数，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 34．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 35．设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 36．函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1， （1）求证：f（x）在R上是增函数； （2）若f（2）＝3，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3． 37．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时f（x）＞0，且f（xy）＝f（x）+f（y） （1）求证： （2）证明：f（x）在定义域上是增函数 （3）如果，求满足不等式的x的取值范围． 38．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下列三个条件：①对任意正数x，y，都有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当0＜x＜1时，f（x）＞0；③． （1）求f（1）和f（4）的值； （2）如果不等式f（x）+f（3﹣x）＜2成立，求x的取值范围； （3）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（3﹣x）＜2有解，求正数k的取值范围． 39．函数f（x）对任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1， （1）求证：f（x）在R上是增函数； （2）若不等式f（ax2﹣2x﹣2）∠f（x2﹣1）在R上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若f（3）＝4，且a＞0，解关于x的不等式f（）＞2． 题型五：二次函数在闭区间上的最值问题 40．设a为实数，函数f（x）＝x2﹣|x﹣a|+1，x∈R． （1）当a＝0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值； （2）求函数f（x）的最小值． 41．设函数f（x）＝x|x﹣a|． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）求函数f（x）在[0，1]上的最大值g（a）的解析式． 42．已知函数f（x）＝3x2+mx﹣1，g（x）＝2x2﹣|x﹣a|+mx． （1）对任意m∈[﹣2，2]，f（x）＜0，求实数x的取值范围； （2）设φ（x）＝f（x）﹣g（x），记φ（x）的最小值为p（a），求p（a）的最小值． 43．设a为实数，函数f（x）＝x2﹣2ax． （1）当a＝1时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值； （2）设函数g（x）＝|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的解析式； （3）求t（a）的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《单调性与最大（小）值》经典题型分类训练 题型一：函数单调性的判断与证明 1．下列函数中，在区间（1，+∞）单调递增的是（ D　） A．y＝（x﹣2）2 B． C． D．y＝|x+1| 【解析】 对于A：函数y＝（x﹣2）2，是二次函数，在（1，2）上单调递减，不符合题意；对于B：函数在（1，+∞）上单调递减，不符合题意；对于C：函数定义域为{x∈R|x≠3}，则该函数在（1，+∞）上不单调，不符合题意；对于D，函数y＝|x+1|在（1，+∞）上单调递增，符合题意． 2．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（　A　） A．y＝﹣3x+2 B．y＝x3 C．y＝x2﹣1 D． 【解析】 对于A：y＝﹣3x+2，任取x1＞x2＞0，则y1﹣y2＝（﹣3x1+2）﹣（﹣3x2+2）＝3（x2﹣x1），又x2﹣x1＜0，所以y1﹣y2＜0，即y1＜y2，所以函数y＝﹣3x+2在（0，+∞）为减函数，故A正确；对于B：y＝x3，任取x1＞x2＞0，则，又，所以y1﹣y2＞0，即y1＞y2，所以函数y＝x3在（0，+∞）为增函数，故B错误；对于C：y＝x2﹣1，任取x1＞x2＞0，则，又x1﹣x2＞0，x1+x2＞0，所以y1﹣y2＞0，即y1＞y2，所以函数y＝x2﹣1在（0，+∞）为增函数，故C错误；对于D：函数，任取x1＞x2＞0，则，又x1﹣x2＞0，x1x2＞0，所以y1﹣y2＞0，即y1＞y2，所以函数在（0，+∞）为增函数，故D错误． 3．函数在[l，+∞）上单调递增的充要条件是（　C　） A．a＜0 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1 【解析】 当a≤0时，函数在[l，+∞）上单调递增，当a＞0时，若函数在[l，+∞）上单调递增，则，即0＜a≤1，故a的范围为{a|a≤1}． 4．下列四个函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（　B　） A．f（x）＝﹣x+3 B．f（x）＝（x+1）2 C．f（x）＝﹣|x﹣1| D． 【解析】 对于A：f（x）＝﹣x+3，是一次函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意；对于B：f（x）＝（x+1）2，是二次函数，在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C：f（x）＝﹣|x﹣1|，在区间（1，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D：f（x），是反比例函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意． 5．（多选）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（　AB　） A． B．y＝|x| C．y＝x2+x+1 D．y＝2x﹣1 【解析】 对于A：反比例函数在（﹣∞，0）上单调递减，符合题意；对于B：函数的图象关于y轴对称，且在（﹣∞，0）上单调递减，符合题意；对于C：二次函数y＝x2+x+1图象开口向上，对称轴为，其在单调递减，在单调递增，不符题意；对于D：一次函数y＝2x﹣1为R上的增函数，故不符题意． 6．（多选）下列说法正确的是（　AC　） A．函数y＝﹣x+1是减函数 B．函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递减 C．函数y＝x2在（0，+∞）上单调递增 D．函数在（0，+∞）上单调递增 【解析】 对于A：函数y＝﹣x+1，是一次函数，在R上是减函数，A正确；对于B：函数的单调区间不能用并集连接，B错误；对于C：y＝x2，是二次函数，在（0，+∞）上单调递增，C正确；对于D：函数在（0，1）上单调递减，D错误． 7.已知函数在（1，2）上单调递减，则a的取值范围为 　　 ．（2，3] 【解析】 令u＝6﹣ax，因为a＞0，所以u＝6﹣ax为减函数，故函数为单调递减，所以a﹣2＞0，即a＞2，又u＝6﹣ax≥0在x∈（1，2）恒成立，故6﹣2a≥0，所以a≤3．综上所述，实数a的取值范围是（2，3]． 8．已知函数，判断f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用定义证明． 【解析】 函数在（2，+∞）上单调递增．证明：设2＜x1＜x2，有，因为2＜x1＜x2，则x1x2＞4，x1x2﹣3＞1，x1﹣x2＜0，则有，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在（2，+∞）上单调递增． 9．已知函数． （1）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数； （2）当x∈[2，6]，求函数f（x）的值域． 【解析】 （1）证明：函数，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，由，因0＜x1＜x2，故，x1﹣x2＜0，故f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数； （2） 由（1）的结论：函数f（x）在[2，6]上也是增函数，则f（2）≤f（x）≤f（6），即﹣1≤f（x）≤5，故函数f（x）的值域为[﹣1，5]． 题型二：求函数的单调区间 10．函数y的单调递减区间为（　D　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．（﹣∞，0）∩（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞） 【解析】 函数y的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）． 11．函数y＝x的单调递减区间为（　D　） A．（0，1] B．[﹣1，1] C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[﹣1，0），（0，1] 【解析】 函数y＝x为对勾函数，由对勾函数的性质，可得函数y＝x的单调递减区间为[﹣1，0），（0，1]． 12．已知函数，则函数f（x）的单调递增区间为（　D　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【解析】 ，则﹣x2+4x﹣3≥0，解得1≤x≤3，即函数f（x）的定义域为[1，3]， 令t＝﹣x2+4x﹣3，则二次函数t＝﹣x2+4x﹣3的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（2，3），又y为增函数，所以由复合函数的单调性可知函数f（x）的单调递增区间为（1，2）． 13．函数的单调递增区间为（　B　） A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，0] 【解析】 根据题意，设t＝x2﹣4x，则y，令t＝x2﹣4x≥0，解得x≥4或x≤0，即函数的定义域为（﹣∞，0]∪[4，+∞），又函数t＝x2﹣4x 在（﹣∞，0]上单调递减，在[4，+∞） 上单调递增，y在[0，+∞）上单调递增，则函数 在[4，+∞）上单调递增． 14．函数的单调增区间为（　C　） A． B． C．和（4，+∞） D． 【解析】 设t＝﹣x2+3x+4，则有x≠﹣1且x≠4；t∈（﹣∞，0）∪（0，]，所以函数的定义域为：{x|x≠﹣1且x≠4}，由二次函数的性质可知t的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，]；单调递减区间为：[，4），（4，+∞）；又因为y在t∈（﹣∞，0）和（0，]上单调递减，由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：[，4）和（4，+∞）． 15．函数f（x）＝（1﹣x）•|2﹣x|的单调递增区间为（　A　） A． B． C． D． 【解析】 f（x）＝（1﹣x）•|2﹣x|，当x≤2时，f（x）＝（1﹣x）•（2﹣x）＝x2﹣3x+2，对称轴x，开口向上，故x≤2时，函数单调递增；当x＞2时，f（x）＝﹣（1﹣x）•（2﹣x）＝﹣x2+3x﹣2，对称轴x，开口向下，故在x＞2时，函数单调递减．结合选项可得，A选项符合题意． 16．函数的单调递增区间为（　C　） A． B．（﹣∞，﹣1] C． D． 【解析】 对于函数，应有2x2﹣x﹣3≥0，求得x≤﹣1或x，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．再根据二次函数y＝2x2﹣x﹣3的性质，可得函数f（x）的增区间为[，+∞）． 17．函数y＝﹣x2﹣5x+6的单调递减区间为　 　 ． 【解析】 根据题意，y＝﹣x2﹣5x+6，是开口向下的二次函数，其对称轴为，则该函数的递减区间为． 18．函数的单调递增区间为__________ ．[﹣1，3] 【解析】 由题意，7+6x﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤7，即函数的定义域为[﹣1，7]，令u＝7+6x﹣x2，函数图象开口向下，对称轴为x＝3，所以函数u＝7+6x﹣x2在[﹣1，3）上单调递增，在（3，7]上单调递减，又y在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为[﹣1，3]． 19．已知函数f（x）的单调递增区间为 　　 ．[4，+∞） 【解析】 令t＝x2﹣6x+8，由t≥0可得x2﹣6x+8≥0，解得x≤2或x≥4，即f（x）的定义域为（﹣∞，2]∪[4，+∞），又因为令t＝x2﹣6x+8是开口向上，以x＝3为对称轴的二次函数，所以t在（﹣∞，2]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增，所以f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增 20．已知函数，则f（x）的单调递增区间为 　　 ．（0，1） 【解析】当x＜0时，f（x）＝﹣2x+1单调递减；当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 · 题型三：由函数的单调性求解函数或参数 21．函数f（x）＝﹣x2+2ax+3在区间（﹣∞，4）上单调递增，则a的取值范围是（　D　） A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 【解析】 根据题意：函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣3的图象是开口朝上，且以直线x＝a为对称轴的抛物线，则函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣3的单调递增区间为（﹣∞，a]，又∵函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，∴a≥4 22．已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在[3，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　B　） A．[6，8] B．（﹣∞，6]∪[8，+∞） C．[8，+∞） D．（﹣∞，6] 【解析】 因为函数f（x）＝x2﹣kx﹣8的开口向上，对称轴为x，又因为函数在[3，4]上具有单调性，所以或，解得k≤6或k≥8，即实数k的取值范围是（﹣∞，6]∪[8，+∞）． 23．已知函数f（x）＝x2﹣kx+2025在[3，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　B　） A．[6，8] B．（﹣∞，6]∪[8，+∞）C．（8，+∞） D．（﹣∞，6] 【解析】 二次函数f（x）＝x2﹣kx+2025的对称轴为，∵函数f（x）＝x2﹣kx+2025在[3，4]上具有单调性，∴或，∴k≤6或k≥8，∴实数k的取值范围是{k|k≤6或k≥8}． 24．已知函数f（x）＝2x2﹣kx﹣8在[﹣2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　C　） A．k≤﹣8 B．k≥4 C．k≤﹣8或k≥4 D．﹣8≤k≤4 【解析】 由题可知，f（x）＝2x2﹣kx﹣8的对称轴为，∵f（x）＝2x2﹣kx﹣8在[﹣2，1]上具有单调性∴①，得k≤﹣8 ②，得k≥4 综上所述：k≤﹣8或k≥4． 25．函数，若f（x）是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（　B　） A．[﹣5，﹣4] B． C． D．[﹣4，﹣1] 【解析】 由题意得，即，解得． 26．函数是增函数，则实数a的取值范围为（　C　） A．（﹣3，﹣2] B．（﹣3，﹣1] C．[﹣2，﹣1] D．（﹣2，﹣1] 【解析】 因为函数是增函数，所以，解得a∈[﹣2，﹣1]． 27．函数对任意的实数x1，x2，都有成立，则实数a的取值范围是（　A　） A．[1，2] B． C． D．[1，+∞） 【解析】 因为函数f（x）对任意的实数x1，x2，x1≠x2，都有成立，则函数f（x）在R上单调递增，则，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1，2]． 28．（多选）已知函数是R上的增函数，则a的取值可以是（　ABC　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【解析】 根据题意，函数是R上的增函数，则有，解得﹣3＜a≤0，即a的取值范围是（﹣3，0]．分析选项：A、B、C符合． 29．若函数为减函数，则实数a的取值范围是 _______　　 ．（0，1] 【解析】 因为函数为减函数，所以，解得：0＜a≤1，所以a的取值范围是（0，1]． 30．已知函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是 　　 ．[2，5] 【解析】 要使函数f（x）在R上单调递增，只需，解得2≤a≤5，所以实数a的取值范围是[2，5]． 31．已知函数f（x）＝ax2﹣4x﹣2在区间（1，2）上既无最大值也无最小值，则a的取值范围为　 　 ．（﹣∞，1]∪[2，+∞） 【解析】 ∵区间（1，2）是开区间，∴要使函数f（x）＝ax2﹣4x﹣2在区间（1，2）上既无最大值也无最小值，则必有函数在（1，2）是单调函数，当a＝0时，函数f（x）＝ax2﹣4x﹣2＝﹣4x﹣2，单调递减，满足在区间（1，2）上既无最大值也无最小值．当a≠0时，二次函数的对称轴为x，若a＜0，满足条件，若a＞0，要使函数函数在（1，2）是单调函数，则或0，解得0＜a≤1，或a≥2，综上a≤1，或a≥2 32．已知函数f（x）． （1）当a＝1时，用定义证明f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减； （2）若f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，求a的取值范围． 【解析】 （1）证明：a＝1时，；设x1＜x2＜﹣1，则：；∵x1＜x2＜﹣1；∴x2﹣x1＞0，x1+1＜0，x2+1＜0；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减； （2）；∵f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；∴；∴﹣1＜a≤1；∴a的取值范围为（﹣1，1]． 题型四：利用函数的单调性解抽象不等式 33．已知函数f（x）是定义在（0，1）上的减函数，则满足的x的取值范围是（　A　） A． B． C． D． 【解析】 因为f（x）是定义在（0，1）上的减函数，所以不等式化为，即，解得． 34．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（　D　） A． B． C． D． 【解析】 因为函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，且满足，所以，解得． 35．设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 因为函数，x∈R，所以函数|x|＝f（x）， 所以y＝f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）x，因为函数y 与y＝﹣x在[0，+∞）上均单调递减，所以f（x）x在[0，+∞）上单调递减，所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，又因为f（x）＞f（2x﹣1），所以|x|＜|2x﹣1|，平方整理得：3x2﹣4x+1＞0，解得x或x＞1，所以x的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）． 36．函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1， （1）求证：f（x）在R上是增函数； （2）若f（2）＝3，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3． 【解析】 （1）证明：任取x1＜x2，∴x2﹣x1＞0．∴f（x2﹣x1）＞1．∴f（x2）＝f[x1+（x2﹣x1）]＝f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1＞f（x1），∴f（x）是R上的增函数． （2）∵f（2）＝3．∴f（3m2﹣m﹣2）＜3＝f（2）．又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，∴3m2﹣m﹣2＜2，3m2﹣m﹣4＜0，∴﹣1＜m即不等式的解集为． 37．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时f（x）＞0，且f（xy）＝f（x）+f（y） （1）求证： （2）证明：f（x）在定义域上是增函数 （3）如果，求满足不等式的x的取值范围． 【解析】 （1）证明：令x＝y＝1，∴f（1）＝f（1）+f（1），∴f（1）＝0 令y，得f（1）＝f（x）+f（）＝0，∴ （2）：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴1，∵x＞1时f（x）＞0，∴f（）＞0，∴f（x2）＝f（•x1）＝f（）+f（x1）＞f（x1）∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数 （3）由于，而 在f（x．y）＝f（x）+f（y）中，令x＝y＝3，得f（9）＝f（3）+f（3）＝2，又由（2）知，故所给的不等式可化为f（x）+f（x﹣2）≥f（9）即f[x（x﹣2）]≥f（9），∴， 解得x≥1，∴x的取值范围是 38．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下列三个条件：①对任意正数x，y，都有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当0＜x＜1时，f（x）＞0；③． （1）求f（1）和f（4）的值； （2）如果不等式f（x）+f（3﹣x）＜2成立，求x的取值范围； （3）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（3﹣x）＜2有解，求正数k的取值范围． 【解析】 （1）因为对任意正数x，y，都有f（xy）＝f（x）+f（y），且，令x＝1，y，则f（）＝f（1）+f（），所以f（1）＝0；令x＝y，则f（）＝f（）+f（）＝2，令x＝4，y，则f（1）＝f（4）+f（）＝0，解得f（4）＝﹣2； （2）设0＜x1＜x2，令，所以，则，因为0＜x1＜x2，则，又当0＜x＜1时，f（x）＞0，所以，故f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，不等式f（x）+f（3﹣x）＜2，可变形为， 则，即，解得，所以x的取值范围为； （3）存在正数k，使不等式f（kx）+f（3﹣x）＜2有解，即存在正数k，使不等式f[kx（3﹣x）]有解，因为函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，以存在正数k，使不等式kx（3﹣x）有解，则[kx（3﹣x）]max，因为kx（3﹣x）＝k，所以[kx（3﹣x）]max，则，解得k，所以正数k的取值范围为． 39．函数f（x）对任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1， （1）求证：f（x）在R上是增函数； （2）若不等式f（ax2﹣2x﹣2）∠f（x2﹣1）在R上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若f（3）＝4，且a＞0，解关于x的不等式f（）＞2． 【解析】 （1）证明：设x1，x2是R上任意两个数，且x1＜x2，则f（x2﹣x1）＞1．∴f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1＞0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在R上是增函数． （2）∵f（x）是增函数，且f（ax2﹣2x﹣2）＜f（x2﹣1）在R上恒成立，∴ax2﹣2x﹣2＜x2﹣1在R上恒成立，即（a﹣1）x2﹣2x﹣1＜0恒成立．∴，解得：a＜0． （3）∵f（3）＝f（1）+f（2）﹣1＝f（1）+f（1）+f（1）﹣1﹣1＝3f（1）﹣2＝4，∴f（1）＝2． ∴f（）＞2等价于f（）＞f（1）．∴1．∴或． 若a＝1，则方程组的解为x＞2．若a＞1，则方程组的解为x＞2或x，若0＜a＜1，则方程组的解为2＜x． 题型五：二次函数在闭区间上的最值问题 40．设a为实数，函数f（x）＝x2﹣|x﹣a|+1，x∈R． （1）当a＝0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值； （2）求函数f（x）的最小值． 【解析】 （1）当a＝0，x∈[0，2]时，函数f（x）＝x2﹣x+1，因为f（x）的图象抛物线开口向上，对称轴为，所以，当时，f（x）值最小，最小值为；当x＝2时，f（x）值最大，最大值为3． （2）①当x≤a时，函数．若，则f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）＝a2+1；若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为；②当x＞a时，．若，则f（x）在[a，+∞）上的最小值为；若，则f（x）在[a，+∞）上单调递增，f（x）＞f（a）＝a2+1．所以，当时，，f（x）的最小值为．当时，，f（x）的最小值为．当时，f（x）的最小值为与中小者．所以，当时，f（x）的最小值为；当时，f（x）的最小值为 综上，当a＜0时，f（x）的最小值为；当a≥0时，f（x）的最小值为． 41．设函数f（x）＝x|x﹣a|． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）求函数f（x）在[0，1]上的最大值g（a）的解析式． 【解析】 （1）当a＝0时，f（x）＝x|x|，f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数； 当a≠0时，f（x）＝x|x﹣a|，f（1）＝|1﹣a|，f（﹣1）＝﹣|﹣1﹣a|，则f（﹣1）≠f（1）且f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）为非奇非偶函数； （2），当a＜0时，f（x）在[0，1]上是单调递增函数，f（x）max＝f（1）＝1﹣a．当时，f（x）在上是单调递增函数，在上是单调递减函数．其中，当时，f（x）max＝f（1）＝1﹣a，当时，， 当时，f（x）在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.，当时，f（x）在[0，1]上是单调递增函数，f（x）max＝f（1）＝a﹣1，所以函数f（x）在[0，1]上的最大值的解析式． 42．已知函数f（x）＝3x2+mx﹣1，g（x）＝2x2﹣|x﹣a|+mx． （1）对任意m∈[﹣2，2]，f（x）＜0，求实数x的取值范围； （2）设φ（x）＝f（x）﹣g（x），记φ（x）的最小值为p（a），求p（a）的最小值． 【解析】 （1）因为f（x）＝h（m）＝xm+3x2﹣1对任意m∈[﹣2，2]，f（x）＜0，所以h（﹣2）＝﹣2x+3x2﹣1＜0，解得，且h（2）＝2x+3x2﹣1＜0，解得，所以x的取值范围为． （2）由题意可知，φ（x），①当时，根据二次函数的性质，可知函数φ（x）在单调递减，在上单调递增．函数φ（x）的最小值为； ②当时，根据二次函数的性质，可知函数φ（x）在（﹣∞，a]单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以函数φ（x）的最小值为φ（a）＝a2﹣1；③当时，根据二次函数的性质，可知函数φ（x）在上单调递减，在（，+∞）上单调递增，故函数φ（x）的最小值为， 综上所述，p（a），所以当时，函数φ（x）的最小值为，此时，当时，函数φ（x）的最小值为a2﹣1，此时p（a）≥﹣1；当时，函数φ（x）的最小值为，此时．综上所述，p（a）的最小值为﹣1． 43．设a为实数，函数f（x）＝x2﹣2ax． （1）当a＝1时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值； （2）设函数g（x）＝|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的解析式； （3）求t（a）的最小值． 【解析】 （1）a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，∴f（x）在区间[0，2]上的最大值为0； （2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上是增函数，故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣22）（a+22）， 故当0＜a＜22时，t（a）＝g（2）＝4﹣4a，当22≤a＜1时，t（a）＝g（a）＝a2，当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，故t（a）＝g（a）＝a2，当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，t（a）＝g（2）＝4a﹣4，故t（a）； （3）由（2）知，a＜22时，t（a）＝4﹣4a是单调减函数，无最小值；22≤a＜2时，t（a）＝a2是单调增函数，且t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8；a≥2时，t（a）＝4a﹣4是单调增函数，最小值为t（2）＝4；比较得t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/21 10:38:16；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $