3.2.1 单调性与最大（小）值（一）（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，分层设计清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖单调性全知识点，梯度合理，适配差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点（图像判断、求单调区间等）|选择填空为主，夯实基础，培养几何直观与抽象能力| |B组|综合应用（单调性与函数性质结合）|解答题为主，提升推理能力，强化知识关联| |C组|复杂情境（分段函数、含参问题）|多考点融合，训练批判性思维，发展创新意识| |拓展|高考真题|对接高考考点，培养应用意识与应试能力|

分层作业 3.2.1单调性与最大（小）值（一） 目 录 A组 巩固过关 知识点01 根据图像判断单调性 知识点02 根据单调性确定函数 知识点03 已知函数解析式求单调区间 知识点04 根据函数的单调性判断大小 知识点05 定义法证明函数的单调性 知识点06 根据函数单调性解不等式 知识点07 根据一次、反比例、二次函数的单调性求参 知识点08 分段函数单调性求参 知识点09 函数单调性的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )根据图像判断单调性 1．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 2．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 4．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______． ( 知识点0 2 )根据单调性确定函数 1．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）下列四个函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东汕头·期中）下列函数中，在区间单调递增的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津河东·期中）下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列函数中，单调增区间和值域都是的选项是（ ） A． B． C． D． ( 知识点0 3 )已知函数解析式求单调区间 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的单调增区间是（ ） A．和 B． C．和 D． 4．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B．， C．， D．， 5．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. ( 知识点0 4 )根据函数的单调性判断大小 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南永州·阶段检测）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东聊城·期中）已知函数的定义域为，则“在区间上单调递减”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. ( 知识点0 5 )定义法证明函数的单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 2．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数是一次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明. 3．（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）已知函数是奇函数，且， (1)求a，b值； (2)判断并根据定义证明函数在上的单调性. 4．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． ( 知识点06 )根据函数单调性解不等式 1．（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数是定义在上的减函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知定义在上的函数满足对任意的、，当时，成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A． B． C． D． ( 知识点0 7 )根据一次、反比例、二次函数的单调性求参 1．（25-26高二下·全国·期末）“”是“函数在上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·江苏·二模）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 4．（25-26高一上·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 5．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. ( 知识点0 8 )分段函数单调性求参 1．（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·海南省·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. ( 知识点0 9 )函数单调性的应用 1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ） A． B．1 C． D．0 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 一、单选题 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（ ） A． B．和 C． D． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 3．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·内蒙古包头·期末）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·吉林辽源·期中）下列函数中，满足在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列结论不正确的是（ ） A．若定义在上的函数，有，则函数在上为增函数 B．函数在上是增函数，则函数的单调递增区间是 C．函数的单调递减区间是 D．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 三、填空题 9．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数的单调递增区间是_________． 10．（25-26高一上·天津西青·期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________. 四、解答题 11．（25-26高一上·重庆·期中）画出下列函数的图象，并写出其单调区间. (1)； (2)； (3)； (4). 12．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 1．（2025高一·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北保定·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南商丘·阶段检测）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为________． 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 1．（2002·江苏·高考真题）函数（ ） A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 2．（2001·全国·高考真题）设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（ ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2007·福建·高考真题）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2006·陕西·高考真题）已知函数，其图象上两点的横坐标，满足，且，则有（ ） A． B． C． D．，的大小不确定 5．（2004·湖南·高考真题）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 6．（2012·安徽·高考真题）若函数的单调递增区间是，则=________. 7．（2004·上海·高考真题）若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是_________________． 8．（2010·江苏·高考真题）已知函数，则满足不等式的的范围是_________ 9．（2008·湖南·高考真题）已知函数． （1）若，则的定义域是___________； （2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________． 10．（2000·全国·高考真题）设函数，其中． (1)解不等式； (2)证明：当时，函数在区间上是单调函数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 3.2.1单调性与最大（小） 参考答案 A组 巩固过关 知识占01 根据图像判断单调性 1.D:2.D:3.C4.[-2,-和[2,6]，[-1,2] 知识占02 根据单调性确定函数 1.D:2.D:3.B;4.D 知识占03 已知函数解析式求单调区间 1.A:2.D:3.A4.B:5.(0,2] 知识占0☑ 根据函数的单调性判断大小 1.A:2.D:3.A:4.A;5.fx)<f(x) 知识占05 定义法证明函数的单调性 1 1.【答案】设5，,是区间2 上的任意两个实数，且x2>七> 2 1/8 上好每一堂课 值（一） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33 6(x2-x) 则f6)-f)2x-12x-1(2x-02x-可 、1 由于为>6>2 所以x2->0,(2x-1)(2x2-1)>0, 所以f()-f()>0, 即f(x)>f(), 所以画数了)2在区间2上单词递减 2.【答案】(1)设一次函数f(x)=ar+b(a≠0)， f(1)=a+b=0 则f2)=2a+b=1解得a=1b=-1 所以f(x)=x-1 2)8)=f+1- 71+ f(x)x-1 x-1 可判断8)=1+x一在L+o)上单调递减，证明如下： 任取女x3∈（山，+o)且>x,则 es-++司6 X2-X1 因为>>1，所以x2-x<0,x-1>0,x2-1>0, 所以8()-g()<0,即g()<g(x), 所以函数8(x)是(L,+∞)上的单调减函数. 【答案】1)因为通数-招是奇函数，且②)-多所以(2小昌 [4+a_5 2+b2 所以 4+a5·解得 ,检验符合. -2+b2 a=1,b=0 (2)函数f(x)在(L,+o)上单调递增 218 可学科网·上好课 www.zxxk.com 证明：设x,x2∈(1，+o),且x<x2 由1)知f)=+1 所以)f)+1+16+)(+)(G xX2 因为，x∈（山，+0），所以xx2>1,即xx3-1>0 因为<x2,所以-x2<0 所以f(:)f(x)0,即f()<f(:)】 所以函数f(x)在（山，+o)上单调递增， 4【答案】1)由函数=+过点L2:有1+-2， b 1 解得b=1, 所以f树的解折式为：)=x+是 (2)证明：x,X3∈(，+∞)，且<x, -5+6 由x,x2∈（山，+0），x1<x2,得xx2-1>0,-x2<0 期6-M-0,即)Kf) XX2 所以f(x)在区间(L,+o)上单调递增。 (3)由f(x)在(，+0)上是增函数， 所以在区间[2,7刃上的最小值为12)=3，最大值为1)-9 知识占06 根据函数单调性解不等式 1.A;2.A:3.C;4.C 3/8 上好每一堂课 x)+(-)_(-1(- xX2 xX2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点07 根据一次、反比例、二次函数的单调性求参 1.A:2.D:3.[L,3):4.a≥7；5.[0，+∞) 知识占08 分段函数单调性求参 1.D2.B:3.C;4 6 ”5 知识占09 函数单调性的应用 1.BD;2.C;3.C; B组 能力进阶 一、单选题 1.B:2.D;3.C;4.C;5.C;6.C 二、多选题 7.ACD:8.ABC 三、填空题 90,+w,10.( 四、解答题 11. 【答案】(1)f(x)=x-2的图象由y=x-2的图象x轴上半部分图象不变，x轴下半部分图象向上 翻折，可得如图： 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故单调递减区间为(-0,2]，单调递增区间为[2，+∞)】 (2)v(x)=x2-6x+5的图象由y=x2-6x+5的图象x轴上半部分图象不变， x轴下半部分图象向上翻折，可得如图： 故单调递减区间为(-o,刂和[3,5]，单调递增区间为l,3]和[5，+∞) (3)当x∈[0，+∞)时，g(x)=-x2+2=-x2+2x,再往左翻折可得8()=-x+2,可得如图： 故单调递减区间为[-1,0]和山，+∞)，单调递增区间为(-∞，-和[0，刂 （40u)=2--1+5 1 x+3 +x+3,其图象可由y=图象往左平移3个单位得到y= +3的图象， 再横坐标不变纵坐标变为原来的5倍得到y=5 +3的图象， 再向下平移1个单位可得4(x)=-1+ x+3,可得如图： 518 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故单调递减区间为(-0，-3)和(-3，+∞)，无单调递增区间 2【路10由了问的图泉试点：得0--生-1，即=2 又f3)=3a+b-3a+b3 1+32=10=5,得3a+b=6 联立解得：a=2,b=0 （@②由)知如)=，雨数了国在2+o)上是减同数 证明如下： 商高高儿-到 (1+x)1+x号) _2(-x)+2x(--2.-1-x (1+x2)1+x号) (1+x)）1+x)· 由2<x<,得x-x2<0,1+x>0,1+x号>0,1-xx2<0, 因此f(x)-f()>0,即f(x)>f(:), 所以函数f(x)在(2，+∞)上是减函数 C组 思维拔高 1.C;2.D;3.BD: 4[-小：。4@Lm(3*树 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1.B:2.C:3.C;4.C:5.D:6.-6 we()(0&(←15-：9.（引(0uL 10.【答案】(1)f(x)=Vx2+1-a,fx)≤1等价于+i≤1+ax, 所以，1≤1+ax,即ax≥0，其中a>0 所以，x≥0 (a2-1)x+2a≥0 所以，原不等式等价于 x≥0 (a2-1)x+2a≥0 所以，当 时，不等式 0<a<1 x≥0 解装为] (a2-lx+2a≥ 当 时，不等式 a21 x20 的解集为[0，+0)】 惊上，当0a1时，不等式1的解装为几品] 当a≥1时，不等式f()≤1的解集为[0，+o): (2)当a≥1时，fx)=Vx2+1-a, 设x,x2∈[0，+0），且<x3, x好-x号 所以f)-f)=+1-写+1-a(-)+1++ -a(x-x3) +2 -a =+1+月 因为行好1且。 ≥1’x<x2 x+x2 所以，玉+1+V号+1 -a<0 x-x2<0 所以，f)-f)>0,即fx)>fx, 所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0，+o)上是单调递减函数. 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 818 分层作业 3.2.1单调性与最大（小）值（一） 目 录 A组 巩固过关 知识点01 根据图像判断单调性 知识点02 根据单调性确定函数 知识点03 已知函数解析式求单调区间 知识点04 根据函数的单调性判断大小 知识点05 定义法证明函数的单调性 知识点06 根据函数单调性解不等式 知识点07 根据一次、反比例、二次函数的单调性求参 知识点08 分段函数单调性求参 知识点09 函数单调性的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )根据图像判断单调性 1．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 2．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【答案】C 【分析】根据函数的图象，利用单调性、值域与图象的关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的图象，可得在上单调递减，所以A错误； 对于B，由函数的图象，可得在上的值域是，所以B错误； 对于C，由函数的图象，可得在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数的图象，可得在上的最大值是，所以D错误. 故选：C. 4．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______． 【答案】和； 【分析】根据给定的函数图象确定单调区间即可. 【详解】由图象知在上，单调递增区间为和，单调递减区间为． 故答案为：和， ( 知识点0 2 )根据单调性确定函数 1．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）下列四个函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、二次函数、绝对值函数、分式型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为中的系数为， 所以该函数是实数集的减函数，不符合题意； B：，该函数的对称轴为， 因此当时该函数是增函数，显然不成立，不符合题意； C：当时，，此时该函数单调递减，不符合题意； D：当时，单调递增，符合题意， 故选：D 2．（25-26高一上·广东汕头·期中）下列函数中，在区间单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数在上的单调性即可判断. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数定义域为，则该函数在上不单调，C不是； 对于D，函数在上单调递增，D是. 故选：D 3．（25-26高一上·天津河东·期中）下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可. 【详解】对A：在上是减函数，故A错误； 对B：在上是增函数，故B正确； 对C：的定义域为，故C错误； 对D：的定义域为，故D错误. 故选：B. 4．（2025高一上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列函数中，单调增区间和值域都是的选项是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得可对A判断求解；因函数定义域为则可对B判断求解；当时，则可对C判断求解；利用复合函数性质可得函数在区间上单调递增，且其值域也为，则可对D判断求解. 【详解】A：在上不单调，则与题意不符，故A错误； B：函数在区间上单调递增，函数值不可能为0，故B错误； C：在区间上单调递增，且当时取到最小值，故C错误； D：因函数与在区间上都单调递增，所以由复合函数性质可得函数在区间上单调递增，且其值域也为，故D正确. 故选：D. ( 知识点0 3 )已知函数解析式求单调区间 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 2．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的单调增区间是（ ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 4．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 5．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再分析内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 令，则在单调递增，在单调递减， 且在单调递减， 在单调递减，在单调递增. 故答案为：. ( 知识点0 4 )根据函数的单调性判断大小 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性比较即可. 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 3．（24-25高一下·湖南永州·阶段检测）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再比较自变量的大小，最后根据函数单调性即可得出函数值的大小关系. 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 4．（25-26高一上·山东聊城·期中）已知函数的定义域为，则“在区间上单调递减”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合函数单调性的定义判断. 【详解】若在区间上单调递减，且，则，充分性成立； 若，则在区间上不一定单调递减，如函数， ，满足，但在上单调递减，在上单调递增，故必要性不成立， 故“在区间上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义，结合二次函数的性质，即可得解. 【详解】由绝对值的几何意义可知，在数轴上表示到的距离比到1的距离更近， 而，该二次函数的对称轴为，且开口朝上，易知到对称轴的距离越近，函数值越小，故， 故答案为：. ( 知识点0 5 )定义法证明函数的单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 2．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数是一次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明. 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 【分析】（1）设一次函数，由条件列方程组即可得解； （2）将的解析式代入中，化简后利用函数单调性的定义进行判断和证明. 【详解】（1）设一次函数， 则，解得， 所以. （2）. 可判断在上单调递减，证明如下： 任取且，则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数是上的单调减函数. 3．（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）已知函数是奇函数，且， (1)求a，b值； (2)判断并根据定义证明函数在上的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析. 【分析】（1）根据题意可知，代入函数，可得的值； （2）用定义直接判断并证明函数在上的单调性. 【详解】（1）因为函数是奇函数，且，所以. 所以.解得，检验符合. （2）函数在上单调递增. 证明：设，且. 由（1）知， 所以. 因为，所以，即. 因为，所以. 所以，即. 所以函数在上单调递增. 4．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）把点代入函数解析式，求出的值，可得的解析式； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）利用函数单调性，可求函数在区间内的最值. 【详解】（1）由函数过点，有， 解得， 所以的解析式为：． （2）证明：，且， ． 由，得． 则，即． 所以在区间上单调递增． （3）由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为. ( 知识点0 6 )根据函数单调性解不等式 1．（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数是定义在上的减函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性结合函数的定义域列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的减函数，由， 得，解得. 故选：A． 2．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知定义在上的函数满足对任意的、，当时，成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知是上的增函数，由可得，解之即可. 【详解】不妨设，由可得，则， 所以函数是上的增函数， 则由，可得，即，解得或. 故原不等式的解集为. 故选：A. 3．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 4．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件构造新函数，判断新函数的单调性，由新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C ( 知识点0 7 )根据一次、反比例、二次函数的单调性求参 1．（25-26高二下·全国·期末）“”是“函数在上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 2．（2026·江苏·二模）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 3．（2026高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】从解析式中分离常数，利用反比例函数的性质求解. 【详解】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 4．（25-26高一上·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用二次函数的图像求解. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故答案：. 5．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次函数单调性结合定义域列式计算求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以或， 所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. ( 知识点0 8 )分段函数单调性求参 1．（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 2．（25-26高一上·海南省·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数及反比例函数的性质求解即可. 【详解】∵函数在上单调递减, 当时，单调递减， ，解得； 当时，单调递减， ； 又函数在上单调递减， ， 解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B． 3．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得在上单调递减，则函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为在上满足， 所以在上单调递减， 又，则，解得， 则实数的取值范围为. 故选：C 4．（25-26高一上·上海·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. ( 知识点0 9 )函数单调性的应用 1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 2．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】由题意可知存在唯一实数，使得，可得，进而解得，即可求. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数，且， 可知存在唯一实数，使得， 则，即， 可得，解得， 则，所以. 故选：C. 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 4．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 函数是定义在上的单调递减函数， 故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间， 而在上单调递减， 故在上的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 故答案为： 一、单选题 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（ ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 2．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 3．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可. 【详解】由题设，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C 4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 5．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】对于函数，其零点为， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此：的单调递减区间为，单调递增区间为， 又因为在区间上单调递减， 因此必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得，即实数的取值范围是. 6．（25-26高一上·内蒙古包头·期末）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的对称轴，依题意可得或，解得即可. 【详解】函数的对称轴为， 依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题 7．（25-26高一上·吉林辽源·期中）下列函数中，满足在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的图像与性质分析即可得出答案. 【详解】对于A：为开口向上的二次函数，对称轴为y轴，所以满足上单调递增； 对于B：为反比例函数，在上单调递减； 对于C：当时，，显然单调递增； 对于D：为一次函数，且斜率大于0，所以满足上单调递增， 故选：ACD. 8．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列结论不正确的是（ ） A．若定义在上的函数，有，则函数在上为增函数 B．函数在上是增函数，则函数的单调递增区间是 C．函数的单调递减区间是 D．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 【答案】ABC 【分析】根据单调性的定义、单调区间及最值的概念，对选项逐一分析，判断正误. 【详解】对于A，根据增函数的概念知，无法判断函数在上的增减性，例如，故A错误； 对于B，函数在上是增函数，则是单调递增区间的子区间，例如，故B错误； 对于C，一个函数的同一单调增区间或减区间不能用“”连接，故C错误； 对于D，根据单调函数在闭区间上的性质，函数的最值必在端点处取得，故D正确． 故选：ABC 三、填空题 9．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数的单调递增区间是_________． 【答案】， 【分析】利用分类讨论法解决含绝对值的二次函数单调性问题. 【详解】当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增； 当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增， 综上所述，的递增区间为，， 故答案为：，. 10．（25-26高一上·天津西青·期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 11．（25-26高一上·重庆·期中）画出下列函数的图象，并写出其单调区间. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据的图象由的图象在轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折所得，再根据图象可得单调区间； （2）根据的图象由的图象轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折所得，再根据图象可得单调区间； （3）先画出在上的图象，再往左翻折，再根据图象可得单调区间； （4）化简，再根据的图象进行平移变换可得图象，再根据图象可得单调区间. 【详解】（1）的图象由的图象轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折，可得如图： 故单调递减区间为，单调递增区间为. （2）的图象由的图象轴上半部分图象不变， 轴下半部分图象向上翻折，可得如图： 故单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）当时，，再往左翻折可得，可得如图： 故单调递减区间为和，单调递增区间为和. （4），其图象可由图象往左平移3个单位得到的图象， 再横坐标不变纵坐标变为原来的5倍得到的图象， 再向下平移1个单位可得，可得如图： 故单调递减区间为和，无单调递增区间. 12．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明见解析 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数. 证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 1．（2025高一·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【详解】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. 2．（25-26高一下·河北保定·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 3．（25-26高一上·河南商丘·阶段检测）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】变形给定函数，再利用反比例函数单调性，分类讨论求出单调区间，进而判断列式求解. 【详解】函数的定义域为， 当，即时，函数在上单调递减，不符合题意； 当，即时，为常数函数，不符合题意； 当，即时，函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，且， 因此，且，AC错误，BD正确. 故选：BD 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故答案为：. 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4， 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增； 当时，单调递增， 因为在上单调递增，只需，则， 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立； 当，即， 因为在上单调递增，所以成立； 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 1．（2002·江苏·高考真题）函数（ ） A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 【答案】B 【分析】先根据图象变换得f(x)图象，结合图象确定单调性. 【详解】f(x)图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 故选：B 【点睛】本题考查利用图象确定函数单调性、函数图象变换，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．（2001·全国·高考真题）设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（ ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数单调性定义证明②③正确，举反例说明①④错误. 【详解】对于命题①，令，均为增函数，而为减函数，①错误； 对于命题②，设，则，，∴，∴，故单调递增，命题②正确； 对于命题③，设，则，， ∴，∴，故单调递减，命题③正确. 对于命题④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误. 故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性，属于基础题. 3．（2007·福建·高考真题）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题为上的减函数，则， 解得或. 故选C. 本题主要考查函数单调性. 4．（2006·陕西·高考真题）已知函数，其图象上两点的横坐标，满足，且，则有（ ） A． B． C． D．，的大小不确定 【答案】C 【分析】根据函数，作差比较. 【详解】已知函数， 所以， ， ， 因为，， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查作差法比较函数值的大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．（2004·湖南·高考真题）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别讨论两个函数的单调性，是二次函数，由对称轴可得，，只要在上一定递减，两者结合可得． 【详解】对于，开口向下，对称轴为 若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：； 对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像： 此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是. 故选：D． 【点睛】本题考查函数的单调性，掌握二次函数与反比例函数的单调性是解题关键． 6．（2012·安徽·高考真题）若函数的单调递增区间是，则=________. 【答案】 【详解】由题可知要使函数的单调递增区间是，则，解得． 7．（2004·上海·高考真题）若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是_________________． 【答案】， 【分析】利用分段函数的单调性即可求解. 【详解】， 在上为增函数， ， 故答案为：， 8．（2010·江苏·高考真题）已知函数，则满足不等式的的范围是_________ 【答案】 【分析】分析函数的单调性，作出函数的图象，根据可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为，则函数在上为增函数， 且函数在上连续，作出函数的图象如下图所示： 因为，则，解得. 因此，满足不等式的的范围是. 故答案为：. 9．（2008·湖南·高考真题）已知函数． （1）若，则的定义域是___________； （2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________． 【答案】； 【分析】（1）利用具体函数定义域求法即可得到的定义域； （2）分类讨论与两种情况，结合的取值范围与单调性即可得解. 【详解】（1）因为，，所以，即，故， 所以的定义域为； （2）当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是减函数，同时恒成立，即， 因为，即，所以在上是减函数显然成立，此时，则，得，故； 当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是增函数，同时恒成立， 所以，即，此时显然成立； 综上：或，即. 故答案为：；. 10．（2000·全国·高考真题）设函数，其中． (1)解不等式； (2)证明：当时，函数在区间上是单调函数． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题知，进而得，将问题转化为，再分，两种情况讨论求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）解：，等价于， 所以，，即，其中 所以， 所以，原不等式等价于， 所以，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）解：当时，， 设，且， 所以 ， 因为且， 所以，，， 所以，，即， 所以，当时，函数在区间上是单调递减函数. 12 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $