3.1.1 函数的概念 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，通过基础与提升两层递进巩固函数概念，覆盖定义域、值域等核心知识点，融合抽象能力、推理意识与模型观念，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|函数概念辨析、定义域求解、函数值及值域基础运算|以选择、填空为主，改编教材习题，结合期中真题，强化概念理解与基本技能，如函数定义的图象判断、简单复合函数定义域| |能力提升练|复合函数定义域、抽象函数性质、实际问题函数建模|含综合选择、解答题，涉及数形结合（如二次函数值域）、分类讨论（如参数定义域），提升逻辑推理与数学应用能力，如玻璃容器排水问题的函数关系分析|

第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 基础过关练 题组一　函数的概念 1.(2026江苏苏州实验中学期中)集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不能表示从A到B的函数的是(　　) A. f:x→y=x　　B. f:x→y=x C. f:x→y=x　　D. f:x→y= 2.(教材习题改编)下列各组函数表示同一个函数的是　(　　) A. f(x)=与g(x)=x B. f(x)=x与g(x)= C. f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1 D. f(x)=·与g(x)= 3.(2026江西抚州期中)设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},在下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的是(　　) 　　　 A.①②③④　　B.①②③　　C.②③　　D.②④ 题组二　函数的定义域 4.(2026河北沧州期末)函数f(x)=的定义域为(　　) A.(-∞,2]　　B.(-∞,2)　　 C.∪　　D.∪ 5.函数f(x)=的定义域为　　　　.  6.(2026四川成都实外月考)如图,某小区有一块底边和该底边上的高均为40 m的锐角三角形空地,现计划在空地内种植一边长为x m的矩形草坪(阴影部分),则草坪面积S(单位:m2)关于x的函数关系为　　　　　　　　　,若要求草坪面积不小于336 m2,则x的取值范围为　　　　.  题组三　函数值及函数的值域 7.(2026北京八一学校月考)下列函数中,值域为(0,+∞)的是(　　) A.y=x+　　B.y=x2+x+1 C.y=　　D.y= 8.(2026四川成都双流立格实验学校月考)函数G(n)=2n+1,n∈{1,2,3}的值域是　　　　.  9.(2026山东淄博实验中学月考)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(0)=　　　　.  10.(2026四川巴中第三中学期中)函数g(t)=-2t2-t+4在[0,+∞)上的值域为　　　　.  11.(2026河南名校期中大联考)函数f(x)=在区间上的值域为　　　　.  能力提升练 题组一　函数的概念 1.(2026广东东莞期末)定义域为R的函数y=f(x),其图象与y轴的交点个数为(　　) A.0　　B.1　　 C.2　　D.不确定 2.(2025河南郑州中学月考)已知函数f(x)的定义域为R,则下列等式成立的是(　　) A. f(x2)=x3　　B. f(x2+1)=|x+1| C. f(x2+x)=|x|　　D. f(|x|)=x2+1 题组二　函数的定义域 3.(2026江苏泰州中学期中)已知函数f(x+2)的定义域为(-3,4),则函数g(x)=的定义域为(　　) A.(-4,3)　　B.(-2,5)　　 C.　　D. 4.(2025黑龙江鹤岗第一中学期中)已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1]　　B.(0,+∞)　　 C.[1,+∞)　　D.[0,1] 5.(2026广东珠海期中)已知函数f(x)=x2-2x-3的定义域为[a,b],值域为[-4,5],则实数对(a,b)不可能为(　　) A.(-2,4)　　B.(-2,1)　　 C.(1,4)　　D.(-1,1) 6.(2025上海长宁段考)已知函数f(x)=的值域为(-1,0)∪(0,+∞),则函数f(x)的定义域为　　　　　　　　.  题组三　函数值及函数的值域 7.(2026重庆八中期中)函数f(x)=-x,x∈(2,6]的值域为(　　) A.　　B.　　 C.[-4,-2]　　D.[-4,-2) 8.(2026广东湛江八校联考)若函数f(x)=的最大值为a,最小值为b,则a+b=(　　) A.4　　B.6　　C.7　　D.8 9.(2025辽宁沈阳第一二○中学质量监测)已知函数f(x)=(1≤x≤2),则函数g(x)=2f(x)+f(x2)的值域为(　　) A.[3,2+2]　　B.　　 C.　　D. 10.(2026江苏百校大联考)函数f(x)=+的值域是(　　) A.[0,2]　　B.[1,2]　　C.[,2]　　D.[2,+∞) 11.(2026山东日照第一中学月考)已知函数f(x)的定义域为R,若f(x-2)=f(x+4)-6, f(3)=2,则f(2 025)=　　　　.  12.(2026山东省实验中学期中)已知函数f(x)=x-1,g(x)=kx2-(2k+1)x+k+1,其中k>1.若对任意的x1∈[2,4],存在x2∈[2,4],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数k的值等于　　　　.  13.(2026山西大同期中)下图是由两个高为H的圆锥(去掉底面)构成的玻璃容器,装满水,其底部装有一个排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,在t时刻,水面的高度为h,水面对应圆的直径为d,则下列说法错误的是(　　) A.h是d的函数　　B.d是t的函数 C.h是t的函数　　D.d是h的函数 答案 第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 基础过关练 1.C　解题要点:①函数值域均为集合B的子集;②对每一个x,有唯一确定的y与其对应. 对于A,D,当0≤x≤4时,0≤y≤2,且对每一个x,有唯一确定的y与其对应,故能表示从A到B的函数; 对于B,当0≤x≤4时,0≤y≤,因为⊆[0,2],且对每一个x,有唯一确定的y与其对应,所以能表示从A到B的函数; 对于C,当0≤x≤4时,0≤y≤,因为⊇[0,2],所以不能表示从A到B的函数. 2.C　分别判断f(x)和g(x)的定义域和对应关系是否相同. 对于A,函数f(x)与g(x)的定义域均为(-∞,0], f(x)=-x,g(x)=x,对应关系不同,所以不是同一个函数; 对于B, f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},定义域不同,所以不是同一个函数; 对于C,定义域和对应关系均相同,所以是同一个函数; 对于D,由解得x≥1,所以函数f(x)的定义域为[1,+∞),由(x+1)(x-1)≥0,解得x≤-1或x≥1,所以函数g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不同,所以不是同一个函数. 3.C　①中函数的定义域不是集合M,所以①不正确; ②中函数的定义域为集合M,值域为集合N,能表示集合M到集合N的函数关系,所以②正确; ③中集合M的每个元素在集合N中都有唯一的函数值与之对应,所以③正确; ④中集合M的部分元素在集合N中对应两个函数值,不符合函数的定义,所以④不正确. 4.D　由题意知解得x<2且x≠,所以函数f(x)的定义域为∪. 5.答案　∪(0,+∞) 解析　由题意可得解得x≥-且x≠0,所以定义域为∪(0,+∞). 6.答案　S=-x2+40x(0<x<40);{x|12≤x≤28} 解析　设矩形另一边的长为y m, 由三角形相似得=, 所以x+y=40, 所以S=xy=x(40-x)=-x2+40x(0<x<40), 令-x2+40x≥336,解得12≤x≤28. 7.D　对于A,当x>0时,y=x+≥2=2(基本不等式求值域),当且仅当x=1时取等号; 当x<0时,y=x+=-≤-2=-2,当且仅当x=-1时取等号. 综上,y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故A错误. 对于B,y=x2+x+1=+≥(配方法求值域),则其值域为,故B错误. 对于C,因为x2+1≥1,所以y=的值域为(0,1],故C错误. 对于D,易知y=的定义域为(0,+∞),所以y=的值域为(0,+∞),故D正确. 8.答案　{3,5,7} 解析　将n=1,2,3分别代入G(n)=2n+1,可得G(1)=2×1+1=3,G(2)=2×2+1=5,G(3)=2×3+1=7. 所以函数G(n)的值域为{3,5,7}. 9.答案　2 解析　在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中,令x=1,y=0(抽象函数赋值法),可得f(1)+f(1)=f(1)f(0), 又f(1)=1,所以f(0)=2. 10.答案　(-∞,4] 解析　g(t)=-2t2-t+4的图象开口向下,对称轴方程为t=-, 由二次函数的性质知,当t≥0时, g(t)max=g(0)=4, 所以g(t)的值域为(-∞,4]. 11.答案　 解析　f(x)===1-,因为≤x≤2,所以≤x+1≤3, 所以≤≤,所以-≤-≤-,所以-≤1-≤, 即-≤f(x)≤, 所以f(x)的值域为. 能力提升练 1.B　根据函数的定义,当自变量x=0时,有唯一确定的y的值与之对应,所以该函数的图象与y轴的交点个数为1. 2.D　对于A,当x=1时, f(1)=1,当x=-1时, f(1)=-1,与函数的定义不符,故A不成立; 对于B,当x=1时, f(2)=2,当x=-1时, f(2)=0,与函数的定义不符,故B不成立; 对于C,令x=0,则f(0)=0,令x=-1,则f(0)=1,与函数的定义不符,故C不成立; 对于D, f(|x|)=x2+1=|x|2+1,故∀x∈R, f(x)唯一确定,符合函数的定义,故D成立. 3.D　因为函数f(x+2)的定义域为(-3,4)(点拨:给出的是x+2中x的范围),所以函数f(x)的定义域为(-1,6)(点拨:对应x+2的范围), 对于函数g(x)=,需满足解得<x<5,即所求定义域为. 4.D　问题转化为ax2-2ax+1≥0恒成立,分a=0与a≠0讨论. 当a=0时(易错点),1≥0恒成立,满足题意; 当a≠0时,有解得0<a≤1. 综上,a的取值范围是[0,1]. 5.D　画出f(x)=x2-2x-3的图象,如图所示(数形结合法): f(-2)=f(4)=5, f(1)=-4, 当f(x)=x2-2x-3的定义域为[a,b],值域为[-4,5]时, 根据选项可知实数对(a,b)可能为(-2,4),(-2,1),(1,4),不可能为(-1,1). 6.答案　(-∞,0)∪(1,+∞) 解析　令>0,解得x>1, 令-1<<0,解得x<0, 则f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). 7.B　令t=,则t2=x-2,x=t2+2,由x∈(2,6]得t∈(0,2], 因此原函数化为g(t)=-t2+t-2,t∈(0,2]. 易知g(t)=-t2+t-2的图象开口向下,对称轴方程为t=,且g=-,g(2)=-4,g(0)=-2, 可得g(t)∈,即f(x)的值域为. 8.B　设y=,则yx2+y=3x2+x+3,即(y-3)x2-x+y-3=0,将其看作关于x的一元二次方程. 当y=3时,x=0,当y≠3时,因为该方程有解,所以Δ=1-4(y-3)2≥0,解得≤y≤,即≤y≤且y≠3. 综上,≤y≤,即f(x)的最大值是,最小值是,即a=,b=,a+b=6. 9.D　由题可知f(x)的定义域为[1,2], ∴解得1≤x≤(易错点:注意定义域的变化),∴g(x)=2f(x)+f(x2)=+(1≤x≤). 令t=,则≤t≤1,∴g(x)=+可转化为h(t)=t2+2t=(t+1)2-1. 由函数y=h(t)的图象知,当≤t≤1时,h≤h(t)≤h(1),即+≤h(t)≤3. ∴函数g(x)=2f(x)+f(x2)的值域为. 10.C　∵f(x)=+, ∴∴-1≤x≤1, 设y=f(x)=+,则y≥0, 可得y2=(+)2=1-x+1+x+2=2+2, ∵-1≤x≤1,∴0≤1-x2≤1, ∴0≤2≤2, ∴2≤2+2≤4,即2≤y2≤4, ∵y≥0,∴≤y≤2, ∴f(x)=+的值域为[,2]. 11.答案　2 024 解析　∵f(x-2)=f(x+4)-6, ∴f(x+4)=f(x-2)+6,即f(x+6)=f(x)+6, ∴f(2 025)=f(2 019)+6=f(2 013)+2×6=…=f(3)+337×6=2 024(因为2 025=337×6+3,所以经过了337次递推). 12.答案　 解析　当x∈[2,4]时, f(x)=x-1∈[1,3],则f(x)≠0. 对于g(x)=kx2-(2k+1)x+k+1,k>1,易知其图象开口向上,对称轴方程为x==1+, 由k>1可得1<1+<. 当x∈[2,4]时,g(x)∈[k-1,9k-3],则g(x)≠0. 由f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)可得=(将自变量相同的函数移到同一侧),令h(x)=,x∈[2,4],则对任意的x1∈[2,4],存在x2∈[2,4],使得h(x1)=. h(x)====kx-k-1, 因为k>1,所以h(x)=kx-k-1在[2,4]上的值域为[k-1,3k-1],则在[2,4]上的值域为,依题意有[k-1,3k-1]⊆(关键点:根据任意和存在关系,转化为值域的包含关系), 故≤k-1<3k-1≤,又k-1>0且3k-1>0,故可得(k-1)(3k-1)=1,得3k2-4k=0,故k=0(舍去)或k=. 13.A　当水面对应圆的直径d确定时,水面的高度h有两种可能,即d的一个值可能对应两个h的值,故h不是d的函数,故A错误; 当时间t确定时,水面对应圆的直径d唯一确定,水面的高度h也唯一确定,故d是t的函数,h是t的函数,故B,C正确; 当水面高度h确定时,水面对应圆的直径d唯一确定,故d是h的函数,故D正确. 7 学科网（北京）股份有限公司 $