精品解析：河南信阳高级中学（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期7月期末测试数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由 ，化简得到求解. 【详解】解：因为复数 满足 ， 所以， 所以的虚部为-3， 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的坐标，再利用夹角公式求解. 【详解】因为向量， 所以， 所以， 故选：A 4. 已知，则（    ） A. -3 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式、商数关系求得，然后由两角差的正切公式计算． 【详解】因为，所以，即， ． 故选：C． 5. 将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性转化焦半径之和，结合已知条件构造关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的长轴为，分成6等份时5个分点的横坐标依次是： ， 对应点和，和关于轴对称， 右焦点，左焦点， 由椭圆定义可知， 由对称性可得， ， 已知， ，故， ，故， ． 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 令，得，此时， 所以图象的对称中心是. 7. 在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为. 8. 已知，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质、对数函数的单调性，结合构造函数法、导数的性质进行运算比较即可. 【详解】.因为， 所以，即，所以. 构造函数， 求导得，故在单调递增. 因此，即. 令，得，得证. 构选函数，求导得， 因为，所以，所以在单调递减， 当时，. 令，得，由 故.综上，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用举反例来判断AC，利用不等式性质来判断BD. 【详解】当时，，此时，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 当时，，此时，故C错误； 因为，所以，则由两边同时除以，即可得，故D正确； 故选：BD 10. 已知四棱锥中，为的中点，平面平面，，且.则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为2 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解A,B,D选项，再根据三棱锥体积公式求解C选项， 【详解】 建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，方向为轴. 根据已知条件，平面，平面， 可得各点坐标，为中点，故. 选项A.向量，平面为平面，其法向量为.  ，故，且不在平面内， 因此平面，A正确. 选项B.平面​中，，设法向量为， 则​，取得. 平面​中，，设法向量为， 则​，取得. ，故法向量垂直，因此平面平面​，B正确. 选项C.因为平面平面，所以. 因为，平面，所以平面. 则到平面​的距离为； ​的面积， 因此体积，C错误. 选项D.设直线与平面所成角为，直线方向向量，平面法向量， 由线面角性质， 因此，D正确. 11. 在一块木板上绘制平面直角坐标系，在四点处钉上四枚钉子，将长度为10的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则（ ） A. 轨迹上任意一点到原点距离的最大值为3 B. 轨迹上任意一点到原点距离的最小值为 C. 轨迹的面积大于20 D. 直线与轨迹最多有2个公共点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由于四边形为正方形，周长为8，故细绳还剩下长度2，所以根据笔尖的轨迹为8段椭圆弧线拼接而成，以此就可判断ABCD四个选项. 【详解】如图所示， 由于四边形为正方形，正方形周长为8，而绳环长为10，故笔尖的轨迹为8段椭圆弧线拼接而成, 分界点为正方形各边所在直线与椭圆弧线交点，理由如下： 设笔尖为点，那么当点沿着点到点运动时，此时轨迹分为两段：和, 其中第一段为以点,点为焦点的椭圆弧线,射线交椭圆弧线于点，且;第二段为以点、点为焦点的椭圆弧线， 且，边界为直线与椭圆的交点,与轴交点为点； 当点沿着点到点运动时， 此时轨迹分为两段：和.其中第一段为以点, 点为焦点的椭圆弧线,射线交椭圆弧线于点， 且;第二段为以点、点为焦点的椭圆弧线,椭圆弧线与轴交点于点，且； 当点沿着点到点运动时,情况与点沿着点到点运动相同,用相似的方法作出椭圆弧线和； 当点沿着点到点运动时, 情况与点沿着点到点运动相同,用相似的方法作出椭圆弧线和. 对于A选项， 根据轨迹对称性可知，当笔尖在和上运动时，点到原点距离最大， 点为与轴交点，,；其他部分与、情况相同，故A错误； 对于B选项, 根据轨迹对称性可知,当笔尖在以点,点为焦点的椭圆弧线上运动时， 射线交椭圆弧线于点，笔尖运动到点Q时，到原点距离最小， 由于，椭圆方程为 射线方程为，联立得， 所以，,笔尖运动到点Q时，到原点距离最小， ,故轨迹上任意一点到原点距离的最小值为，所以,选项B正确; 对于C选项, 如图所示，轨迹的面积大于八边形面积， 由于,解得 根据轨迹对称性可知四边形为等腰梯形，四边形为矩形 ， 所以C正确； 对于选项D，直线是与直线平行或重合的直线系， 由于轨迹为8段椭圆弧线首尾相接而成，处处光滑，且没有线段部分， 故直线轨迹最多有2个公共点，所以D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中第7项是常数项，则n的值是_____. 【答案】9 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，得第7项的指数，利用指数为0，求出的值. 【详解】设二项式的展开式的通项为 为常数项，，解得： 故答案为：9 【点睛】本题主要考查了学生对二项式展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题. 13. 已知是边长为8的等边三角形，点D在边上（异于B，C），若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理推导与的比值，结合长度求出，再在中通过余弦定理计算即可. 【详解】在与中，由正弦定理，，， 因为为等边三角形，故，即， 因此 ，又 ，解得， 在中，由余弦定理， ， 故. 14. 已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】易知，当时将方程变形为，令，，由可得关于对称，由题意可得有两个实数根，即函数与有两个交点，进而得出，，代入，利用一元二次函数的性质可得答案． 【详解】由题意得， 所以是函数的一个零点， 当时，令，可得， 令，， ， 所以关于对称， 若要函数有三个不同的零点， 则需满足方程有两个实数根， 即函数与有两个交点，且两交点关于直线对称， 又，可得，， 所以， 当且仅当，，时，等号成立， 此时的最小值为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）设，证明：是等差数列； （2）设数列的前项和为，求． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，则即可证明是等差数列； （2）由（1）知，通过裂项相消法即可求得数列的前项和为. 【小问1详解】 由得， ，，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以数列的前项和为， 所以 16. 如图1，在中，，点，D是的三等分点，点，C是的三等分点．分别沿和DC将和翻折，使平面平面ABCD，且平面ABCD，得到几何体，作于E，连接AE，，如图2． （1）证明：图2中，； （2）在图2中，若，求直线与平面ADE所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，在翻折前，点D，C分别是，的三等分点，所以，在四边形ABCD中，，所以， 因为，所以平面，又平面，所以， 又因为，，所以平面ADE，由平面ADE得． （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面ADE来证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面ADE所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 如图，由，不妨设，，则，，，， 又由（1）知，平面ADE的一个法向量为， 设直线与平面ADE所成的角为，则， 所以直线与平面ADE所成角的正弦值为． 17. 已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求出即可； （2）直线，联立双曲线方程，结合韦达定理表示出化简即可得解. 【小问1详解】 由渐近线方程为得， 左顶点坐标为，则点到渐近线的距离， 解得，则， 双曲线的标准方程为 【小问2详解】 设点， 依题意知直线的斜率不为0，设直线，与双曲线联立， 化简得， 则，， 根据韦达定理，可得 点坐标为 直线与直线的交点坐标为， 同理可得点. 18. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）（i）求出函数及导数，分离参数并构造函数，探讨函数性质即可推理得证；（ii）由（i）中信息，构造函数，探讨函数在上的单调性，推理得证. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）函数，求导得， 令，得， 设，求导得，， 令，得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 于是，由有两个极值点，得方程有两个实根， 即有两个实根，则. （ii）由（i）知，是方程的两个实根，即，且， 设，求导得， 令，则当时，， 即函数在上单调递增，则，即当时，， 于是函数在上单调递增，则，因此， 则，即，而，又在上单调递减， 因此，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； ③适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； ④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记为事件“”. （1）写出（用表示，组合数不必计算）； （2）研究团队发现概率与参数之间的关系为.在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知随机变量，然后利用二项分布的概率公式求解； （2）设事件，再根据频数分布图和二项分布的概率公式可求出，令，化简后利用导数可求出其最大值，并求出此时的，代入中可求得. 【小问1详解】 由题知随机变量，所以. 【小问2详解】 设事件，由题图可知， 则， 即. 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时，取得最大值，即取得最大值， 所以，即， 解得或， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的概率公式的应用，考查独立事件的概率，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据二项分布的概率公式表示出，然后构造函数，利用导数求出其最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（    ） A. -3 B. 3 C. D. 5. 将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知四棱锥中，为的中点，平面平面，，且.则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为2 D. 直线与平面所成角的余弦值为 11. 在一块木板上绘制平面直角坐标系，在四点处钉上四枚钉子，将长度为10的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则（ ） A. 轨迹上任意一点到原点距离的最大值为3 B. 轨迹上任意一点到原点距离的最小值为 C. 轨迹的面积大于20 D. 直线与轨迹最多有2个公共点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中第7项是常数项，则n的值是_____. 13. 已知是边长为8的等边三角形，点D在边上（异于B，C），若，则__________． 14. 已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）设，证明：是等差数列； （2）设数列的前项和为，求． 16. 如图1，在中，，点，D是的三等分点，点，C是的三等分点．分别沿和DC将和翻折，使平面平面ABCD，且平面ABCD，得到几何体，作于E，连接AE，，如图2． （1）证明：图2中，； （2）在图2中，若，求直线与平面ADE所成角的正弦值． 17. 已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 18. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 19. 某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记为事件“”. （1）写出（用表示，组合数不必计算）； （2）研究团队发现概率与参数之间的关系为.在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $