精品解析：河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期6月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算结合共轭复数求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，∴ ， 解得， 又， ∴ . ∵，即，解得， 又，∴ . ∴. 3. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为q，由，得， 则，而，解得， 由，得，即，所以. 4. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，同理， 所以. 5. 已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图像，得到，再在中，求得，从而得到，代入直线的方程可得到，由此可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意知， 由为等腰三角形，且，得， 过作垂直轴于，如图所示， 则在中，，故，， 所以，即，代入直线的方程， 得，即，所以所求的椭圆离心率为. 故选：B. 6. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答. 【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 7. 正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设正四面体的棱长为，连接各棱中点形成的正八面体的棱长为. 根据题意，正八面体相对顶点连线，由于正八面体可内接于正方体， 其体对角线（相对顶点连线）等于棱长的倍，故有： ，解得. 正四面体的高公式为，将代入得： . 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【详解】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用数据的和差积商性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D. 【详解】对于A，因随机变量，则，由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B，由事件，相互独立可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，， 对于数据，，，， 其均值为， 其方差为，故C正确； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 10. 若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（ ） A. 直线与是异面直线 B. C. 若，则 D. 若为的中点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用反证法可判断A选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断BC选项；证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线， 即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对； 对于B选项，由题意可知，，， 所以 ，B错； 对于C选项，， 所以 ，故，C错； 对于D选项，由题意可知，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，所以，同理可证，故，D对. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，只有一个零点 B. 当时，在定义域内单调递增 C. 对于任意实数的图象都是中心对称图形 D. 若存在极值点，则一定存在两个 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，将代入，由对数函数的性质求解即可；对于B选项，将代入，求导，再由函数定义域求解即可；对于C选项，由函数中心对称的定义求解即可；对于D选项，由极值点条件，有解，且解两侧导数变号求解即可. 【详解】对于A选项，将代入可得，， 此时的定义域为，解得， 当时，即，解得， 所以当时，只有一个零点，故A正确； 对于B选项，当时，， ，因为， 所以，故，所以当时，在定义域内单调递减，故B错误； 对于C选项，因为函数的定义域为， ， ， 所以， 所以对称中心为，故C正确； 对于D选项，，， 当时，解得，令，， 当时，，所以，所以当时，无解，无极值点； 当时，的解为，但在两侧均有，不变号，非极值点； 当时，有两个解，在上单调递减，在单调递增，最小值为， 所以当时，存在两个极值点，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为是周期为2的偶函数，所以， 因为当时，，所以. 13. 在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算以及平面向量基本定理求解即可. 【详解】如图所示， 因为点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，所以，所以. 14. 设数列，满足，，记，则m的整数部分是________. 【答案】1 【解析】 【分析】先判断数列的单调性，然后利用裂项相消法、结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】，，知. 由，且，知数列单调递增， 由，知， 得，所以， ， 由数列单调递增，，，得，， 得到，， 则的整数部分为1. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）若，求的面积； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将条件化简得到，由，求出及，即可根据三角形的面积公式求出的面积； （2）由可得或，在的条件下求出和的取值范围，将化为二次函数形式，再求出其值域即可. 【小问1详解】 因为， 则， 即， 化简可得． 若，则，因为，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以或． ①若，由可得，与矛盾，故舍去； ②若，则， 若，则，解得，则． 则此时， 设，则， 可知当时，取到最小值；当时，； 当时，， 因为，所以， 即的取值范围为． 16. 树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. （1）求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； （2）记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为分别求出，，，由题意得到的所有可能取值，分别求出每个可能取值的概率，求出的分布列和数学期望. 【小问1详解】 记随机选择甲､乙､丙的事件分别为，进入第二轮的事件记为， 则， 由题意得， 所以 . 【小问2详解】 记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为 则 由题意得的所有可能取值为 则 . . 所以的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望为. 17. 已知函数图象关于点对称． （1）求a，b； （2）若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据代入函数解析式，对比系数即可求解； （2）将问题转化为与有三个交点，利用导数研究的单调性，极值和图像即可求解. 【小问1详解】 因为函数图象关于对称， 所以，故， 化简可得， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）可知，函数，所以， 设切点坐标为， 所以切线方程为，因为切线过点， 所以，即， 令，则， 令，解得，或． 当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 1 0 0 单调递减 单调递增 0 单调递减 因此，当时，有极小值； 当时，有极大值． 过点存在3条直线与曲线相切，等价于 关于x的方程有三个不同的根，则， 所以实数m的取值范围是． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN． （1）当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积； （2）在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离； （3）在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用外心性质确定三棱锥外接球球心位置与半径，再代入球的表面积公式计算； （2）通过建立空间直角坐标系，用二面角参数表示点坐标，利用法向量垂直条件求解二面角，再用向量投影公式求点到平面的距离； （3）用参数表示线段上的点，结合法向量垂直条件确定，再根据向量关系列方程求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 的外心为AB中点的外心为CP中点， 取线段AC中点，则 设三棱锥外接球的球心为点，则平面平面ACP，． 【小问2详解】 以点为原点，的方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系． ，设二面角的平面角为，则． 设平面ACP的法向量为，平面ACN的法向量为， 由， 解得． 由平面平面ACN，可得，解得． 点为线段PB上靠近点的三等分点，可得 由，解得 即二面角的平面角为 此时 点到平面ACP的距离 【小问3详解】 已知，点横坐标为1． 点在yoz平面上，所以点横坐标为0． 可得． 设， 由（2）得平面ACN的法向量． 由，解得 即． 根据条件，得，解得 在翻折过程中，存在，此时平面ACP与平面ABC所成角的余弦值为 19. 已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. （1）求双曲线E的方程； （2）过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出，再代点求解得到双曲线的标准方程. （2）（i）根据题意，过双曲线E上点M的切线，利用斜率公式直接化简可得； （ii）由，故，因为，，又因为，代入，求得. 【小问1详解】 因为双曲线离心率为， 则， 又因为过点，则，得， 所以双曲线E的方程为； 【小问2详解】 （i）根据题意，点，过双曲线E上点M的切线， 则，， 所以，，， 则， 则； （ii）由， 故， 又（为点到直线l的距离）， 则， 因为，， 又因为，代入， 得，又因为， 化简得， 即， 则， 可得， 因为， 所以， 即，因为点不可能为双曲线顶点，即， 又，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 4. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10. 若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（ ） A. 直线与是异面直线 B. C. 若，则 D. 若为的中点，则 11. 设函数，则（ ） A. 当时，只有一个零点 B. 当时，在定义域内单调递增 C. 对于任意实数的图象都是中心对称图形 D. 若存在极值点，则一定存在两个 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________． 13. 在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则______． 14. 设数列，满足，，记，则m的整数部分是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）若，求的面积； （2）若，求的取值范围． 16. 树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. （1）求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； （2）记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 17. 已知函数图象关于点对称． （1）求a，b； （2）若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN． （1）当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积； （2）在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离； （3）在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. （1）求双曲线E的方程； （2）过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $