精品解析：河南省部分普通高中2025-2026学年高二下学期7月期末联考数学试题

秘密★启用前 试题卷类型：A 2026年7月河南省普通高中高二年级期末联考 数学 本试题卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 0或1 2. 已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 3. 在等腰直角三角形中，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是无穷等差数列，“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线离心率为2，左焦点为，右顶点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某短视频平台视频投放数量（单位：条）与用户总点赞数（单位：万次）之间的关系，运营部收集了12个月的数据，计算得出线性回归方程为．已知月平均投放数量，月平均点赞数，则（ ） A. 线性回归方程过点 B. C. 与呈正相关 D. 当投放数量为30条时，当月点赞数一定为170万次 10. 已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（ ） A. 是最小正周期为偶函数 B. 的值域为 C. D. 11. 已知正方体的棱长为6， ， ， 分别为 ， ，的中点， 为正方形内一点（包含边界）．下列说法正确的是（ ） A. 经过 ， ， 三点的截面形状为四边形 B. 点到经过 ， ， 三点的截面的距离为 C. 存在点 ，使得点和点 到平面的距离相等 D. 三棱柱 外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中的常数项是________． 13. 已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 14. 已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若边上的高为，，求，． 17. 某公司研发了一款新型智能机器人，一经投放市场颇受欢迎，为了更好地服务广大用户，该公司对这款机器人的某个性能指数x（）与用户的喜欢程度y（）进行调查统计，得到如下数据表： x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，利用相关系数r，判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱（当时，x与y的相关性很强）； （2）这款智能机器人的交互性很强，用户可通过语音给机器人发布指令，机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为90%；当机器人执行命令错误时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果不满意，求机器人实际正确执行命令的概率（精确到0.01）； （3）该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题，共准备了4道高难度的问题，若机器人答对的题数不小于3，则挑战成功．已知机器人答对前两道题的概率均为p，答对后两道题的概率均为q，每次答题结果互不影响．当时，求机器人挑战成功的概率的最大值． 附：相关系数． 18. 已知动点到定点的距离比到轴距离大1，记动点的轨迹为曲线. （1）求轨迹的方程； （2）过的直线交曲线于，曲线在点处的切线相交于点. ①证明：； ②时，求的面积. 19. 已知函数（），． （1）讨论函数的单调性； （2）若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； （3）当时，证明：对任意的，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 试题卷类型：A 2026年7月河南省普通高中高二年级期末联考 数学 本试题卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，列式，再检验集合中元素是否满足互异性. 【详解】由条件，则或， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，或（舍）， 所以. 2. 已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，则. 3. 在等腰直角三角形中，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求向量的模长平方，利用向量数量积运算律展开后代入已知的边长、夹角条件计算，再开方得到结果. 【详解】已知等腰直角中，，， 因此，且与的夹角为，故. 所以  ， 因此. 4. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 5. 已知是无穷等差数列，“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则， 但不存在正整数，使得，故必要性不成立， 则“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的充分不必要条件. 6. 已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过几何关系建立圆锥体积关于高的函数表达式，再利用导数求解函数最大值，需明确变量的实际取值范围. 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，已知球的半径. ∵ 圆锥内接于球，球心到圆锥底面的距离为， ∴ 由勾股定理可得 ，整理得 ，其中的取值范围为. 根据圆锥体积公式 ，将代入得：. 对关于求导，得 . 令，解得 或 （不符合实际意义，舍去）. ∵ 当 时，，单调递增；当 时，，单调递减， ∴ 当时，取得最大值，代入得： . 故正确选项为B. 【点睛】方法归纳：求解几何体内接几何体的最值问题，通常先结合几何关系建立目标函数，再利用导数或基本不等式求解最值，需注意变量的实际取值范围，避免无意义解. 7. 已知双曲线离心率为2，左焦点为，右顶点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，及渐近线方程，再计算出圆心到其中一条渐近线的距离，从而得到弦长，最后利用余弦定理求解. 【详解】由题可知，则，渐近线方程. ,则，圆的半径. 圆心到一条渐近线的距离：， 则， 在中，由余弦定理可得： 8. 已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某短视频平台视频投放数量（单位：条）与用户总点赞数（单位：万次）之间的关系，运营部收集了12个月的数据，计算得出线性回归方程为．已知月平均投放数量，月平均点赞数，则（ ） A. 线性回归方程过点 B. C. 与呈正相关 D. 当投放数量为30条时，当月点赞数一定为170万次 【答案】ABC 【解析】 【详解】由回归直线的性质可知A正确， 把点代入到，得，故B正确， ，与呈正相关，故C正确， 当投放数量为30条时，，当月点赞数估计为170万次，故D错误. 10. 已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（ ） A. 是最小正周期为偶函数 B. 的值域为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由奇偶性与周期性的定义计算可判断A；利用二倍角的余弦与换元法求得的值域判断B；由题意得，结合余弦函数的牟称性可判断C；结合C选项求得判断D. 【详解】选项A：，所以是偶函数； 又，因此最小正周期是不是，故A错误； 选项B：， 令，则. 当时， 当时，为.故B正确； 选项C： 令，即， 解得（另一根，舍去）. 在内，（其中）的两个根， 满足（余弦函数的对称性），故C正确， 选项D，由方程， 根据C选项可知，但只有符合， 所以，故D错误. 11. 已知正方体的棱长为6， ， ， 分别为 ， ，的中点， 为正方形内一点（包含边界）．下列说法正确的是（ ） A. 经过 ， ， 三点的截面形状为四边形 B. 点到经过 ， ， 三点的截面的距离为 C. 存在点 ，使得点和点 到平面的距离相等 D. 三棱柱 外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，在正方体的后面做一个等大的正方体，连接得到 ，取的中点，连接，得到 ，连接 ， ，连接 ，得到四边形 为经过 ， ， 三点的截面；选项B，求出平面 的法向量为，利用公式求解；选项C，利用线段 的中点四点共面求解；选项D，利用直三棱柱的性质确定球心，进而求出球半径，利用球的表面积公式求解. 【详解】选项A，在正方体的后面做一个等大的正方体， 因为 为 的中点，所以 ， 连接， ，取的中点，连接，则 ， 连接 ， ，连接 ， 则四边形 为经过，， 三点的截面，其形状为四边形，故选项A正确； 选项B，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面 的法向量为， 则，即，取 ，则 ， 则平面 的法向量为， ，，， 设点到平面 的距离为 ， 则，故选项B错误； 选项C，若点和点到平面的距离相等， 满足两种情况，平面 直线 ，或平面过 的中点， 记线段 的中点为，设，， 则四点共面的条件为， 即， 即，解得 ， 因为 为正方形内一点（包含边界）， 所以 ， 所以 的点全部落在正方形内， 例如取，即可满足条件， 因此存在点 ，使得点和点到平面的距离相等，故选项C正确； 选项D，因为三棱柱 是直三棱柱，底面 是直角三角形， 所以三棱柱 外接球的球心为上下底面直角三角形斜边中点连线的中点， 因为下底面斜边 的中点为， 上底面斜边 的中点为， 所以球心为，球半径为， 所以三棱柱 外接球的表面积为 ，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中的常数项是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为展开式的通项为 ， 的幂指数为 ，令其为0得，非整数，故常数项不存在，系数为0. 13. 已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的第三定义得到即可求解. 【详解】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点， 又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率为. 14. 已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得． 【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数， 由等差数列的通项公式可得，所以 当时，，则， 因为等比数列的各项均为正整数，所以， 若，则，不成立， 故，且， 当时，， 整理得，即， 由等比数列的定义可得， 则， 因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项， 若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数， 所以，则， 所以，，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 解得，所以. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若边上的高为，，求，． 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和性质、三角恒等变换化简已知等式求角； （2）结合三角形面积公式建立的关系，再用余弦定理列方程求解. 【小问1详解】 在中，，故 ， 将已知等式变形： ， 又 ， 代入得： ，  因，， 故，得； 【小问2详解】 由三角形面积相等得，代入，，， 化简得：  ，又 再代入余弦定理，得  ， 整理得，解得或， 对应代入，得或， 故，或，. 17. 某公司研发了一款新型智能机器人，一经投放市场颇受欢迎，为了更好地服务广大用户，该公司对这款机器人的某个性能指数x（）与用户的喜欢程度y（）进行调查统计，得到如下数据表： x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，利用相关系数r，判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱（当时，x与y的相关性很强）； （2）这款智能机器人的交互性很强，用户可通过语音给机器人发布指令，机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为90%；当机器人执行命令错误时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果不满意，求机器人实际正确执行命令的概率（精确到0.01）； （3）该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题，共准备了4道高难度的问题，若机器人答对的题数不小于3，则挑战成功．已知机器人答对前两道题的概率均为p，答对后两道题的概率均为q，每次答题结果互不影响．当时，求机器人挑战成功的概率的最大值． 附：相关系数． 【答案】（1）该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意计算出样本均值以及方差、协方差的求和项，代入相关系数公式求出r，并结合给定的判断区间得出结论. （2）先利用全概率公式求出“使用者对结果不满意”的总概率，再利用条件概率公式逆向推导出在“不满意”前提下“实际正确执行”的概率. （3）根据独立事件乘法公式列出“挑战成功”的概率解析式，利用已知条件进行代数消元与换元将其转化为一元二次函数，由二次函数的性质即可求得最值. 【小问1详解】 由题意知，，， ， ，． 所以 所以该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强． 【小问2详解】 记事件：机器人正确执行命令；事件：使用者对执行结果满意，则 ，，，． 所以， 所以， 故如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，机器人实际正确执行命令的概率约为． 【小问3详解】 设事件：机器人挑战成功，则 ． 由，得 ．令， 因为，，所以，所以 设，当，即或时，． 所以当时，机器人挑战成功的概率的最大值为． 18. 已知动点到定点的距离比到轴距离大1，记动点的轨迹为曲线. （1）求轨迹的方程； （2）过的直线交曲线于，曲线在点处的切线相交于点. ①证明：； ②时，求的面积. 【答案】（1）或. （2）证明：①根据题意，设，所以， 因为三点共线，所以，可得， 又因为曲线在处的切线方程分别为， 所以， 所以，可得，所以，所以. ② 【解析】 【分析】（1）设是曲线的任意一点，根据题意，得到，化简后即可求解； （2）①设，得到，根据三点共线，求得，再由曲线在处的切线方程，求得，证得，即可得证； ②设，由，求得，设直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得，利用弦长公式，求得的长，利用三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设是曲线的任意一点， 因为动点到定点的距离比到轴距离大1，可得， 整理得或， 所以曲线的轨迹方程为或. 【小问2详解】 解：②设， 因为，可得，所以， 设直线的方程，联立方程组，整理得， 则，且， 因为，解得， 则， 由，可得，则且， 所以曲线在处的切线方程为，即， 可得，同理可得， 联立方程组，两式相减得， 解得，则， 所以，可得， 因为，所以. 19. 已知函数（），． （1）讨论函数的单调性； （2）若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； （3）当时，证明：对任意的，恒成立． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）； （3）证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 【解析】 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； 【小问2详解】 因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $