精品解析：2022年浙江省衢州市江山市育才中学中考数学考前适应性练习 (1)

初三数学中考考前适应性练习 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 小亮用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将精确到的近似值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2022年3月24日，“祝融号”火星车在距离地球277000000千米的火星表面工作306个火星日，数据277000000用科学记数法可表示为（　　） A. 277×106 B. 27.7×107 C. 2.77×108 D. 0.277×109 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若实数3是不等式2x–a–2<0的一个解，则a可取的最小正整数为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 《你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位数是（ ） A. 124 B. 120 C. 118 D. 109 7. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　　) A. 2＋ B. C. 2＋或2－ D. 4＋2或2－ 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 如图，已知＝，＝，添加一个条件_____，使△． 13. 某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数（个） 172 175 178 182 学生人数（名） 2 5 2 1 则这10名参赛学生的成绩的众数是______． 14. 已知，，，，将此三角形绕旋转一周所形成的圆锥的侧面积是_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 ___________． 16. 如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，． （1）如图2，当与相切时，则_________． （2）若磨盘转动10周，则点在轨道上滑动的路径长是_________． 三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题6分，第22~23小题每小题6分，第24小题12分，共66 分．请务必写出解答过程） 17. 解方程（组）（1） （2） 18. 先化简，再求值：，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的代入求值． 19. 定义：等腰三角形，如果腰长是底边长的两倍，则称三角形是等腰倍边三角形． （1）如图1，在等腰倍边三角形中，，，求和的值． （2）如图2，平行四边形，，对角线交于点，分成的四个以为顶点的三角形中，若和为等腰倍边三角形，请你求出的值． 20. 垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下： 根据图表解答下列问题： （1）在抽样数据中，产生的垃圾一共有多少吨？ （2）在抽样数据中，产生的有害垃圾有多少吨？并补全条形统计图. （3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 21. 某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第天生产的防护服数量为件，与之间的关系可以用图中的函数图象来刻画． （1）直接写出与的函数关系式________； （2）由于疫情加重，原材料紧缺，防护服的成本前5天为每件50元，从第6天起每件防护服的成本比前一天增加2元，设第天创造的利润为元，直接利用（1）的结论，求与之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价－成本） 22. 如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形．过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）求AE的长． 23. 如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点． （1）观察猜想 图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____； （2）探究证明 把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 24. 如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线 于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标； （3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学中考考前适应性练习 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 小亮用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将精确到的近似值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查近似数，解答本题的关键根据题目中的数据和四舍五入法进行求解． 【详解】解：． 故选：D． 2. 如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案. 【详解】从物体正面观察可得， 左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体. 故答案为A. 【点睛】本题考查三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 截至2022年3月24日，“祝融号”火星车在距离地球277000000千米的火星表面工作306个火星日，数据277000000用科学记数法可表示为（　　） A. 277×106 B. 27.7×107 C. 2.77×108 D. 0.277×109 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：277000000用科学记数法可表示为2.77×108． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂除法法则计算并判定A；根据合并同类项法则计算并判定B；根据完全平方公式判定C；根据平方差公式判定D． 【详解】解：A、a8÷a2=a6，故此选项不符合题意； B、b3+b3=2b3，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂相除，合并同类项，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握同底数幂除法法则、合并同类项法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 5. 若实数3是不等式2x–a–2<0的一个解，则a可取的最小正整数为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意，x=3是不等式的一个解，∴将x=3代入不等式，得：6﹣a﹣2＜0，解得：a＞4，则a可取的最小正整数为5，故选D． 点睛：本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解得定义及解不等式的能力是解题的关键． 6. 《你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位数是（ ） A. 124 B. 120 C. 118 D. 109 【答案】B 【解析】 【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】将这组数据从小到大重新排列为109，118，120，124，133 ∴这组数据的中位数为120， 故选B． 【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 7. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故． 故选A 【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键. 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解掌握一元二次方程根的判别式的判别情况是解题的关键． 方程有实根，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，且，，， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值． 【详解】解：当时，计算出， 会发现是以：，循环出现的规律， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答． 10. 若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　　) A. 2＋ B. C. 2＋或2－ D. 4＋2或2－ 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可得，如图所示， 存在两种情况，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC， ∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D， ∴CD=1，OD==， ∴=BC•A1D==； 当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC， ∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D， ∴CD=1，OD==， ∴=BC•A2D ==， 由上可得，△ABC的面积为或， 故选C． 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 如图，已知＝，＝，添加一个条件_____，使△． 【答案】∠＝（答案不唯一） 【解析】 【分析】添加条件＝，根据证明△即可． 【详解】解：在和中， ， （）． 故答案为：＝（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 13. 某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数（个） 172 175 178 182 学生人数（名） 2 5 2 1 则这10名参赛学生的成绩的众数是______． 【答案】175 【解析】 【分析】根据众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：由5位同学的成绩为175， ∴出现次数最多的是175， ∴这10名参赛学生的成绩的众数是175． 故答案为：175 【点睛】本题主要考查了求众数，熟练掌握一组数据中，出现次数最多的数据是众数是解题的关键． 14. 已知，，，，将此三角形绕旋转一周所形成的圆锥的侧面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥体的侧面展开是一个扇形，该扇形的弧长即为圆锥体底部的圆形的周长，据此可以可以计算出扇形的弧长占该扇形所在圆周长的比率，以此比率即可求出扇形的面也就是圆锥体侧面． 【详解】圆锥体的切面如图所示， 在RtΔABC，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm， ∴利用勾股定理可知，BC=3cm， ∴圆锥体底部圆的半径r=BC=3cm， ∴底部圆的周长， ∴则侧面展开后扇形的弧长为l， ∵AB=5cm， ∴侧面展开图扇形所在圆的半径R=AB=5cm， ∴侧面展开图扇形所在圆的周长，面积， ∴扇形面积与其所在圆的面积的比率， ∴圆锥侧面面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、扇形面积和周长、圆锥侧面展开图及其面积的求解等问题，找到侧面展开图扇形的面积与其所在圆面积的比率是解答本题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 ___________． 【答案】5 【解析】 【分析】作CE⊥x轴于E，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE=OA=2，T通过证得△AOB∽△BEC，求得BE=4，进而得到D点坐标，代入y=，利用待定系数法求出k． 【详解】解：作CE⊥x轴于E， ∵AC∥x轴，OA=2，OB=1， ∴OA=CE=2， ∵∠ABO+∠CBE=90°=∠OAB+∠ABO， ∴∠OAB=∠CBE， ∵∠AOB=∠BEC， ∴△AOB∽△BEC， ∴，即， ∴BE=4， ∴OE=5， ∵点D是AB的中点， ∴D（，2）． ∵反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点D， ∴k=×2=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质等知识，求出D点坐标是解题的关键． 16. 如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，． （1）如图2，当与相切时，则_________． （2）若磨盘转动10周，则点在轨道上滑动的路径长是_________． 【答案】 ①. ②. ＃＃ 【解析】 【分析】（1）连接OP，利用勾股定理即可求出AP； （2）当Q、O、P三点共线且Q在线段OP左上方延长线上时，OP取得最小值，在Rt△OAP中，AO为定值，则有AP此时也最小，当Q、O、P三点共线且Q在右下方线段OP上时，OP取得最大值，此时同理有此时AP也最大，即可求出AP的取值范围，可得磨盘转动1周，则点P在轨道AB上滑动的路径长，再乘以10即可． 【详解】（1）连接OP，如图， ∵PQ与⊙O相切， ∴QP⊥OQ， ∴在Rt△OQP中，利用勾股定理有， ∵OA⊥AB， ∴在Rt△OAP中，利用勾股定理有， 又∵OA=8，OQ=3，PQ=13（连杆的长度）， ∴， 代入数据，可得AP=（dm）; （2）如图所示，当Q、O、P三点共线且Q在线段OP左上方延长线上时，即Q点位于图中E点，P点在点F处，即连杆为EF，OP取得最小值，即OP=OF，此时在Rt△OAF中，AO为定值，则有AP此时也最小，即AP=AF， ∵OA⊥AB， ∴在Rt△OAF中，利用勾股定理有， 又∵OA=8，OE=3，EF=13（连杆的长度）， ∴OF=10， ∴， 当Q、O、P三点共线且Q在右下方线段OP上时，即Q点位于图中N点，P点在点M处，即连杆为MN，OP取得最大值，即OP=OM，此时AP最大，即AP=AM， ∵OA⊥AB， ∴在Rt△OAM中，利用勾股定理有， 又∵OA=8，ON=3，MN=13（连杆的长度）， ∴OM=16， ∴， 又∵， 则AP的取值范围为， ∵磨盘转动1周，点P在F、M两点之间移动一个来回， 则点P在轨道AB上滑动的路径长为， 则转动10周滑动的路径长为：（dm）, 故答案为：，． 【点睛】本题考查轨迹，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题6分，第22~23小题每小题6分，第24小题12分，共66 分．请务必写出解答过程） 17. 解方程（组）（1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元一次方程的解题基本步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将原方程两边同乘以6即可去分母，然后按步骤即可完成。 （2）利用加减消元法将方程②5+方程①可消去未知数x，变成只含未知数y的一元一次方程，解这个方程求出y的值，然后将y值再代入原方程组中较简单的方程的②，即可求出x的值． 【详解】解：（1）去分母： 去括号: 移项： 合并同类项: ∴ （2） ②5得： ③+①得： ∴ 把代入②得 ： ∴ ∴原方程组的解为 【点睛】对于一元一次方程的解题中在去分母时一定要防止漏乘，去括号时一定要注意括号前面是“-”的括号里每一项的符号在去括号后都要改变 . 解二元一次方程组的关键是要“消元”，化二元为一元，而“消元”常用的方法有两种：一种是加减消元，一种是代入消元． 18. 先化简，再求值：，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的代入求值． 【答案】，1或 【解析】 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵x2﹣1≠0， ∴当时，原式． 或当时，原式．（选择一种情况即可） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，要了解使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 19. 定义：等腰三角形，如果腰长是底边长的两倍，则称三角形是等腰倍边三角形． （1）如图1，在等腰倍边三角形中，，，求和的值． （2）如图2，平行四边形，，对角线交于点，分成的四个以为顶点的三角形中，若和为等腰倍边三角形，请你求出的值． 【答案】（1） （2）24或64 【解析】 【分析】（1）过作于点，先根据等腰倍边三角形的定义可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后利用勾股定理可得，最后根据正切的定义即可得； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰倍边三角形的定义分①，②和③三种情况，分别求出的长即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过作于点， 在等腰倍边三角形中，，， ， 又， （等腰三角形的三线合一）， ， ． 【小问2详解】 解：平行四边形，， ， ①当时，， 此时和为等腰倍边三角形， ， ， ； ②当时，， 此时和为等腰倍边三角形， ， ， ； ③当时，， 此时和为等腰倍边三角形， ， ， ， 综上，的值为24或64． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、正切、平行四边形的性质等知识点，正确理解等腰倍边三角形的定义是解题关键． 20. 垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下： 根据图表解答下列问题： （1）在抽样数据中，产生的垃圾一共有多少吨？ （2）在抽样数据中，产生的有害垃圾有多少吨？并补全条形统计图. （3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 【答案】（1）50吨； （2）有害垃圾3吨；补全条形统计图见解析； （3）378吨. 【解析】 【分析】（1）根据D类垃圾量和所占的百分比即可求得垃圾总数， （2）求得C组所占的百分比，即可求得C组的垃圾总量，通过垃圾总数乘以B所占的百分比即可求得每个小组的频数从而补全统计图； （3）首先求得可回收垃圾量，然后求得塑料类垃圾量，最后再求出二级原料量即可. 【小问1详解】 解：观察统计图知：D类垃圾有5吨，占10%， ∴垃圾总量为5÷10%＝50吨； 【小问2详解】 解：∵C组所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣54%＝6%， ∴有害垃圾为：50×6%＝3吨； B类垃圾共有50×30%＝15吨， 故统计表为： 【小问3详解】 （吨）， 答：每月回收的塑料类垃圾可以获得378吨二级原料． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 21. 某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第天生产的防护服数量为件，与之间的关系可以用图中的函数图象来刻画． （1）直接写出与的函数关系式________； （2）由于疫情加重，原材料紧缺，防护服的成本前5天为每件50元，从第6天起每件防护服的成本比前一天增加2元，设第天创造的利润为元，直接利用（1）的结论，求与之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价－成本） 【答案】（1），为正整数；（2），，第8天的利润最大，最大利润是8640元 【解析】 【分析】(1)根据图像分别写出当0＜x≤5和5＜x≤15时的函数即可；（2）设每件防护服的成本为元．(2)设每件防护服的成本为元，分别写出当0＜x≤5和5＜x≤15时求出最大利润，在进行比较即可 【详解】解：（1）当0＜x≤5时,设表达式为y=kx 由题意得:270=5k,解得k=54 所以解析式为y=54x 当5＜x≤15时,设表达式为y=kx+b 由题意得: ,解得 所以解析式为y=30x+120 （2）设每件防护服的成本为元，①当时，，则利润 ∵，， ∴当时，（元） ②时，，则利润 ∵，， ∴当时，（元） 综上所述， 第8天的利润最大，最大利润是多少元8640元． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用,读懂题意,正确确定函数解析式和正确应用二次函数解决实际问题是解答本题的关键． 22. 如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形．过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）求AE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【详解】解：（1）证明：∵CD为直径， ∴∠DBC=90°， ∴BD⊥BC， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AO∥BC， ∴BD⊥OA， ∵EF∥BD， ∴OA⊥EF， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接OB，如图， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC， 而OB=OC=OA， ∴OB=OC=BC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠C=60°， ∴∠AOE=∠C=60°， 在Rt△OAE中，∵tan∠AOE=， ∴AE=3tan60°=3． 23. 如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点． （1）观察猜想 图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____； （2）探究证明 把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 【答案】（1）相等，； （2）是等边三角形，理由如下： 如图，由旋转可得 在ABD和ACE中 ． 点分别为的中点， 是的中位线， 且 同理可证且 ． 在中 ∵∠MNP=，MN=PN 是等边三角形． （3）面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出． （2）先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解． （3）根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值． 【详解】由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点， ∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC ∴MN=NP 又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC， ∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C= 根据三角形外角和定理， 得∠ENP=∠NBP+∠NPB ∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB， ∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE， ∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C =∠ABC+∠C =． （2）略 根据题意得: 即，从而 的面积． ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键． 24. 如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线 于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标； （3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标． 【答案】（1）；（2）PE=5或1，P（1，﹣3）或（5，3）；（3）E的对称点坐标为（1.8，-3.6）或（3.6，﹣1.2）． 【解析】 【分析】（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入即可得到结论； （2）由求得D（0，﹣2），根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE，列方程即可得到结论； （3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，求得直线EE′的解析式为，设E′（m，），根据勾股定理即可得到结论；②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，得到直线EE′的解析式为，设E′（m，），根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入得： ，∴， ∴抛物线的解析式为； （2）设P（m，）， 在中，当x=0时，y=﹣2，∴D（0，﹣2）， ∵B（3，﹣2）， ∴BD∥x轴， ∵PE⊥BD， ∴E（m，﹣2）， ∴DE=m，PE=，或PE=， ∵△PDE为等腰直角三角形，且∠PED=90°， ∴DE=PE， ∴m=，或m=， 解得：m=5，m=1，m=0（不合题意，舍去）， ∴PE=5或2，P（1，﹣3）或（5，3）； （3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H， 由（2）知，此时，E（5，﹣2）， ∴DE=5， ∴BE′=BE=2， ∵EE′⊥AB， ∴设直线EE′的解析式为 ， ∴﹣2=×5+b， ∴b=﹣， ∴直线EE′的解析式为， 设E′（m，）， ∴E′H=﹣2﹣=，BH=3﹣m， ∵E′H2+BH2=BE′2， ∴（）2+（3﹣m）2=4， ∴m=1.8，m=5（舍去）， ∴E′（1.8，-3.6）； ②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H， 由（2）知，此时，E（1，﹣2）， ∴DE=1， ∴BE′=BE=2， ∵EE′⊥AB， ∴设直线EE′的解析式为， ∴﹣2=×1+b， ∴b=， ∴直线EE′的解析式为， 设E′（m，）， ∴EH==，BH=m-3， ∵E′H2+BH2=BE′2， ∴（）2+（m﹣3）2=4， ∴m=4.2，m=1（舍去）， ∴E′（4.2，﹣0.4）． 综上所述，E的对称点坐标为（1.8，-3.6）或（4.2，﹣0.4）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $