2.1等式性质与不等式性质（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“等式性质与不等式性质”同步练，采用A/B/C组+高考拓展四层设计，覆盖7个核心知识点，通过基础巩固-能力进阶-思维拔高-高考衔接的梯度路径，培养数学抽象、推理及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点（作差法、不等式表示关系等）|选择填空为主，如用不等式表示矩形面积问题，夯实概念理解| |B组|综合应用（范围求解、性质证明）|解答题占比提升，如多变量不等式证明，强化逻辑推理| |C组|复杂情境（多参数比较、实际优化）|开放探究题型，如成本利润率变化分析，发展创新思维| |拓展|高考真题（2026北京/上海等真题）|对接高考题型，如博物馆参观人数比较，提升应试能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.1等式性质与不等式性质 目录 A组巩固过关 知识，点01用不等式表示不等关系 知识点02作差法 知识，点03作商法 知识点04已知条件判断所给不等式是否正确 知识，点05由不等式的性质比较数（式）大小 知识点06由不等式的性质证明不等式 知识，点07根据不等式范围求解范围 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 知边占01 用不等式表示不等关系 1.(25-26高一上·安徽合肥·期中)某人元旦回家共225km,准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗 时10min,转汽车时离家还有30km,已知动车的平均速度为300km/h,汽车平均速度为xkm/h,若从坐 动车开始能在1小时内到家，则x应该满足的不等式为() 225+1<1 A.300+x6 225+10<60 B.300+x 195,30 +10<60 C.300x n26 2.(25-26高一上·湖南娄底·期中)用a表示某产品销售的利润，b表示该产品生产的成本，其中销售 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 利润大于生产成本， 将后称作该商品的成本利润率，道过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加 k时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为() aa+k aa+k A.bb+k B.bb+k b、b+k bb+k C.a-a+k D.a atk 3.(25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测)已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为x,则下列不等式 表示“该矩形的面积不小于20”的是() A.x(12-x)>20 B.x(12-x)≥20 C.x(24-x)>20 D.x(24-x)≥20 4.(24-25高一上·河南·阶段检测)在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和 乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，y,则用不等式组表示为() 170≤x+y≤190 170≤x+y≤190 A. B. x<y x>y 170<x+y≤190 170<x+y≤190 C. x<y D. x>y 知识占02 作差法 1. (25-26高一下·四川成都·期中)己知M=x2-2x+4,N=2x-1,则M与N的大小关系为() A.M>N B.M<N C.M≥N D.与x有关 2.(2425高一上·广东·期中)若a=x2+3x+5,b=3x+4,则() A.a<b B.a>b C.a=b D.a,b的大小关系无法确定 3.(202a·甘肃·一模)已知a,beR,则“g>b>0”是“2 “a+>。”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26高一上·天津和平·阶段检测)若a=2x2-3x+6,b=x2-x+4,则a与b的大小关系为 2/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(24-25高一上·新疆喀什·期中)比较下列各题中两个代数式的大小： (1)x2+2x+6与(x+3)(x-1): 2)x2+y+2与2(x+2y-2). 知识占03 作商法 1.(2020高三·上海·专题练习)设p=(a2+a+),g=a2-a+1,则() A.p>q B.p<9 C.p≥q D.P≤q 2.(23-24高一上·北京·阶段检测)设a=V7,b=3-5,则a_b(填入“>”或“<”). 3.(25-26高一上·重庆·阶段检测)(1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小： a2-b2. -b (2)设a>b>0:比 a+6的大小 a2+b与 4.(23-24高一上·贵州六盘水·期中)从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设x>1,M=E-Vx-l,N=Vx+1-V天，比较M,N的大小： ②设M=(x+3(x+4),N=(x+2)(x+5),比较M,N的大小； a2+62,N=0-b ③设a>b>0,M=a2-b =a+b?比较M,N的大小 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 如识占04 已知条件判断所给不等式是否正确 1.(25-26高一上·上海虹口·期末)己知实数a,b,c,则下列结论不正确的是() A.若ac2>bc2,则a>b B.若a<b<0,则a>ab 3/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6>61 1 C.若a>b>1则a- a D.若a>b,则a2+b>ab2+a2b 2.(25-26高一下·山东潍坊·期中)（多选）已知实数a,b,c,则下列结论正确的是() 11 A.若。方，则a>b B.若ac2>bc2,则a>b 0若a>i>01>c>0则是 b+m、b D.若a>b>0:m>0:则a+m之a 3.(25-26高一下·四川成都·期中)（多选）已知a>b,c>>0,则下列不等式恒成立的是 () A.a-d>b-c B.ac>bd a b C.ac2zbe2 D.dc 4.(24-25高一上·广西河池·期中)（多选）给出下列不等式，其中错误的是() A.若x>y,则x>y2: B.若a>b,则a+c>b+c: C.若a>b,则ac>bc: D.若a>b,c>d,则ac>bd. 4知识占05 由不等式的性质比较数（式）大小 1.(25-26高一上·河北沧州·期末)（多选)下列说法正确的是() 11 >二>0，则a>b>0 A.若ba B.若a2>b2,则a>b C.若0<a+b<2,2<a-b<4,则1<a<3 D.若a>b>-c>0,则ab>c2 2.(25-26高一上·湖南常德·期末)（多选）如果a,b,C,d∈R,ab≠0，则下列说法正确的是( ,11 A.若a>b,则ab B.若ac2>bc2,则a>b 11 c.若a>b'c>d'则ac>bd D.若a>b则b>ab 3.(25-26高一上·河南郑州·期末)（多选)已知a,b,c为实数，则下列结论中正确的是() A.若a<b<0,则ab>b B.若a>b,则ac2>bc2 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2希6c0:则始号 D.若c>b>a'则 1<1 c-a c-b 4.(25-26高一上·江苏宿迁·期末)（多选）下列命题为真命题的是() A.若a>b,则a2>b2 B.若-2<a<3,1<b<2,则-4<a-b<2 +m、b C.若a>b>0:m>0:则 a+m a D.若a>0>b,则a+>la+ 知识占06 由不等式的性质证明不等式 1.(23-24高一·上海·练习)设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a>b,c>d,那么a+d>b+c; (2)如果ab>ac,那么b>c; (3)如果a≥b且a≤b,那么a=b; 1、1 ④如果a>b'cd,那么。>： -> b、d (5)如果。>。，那么bc>ad: 2.(24-25高一上·广东广州·阶段检测)证明下列不等式： (1)已知0>a>b,c<0,求证：a2b: 11 2)已知a>b>c>d求证：a-d<b-c: C>c 3)已知a>b>c,a+b+c=0,求证：a-c>b-c· bs a 3。(2425高一上·上海·练习)(1)已知a>b>0'c<d<0,求证：a-c<6-d: a+bc+d (2)已知bc-ad≥0bd>0:求证：6≤d· (23-24高一上·安徽芜湖·阶段检测)(1)已知b>a>0’证明：6<b1 a ，b+ (2)若a,b,c为三角形的三边长，则b+c+a+ca+b 十 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识占07 根据不等式范围求解范围 1.(25-26高一上·广东汕尾·期末)己知2<a<4,-3<b<-2,则a+2b的取值范围为 2.(25-26高一上·重庆·期中)己知实数x,y满足1≤x+y≤4，-1≤x-y≤2，则2x-y的取值范围是 3.(24-25高一上·山东淄博·阶段检测)已知实数a,b满足： (1)1<a<2,2<b<6,求2a+b的取值范围： h ②)1<a<2,2<b<6,求a的取值范围： 3)1<a+b<3,3<2a+b<5,求2a-b的取值范围. 4.(23-24高一上·内蒙古包头·阶段检测)已知1<x+y<4,2<x-y<3」 (1)求y的取值范围： x+y ②)求x-y的取值范围： (3)求3x+2y的取值范围. B组 能力进阶 一、单选题 1.（24-25高一上·全国·课后作业)在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5cm/s,人跑开的 速度为4m/s,为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火线的长度x(cm)应满足 的不等式为() A.4×0.5≥100 B.4×0.5≤100 C.4×0.5>100 D.4×0.5<100 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高一下·四川成都·期中)设M=x+y+山N=2(x+y)-1,则有() A.M<N B.MsN C.M>N D.M≥N 3.(25-26高二下·上海奉贤·期末)以下不等式正确的是() A.如果a>b,c>d,那么a+d>b+c b c B.如果。>a,那么hc>ad C.如果a>b20,那么Va>√b D.如果Va>b,那么a>b2 4.(25-26高三下·辽宁·阶段检测)已知实数，y2满足x>y>2,则() A.(x-y)y-z)<0 B.xz>yz 11 C. < 1<1 D.x-zy-z 5.(25-26高一下·湖南株洲·开学考试)设a=2,b=V7-5,c=V6-V2,则a,b,c的大小关 系为() A.a>b>c B.a>c>b C.b>azc D.b>c>a 6.(25-26高一上·浙江杭州·期中)己知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是(） A.若a>b,c>d,则a+b>c+d B.若a2>b2,则-a<-b ->I 1 a+m、a C.若c>a>b>0:则c-a>c-b D.若a>b>0且m>0:则b+m之b 二、多选题 7.(25-26高一上·江西上饶·期末)下列说法正确的是() 11 A.若a>b?则。<6 B.若a>b,c>d,则a+c>b+d C.若a>b,c>d,则ac>bd b+c<b D.若b>4>0,c>0,则a+ca 8.(25-26高一下·广西桂林·期中)下列结论正确的是() 11 A.若a<b,则。>6 B.若0<a<1则a<a 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +1.b C.若a>b>0, 则 a+l a D.若c<b<a,且ac<0,则cb2<ab2 三、填空题 9.(25-26高一上·北京·阶段检测)若A=3x2-x+1,B=2x2+x-1,则AB(用“<”、“> ”或“=”填空)· 10.(25-26高一上·四川·阶段检测)已知3<a<4,-2<b<1,则a+3b的取值范围是 四、解答题 11.(23-24高一上·广西南宁·阶段检测)解答下列问题 (1)设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2y+4x+2z-2的大小； ②已知a<b<c,且g+b+e=0正明：。2e< a-c b-c 12.(2025高一上·全国·专题练习)已知2<a<3,-2<b<-1,求a+2b’4-b:6的范围. C组 思维拔高 1.(2025高一上·全国·专题练习)已知实数x,少，2满足y+z=6-4x+3x2,z-y=4-4x+x2,则x,y,2 的大小关系是() A.2≥y>x B.x>z≥y C.z>y>x D.x>z>y 2.(25-26高三·全国·一轮复习)（多选）下列说法中正确的是() A.若c>0,ac>bc,则a>b B.若-2<a<4,1<b<3,则-8<a-2b<2 C.若2620m0:则日分 D.若-2<a+b<4,1<b-2a<3,则-9<a-2b<0 3.(25-26高二上·云南昭通·期末)已知4<a<9,-2<b<-1,则2Wa+b的取值范围是 8110 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高一下·山东德州·阶段检测)己知1≤2x-y≤2，-1≤2x+3y≤1，则6x+y的取值范围为 5.(24-25高一上·陕西西安·阶段检测)比较下列两式大小. 1)x2+y2+1与2(x+y-1): ②a>b0时，日+与论 a2-b2 a+b e 6.(25-26高一上·海南·阶段检测)（1)若a>b>0'c<d<0,e<0'求证：(a-c(b-d (2)已知“-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1” (1)求x的取值范围： (i1)求x-2y的取值范围. 拓展 链接高考 1.（2026·北京·高考真题)学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一 处前往.已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总 数，则() A.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C.去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D.去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 2.(2026·上海·高考真题)已知x>y>1,则下列不等式恒成立的是() A.x>y2 B.xy>x+y C.x2>y D.x+y>xy 3.(2024·上海·高考真题)a,b,c∈R,b>c,下列不等式恒成立的是() A.a+b2>a+c2 B.a2+b>a2+c C.ab2>ac2 D.a'b>a'c 4.(2006·上海·高考真题)若a,b,c∈R，a>b,则下列不等式成立的是() 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.a2<b2 a b c.c2+>e2+ D.ald >ble 5.(2022·上海·高考真题)已知a>b>c>d,下列选项中正确的是() A.a+d>b+c B.a+c>b+d C.ad>be D.ac>bd 6.(2008·广东·高考真题)设a,b∈R,若a->0,则下列不等式中正确的是() A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.a2-b2<0 D.b+ax0 7.(2014·四川·高考真题)若a>b>0,c<d<0,则一定有() Br d a、b a b C.dc D.d c 8.(2015·浙江·高考真题)设a,b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(2006·上海·高考真题)（多选）如果a<0,b>0,那么下列不等式不正确的是() 11 A.ab B.a</b C.a2<b2 D.la> 10.(2022·上海·高考真题)x-y≤0，x+y-1≥0，则2=x+2y的最小值是 11.(2010·辽宁·高考真题)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是 (答 案用区间表示) 卫，《2310江苏·尚考真题)设实数满足3≤w≤84s号9，则号的员大省是 10/10函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.1等式性质与不等式性质 参考答案 ● A组 巩固过关 知识占01 用不等式表示不等关系 1.D;2.A:3.B;4.D 知识占02 作差法 1.A:2.B:3.A:4.a>b 5.【答案】(1)因为2+2x+6-(c+3(x-1)=x2+2x+6-(x2+2x-3)=9>0, 所以x2+2x+6>(x+3)(x-1): (2)因为x2+y2+2-2(x+2y-2)=(x-1)+(y-2)2+1>0, 所以x2+y2+2>2(x+2y-2) 知识占03 作商法 1.D:2.> 3.【答案】1)2x2+5x+3-(公2+4x+2=2+x+1=x++3>0, 4 所以2x2+5x+3>x2+4x+2. a-B_(atb(a-B)>0 a-b0, (2)由a>b>0:得a-b>0'a2+6=a2+62 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2-b2 因胜ga牛ba++2aa a2+b2 a2+b2 a2+6>1, a+b a2-b2、a-b 所以。+8之a+b 4【指1ow=-可---i=g 因为Vx+1+Vx>Vx+Vx-1>0, 1 所以+i+E+Vx: 即Vx+I-E<-x-1: ∴.M>W ②M-N=(x+3)(x+4)-(x+2)(x+5)=(x2+7x+12）-(x2+7x+10)=2>0, :M>N. ③方法-（作差法）M-N=:--a-b_a+b(口-)-(a2+6)a-b) a2+b2 a+b (a2+b2)(a+b) (a-b)(a+b}2-(a2+b2） 2ab(a-b) (a2+b2)(a+b) (a2+b2)(a+b)' 因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0, 2ab(a-b) 70 所以(a2+b2)(a+b)' a2-b2、a-b 所以a+b>a+b :.M>N. 方法二（作商法因为。>b20所以。2+方>0+6>02b>0 a+b a2-b2 兴…编 a2+>1, a+b >哈 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :M>N 知识占0☑ 已知条件判断所给不等式是否正确 1.D:2.BCD:3.AC;4.ACD 知▣占05 由不等式的性质比较数（式）大小 1.ACD;2.BD;3.AD;4.BCD 如识占06 由不等式的性质证明不等式 1.【答案】(1)取a=c=2,b=d=1,满足a>b,c>d,但是a+d=b+C,故原命题为假命题： (2)当a<0时，由ab>aC得b<c,故原命题为假命题； (3)因为a之b且a≤b,所以a=b,故原命题为真命题； 1、1 a21b （4)取a=2,b=1c=-3,d=-2满足a>b。>a,但是。-3<-2a 故原命题为假命题： b d (5)当ac<0时，由a>c,可得bc<ad,故原命题为假命题 2.【答案】(1)证明：因为0>a>b, 11 所以ab 又<0则后 11_(b-c)-(a-d)(b-a)+(d-c) (2)证明：a-db-e(a-d)b-c)(a-d)b-c) 因为a>b>c>d,所以a-d>0,b-c>0,b-a<0,d-c<0, 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11b-a+(d-c<0, 所以a-db-e(a-d)b-c) 11 即a-db-c cc c(b-c)-c(a-c)c(b-a) (3)证明：a-cb-e(a-c)b-c)(a-cb-c) 因为a>b>c,a+b+c=0. 所以c<0,b-a<0,a-c>0,b-c>0, 所以a-cb-e(a-cb-c) 即a-eb-c 3.【答案】证明：(1)因为c<d<0,所以-c>-d>0. 又a>b>0所以a-c>h-40:所以0<。< a-cb-d. 又因为0<b<a, a 所以a-cb-d' (2因为M>0:要证”若告，只需证明a+b)s6e+d): 展开得ad+bd≤bc+bd, 即ad≤bc,bc-ad≥0 因为bc-ad≥0成立， a+bc+d 所以b≤d成立. a 2a a(b+a)-2ab a(a-b) 4.【答案】(1)bb+ab(b+a)b(b+a) a(a-b月<0 由6>4>0'得a-b<0而6>0°6+a>0'a>0则6b+0 02a 所以bb+a (2)a,b,c为△ABC的三边长，则有a+b>c>0,a+c>b>0,b+c>a>0, 4/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c+c a a+a bb+b 由(1)知： a+b a+b+c'b+c a+b+c'a+c a+b+c' C at bs ctc+ata+btb=2. 将以上不等式左右两边分别相加得：a+bb+ca+ca+b+ca+b+ca+b+c b 所以 L -<2 +bb+cc+a 知识占07 根据不等式范围求解范围 1.（4,0):2.[1,5] 3.【答案】(1)因为l<a<2,所以2<2a<4,又因为2<b<6,所以4<2a+b<10: (2因为1<a2所以。<1，又因为2<6<6所1<名6 a (3)令2a-b=m(a+b)+n(2a+b)=(m+2n)a+(m+n)b, m+2n=2「m=-4 则m+n=-1,解得气n=3· 又因为1<a+b<3,3<2a+b<5,所以-12<(-4)(a+b)<-4,9<3(2a+b)<15, 所以-3<2a-b<11 4.【答案】(1)设y=(x+)+(x-),则(2+)x+(2-)y=y, = 2 所以九+u=0,解得。1： -4=1 μ=2 所以yx+)(x-). 11 因为1<x+y<4,所以22(x+)水2.① 因为2<-y3:所以号-W1.② ①+@得，-1x+)x-)山，所以-1Ky<: 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11是.1<+出<2. (2)1<x+y<4,2<x-y<3…3x-y2:3x-y 所过写2 (3)设3x+2y=a(x+y)+b(x-y),则3x+2y=(a+b)x+(a-b)y, 5 所以a+b=3,解得 a-b=2 6、1 2 所以3x+2-x+列+x-) 因为湖+y4所以c+)10.© 因为2<y<3所以1-刃至@ ⑧+00，号+小+片- 2,所以 <3x+2y<2 B组 能力进阶 一、单选题 1.C;2.D;3.C;4.D:5.B;6.C 二、多选题 7.BD:8.BC 三、填空题 9.>:10.（-3,7） 四、解答题 11.【答案】(1)5x2+y2+z2-(2y+4x+2z-2)=(x-y)}+(2x-1)}+(2-1)2, .5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)≥0 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 即5x+少+2≥2w+4x+2z-2:当且仅当x=y=22=1时，等号成立 (2)证明： a_a_a(b-c)-a(a-c)_a(b-a) a-c b-c (a-c)(b-c)(a-c)(b-c) ..a<b<c, ∴a-c<0,b-c<0，b-a>0 ∴.(a-c)(b-c)>0 ..a+b+c=0,a<b<c ∴.a<0 a6<0即a-a<0y a-c b-c as-a a-cb-c 12.【答案】2<a<3,-2<b<-1, .-4<2b<-2,1<-b<2, -2<a+2b<1,3<a-b=a+(-b)<5; .11<1. 1<-b<2,2<b 2. -3<<-1. b C组 思维拔高 1.A:2.AB:3.(2,5):4.1,5 5.【答案】(1)因为x+y+1-2(x+y-l)=x2-2x+1+y2-2y+1+1=(x-1)+(0y-1)°+1>0，所以 x2+y2+1>2(x+y-1) a60时限888-8-u88 718 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.【答案】(1)证明：因为c<d<0,所以-c>-d>0,利用同向可加性得a-c>b-d>0, 1 1 所以a-ef>6-4>0:则0a-e可6-d: e 又e<0'所以(a-c>b-d: (2)(1)因为-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1， 所以由同向可加性得-352x≤3：则≤x≤ 3 2 (ii)x-2y=a(x+y)+b(x-y),x-2y=(a+b)x+(a-b)y, ( 1 a=- 2 所以「a+b=1，解得 3” b=- a-b=-2 -2 则1sa(+分-3≤a-s 所以-4≤x-2y≤2 拓展 链接高考 3 1.B:2.C:3.B:4.C:5.B:6.D:7.D:8.D:9.BcD;10.21.511.(3,8);12.27 8/8 分层作业 2.1等式性质与不等式性质 目 录 A组 巩固过关 知识点01 用不等式表示不等关系 知识点02 作差法 知识点03 作商法 知识点04 已知条件判断所给不等式是否正确 知识点05 由不等式的性质比较数（式）大小 知识点06 由不等式的性质证明不等式 知识点07 根据不等式范围求解范围 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )用不等式表示不等关系 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 2．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 3．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 4．（24-25高一上·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D ( 知识点0 2 )作差法 1．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 2．（24-25高一上·广东·期中）若，则（ ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】用作差法计算比较的大小关系． 【详解】 ，故B正确． 故选：B． 3．（2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 4．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. ( 知识点0 3 )作商法 1．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 2．（23-24高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 4．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】①利用分子有理化可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】①， 因为， 所以， 即； . ②， . ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . ( 知识点0 4 )已知条件判断所给不等式是否正确 1．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知实数，则下列结论不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，利用作差法可判断C的正误，根据反例可判断D的正误. 【详解】对于A，因此，故，故，故，故A正确； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，， 而，故，故， 故，故C正确； 对于D，取，则， 此时不成立，故D错误. 故选：D. 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性. 【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 3．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 4．（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）给出下列不等式，其中错误的是（ ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ACD 【详解】选项A：取反例：令，，此时，满足，但，与结论矛盾，因此该不等式错误. 选项B：根据不等式的基本性质可得，该结论恒成立，因此该不等式正确. 选项C：当时，；当时，，因此该不等式错误.. 选项D：取反例：令，，，，满足的条件， 但，，此时，与结论矛盾，因此该不等式错误. ( 知识点0 5 )由不等式的性质比较数（式）大小 1．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质判断ACD；举反例判断B. 【详解】若，则， 不等式两边同乘以，得，A正确； 当时，满足，但，B错误； 若，，两式相加得， 所以，C正确； ，，D正确. 故选：ACD 2．（25-26高一上·湖南常德·期末）（多选）如果，，，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用举反例来判断AC，利用不等式性质来判断BD. 【详解】当时，，此时，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 当时，，此时，故C错误； 因为，所以，则由两边同时除以，即可得，故D正确； 故选：BD 3．（25-26高一上·河南郑州·期末）（多选）已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与反例，可得答案. 【详解】对于A，由，则且，得，故A正确； 对于B，当时，若，有，不满足条件，故B错误； 对于C，由，因此，C错误； 对于D，当，则，D正确． 故选：AD． 4．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用举反例来判断A，利用不等式可加性判断B，利用作差法判断C，利用绝对值不等式性质判断D． 【详解】若，则，故A错误； 由，，可得，故B正确； 由，因为，， 所以，即，故C正确； 由于，取等号条件是同号或至少有一个为， 因为，所以等号不成立，即，故D正确； 故选：BCD ( 知识点0 6 )由不等式的性质证明不等式 1．（23-24高一·上海·练习）设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果，，那么； (2)如果，那么； (3)如果且，那么； (4)如果，，那么； (5)如果，那么． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 (5)假命题 【分析】（1）（4）取特殊值可判断原命题的真假； （2）（3）（5）利用不等式的基本性质可判断原命题的真假. 【详解】（1）取，，满足，，但是，故原命题为假命题； （2）当时，由得，故原命题为假命题； （3）因为且，所以，故原命题为真命题； （4）取，，满足，，但是， 故原命题为假命题； （5）当时，由，可得，故原命题为假命题. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：； (3)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据不等式的基本性质直接证明即可； （2）利用作差法证明即可； （3）利用作差法证明即可； 【详解】（1）证明：因为， 所以， 又，则. （2）证明：， 因为，所以，，，， 所以， 即. （3）证明：， 因为， 所以，，，， 所以， 即. 3．（24-25高一上·上海·练习）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 4．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段检测）（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质推理即得. （2）由（1）的结论，结合不等式的性质推理即得. 【详解】（1）， 由，得，而，，，则， 所以． （2）为的三边长，则有，，， 由（1）知：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以． ( 知识点0 7 )根据不等式范围求解范围 1．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 2．（25-26高一上·重庆·期中）已知实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】设，求出后由不等式性质求解即可. 【详解】设， 则，解得， 因为，， 所以， 故答案为： 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段检测）已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同向不等式的可加性即可求解； （2）根据同向不等式的可乘性即可求解范围； （3）利用整体法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为所以又因为，所以； （2）因为所以，又因为，所以; （3）令， 则，解得， 又因为，所以， 所以. 4．（23-24高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以．④ ③＋④得，，所以． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5cm/s，人跑开的速度为4m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（ ） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 2．（25-26高一下·四川成都·期中）设，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对作差，然后利用配方法和平方的非负性判断正负，即可得到. 【详解】由已知，， 所以. 故选：D. 3．（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（ ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 4．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 5．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，，， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 二、多选题 7．（25-26高一上·江西上饶·期末）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】举实例说明判断AC；利用不等式性质判断B；利用作差法比较大小判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，取，满足，则，C错误； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：BD 8．（25-26高一下·广西桂林·期中）下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质或者反例可判断正误. 【详解】对于A，例如，满足，但是不满足，A不正确； 对于B，，因为，所以，即，B正确； 对于C，，因为，所以，，C正确； 对于D，因为，所以异号，即，若，则，D不正确. 三、填空题 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，，则_____（用“”、“”或“”填空）． 【答案】 【分析】用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 10．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知，，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用不等式的性质先求出，再得到即可求解. 【详解】因为，，所以； 所以，所以的取值范围是 故答案为： 四、解答题 11．（23-24高一上·广西南宁·阶段检测）解答下列问题 (1)设，，，比较与的大小； (2)已知，且，证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）做差法；两式作差，再配完全平方，与0作大小比较，即可得出结论. （2）作差法；作差，再通分，判断每个因式的正负，即可证明. 【详解】（1）解：， 即，当且仅当,时，等号成立. （2）证明： , ， ， . 即， . 12．（2025高一上·全国·专题练习）已知，，求，，的范围． 【答案】，， 【分析】利用不等式的基本性质，对已知不等式进行变形、运算，逐步推导目标代数式的取值范围． 【详解】，， ，， ，； ，， ， ． 1．（2025高一上·全国·专题练习）已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】， 所以，当时，, 将题中两式作差得，即. 因为，所以， 所以， 选择:A 2．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列说法中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 3．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 4．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差比较两式大小； （2）利用作商比较两式大小 【详解】（1）因为，所以 （2）当时，因为，所以 6．（25-26高一上·海南·阶段检测）（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）（i）利用不等式的性质计算即可；（ii）利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 4．（2006·上海·高考真题）若，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 5．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用不等式的基本性质得解. 【详解】，但，，A、C错 ，，所以.B正确. ，但，D错. 故选:B. 6．（2008·广东·高考真题）设，若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D. 7．（2014·四川·高考真题）若则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选 8．（2015·浙江·高考真题）设，是实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D. 考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质. 9．（2006·上海·高考真题）（多选）如果，那么下列不等式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确； 对于B中，例如：若，此时，所以B不正确； 对于C中，例如：若，此时，所以C不正确； 对于D中，例如：若，此时，所以D不正确. 故选：BCD. 10．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________. 【答案】/ 【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 11．（2010·辽宁·高考真题）已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示） 【答案】（3,8） 【分析】根据不等式的性质，求得待求量的范围. 【详解】设， 则，解得，即， 又且， 且， . 故答案为：（3,8） 12．（2010·江苏·高考真题）设实数满足，则的最大值是_________. 【答案】27 【分析】利用，已知条件结合不等式性质，即可求解. 【详解】, 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：27 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $