1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练习—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量应用，分层设计从基础概念到综合证明，适配新授课知识巩固与能力提升，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量平行/垂直的坐标表示、法向量/方向向量概念|单选题1-5、填空题12-14，直接应用公式，强化运算能力| |中档|向量夹角、共线参数求解、充要条件辨析|单选题6-9、多选题10-11、填空题15-16，结合几何直观，发展推理意识| |综合|线面角计算、平行四边形证明、法向量应用|解答题18-21，融合多知识点，培养模型观念与创新意识|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 2．已知，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 4．在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 6．已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 7．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 8．空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 10．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 11．已知向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．，的夹角为钝角 B．与向量同向的单位向量为 C．在上的投影向量的长度为 D．存在实数，使得 三、填空题 12．若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 13．已知向量，，若，则________． 14．已知向量，且，则________________． 15．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 16．已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 17．若直线和平面所成角的正弦值为，则直线的一个方向向量和平面的一个法向量的夹角的大小为_______________. 四、解答题 18．已知空间三点，，，设，. (1)求与的夹角和的面积； (2)若，求的值. 19．已知空间三点，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 20．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点．求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 21．在空间直角坐标系中，点，，. (1)求平面的一个法向量的坐标； (2)若是平面的一个法向量，且平面垂直平面，求； (3)若是直线的一个方向向量，且平面，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D B D B C D ABC 题号 11 答案 BCD 1．A 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 2．B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求出的值. 【详解】因为，，且， 则，解得. 故选：B. 3．C 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解. 【详解】因为，所以，所以，，所以． 4．D 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 5．B 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 6．D 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】先求出与的坐标，再根据向量共线的性质列出等式，进而求出，的值，最后计算即可. 【详解】设向量 ，， 由于 ，， 共线，存在 使 ， 由 ，解得 ， 代入得 ，解得 ， 所以，解得 ， 因此，. 答案：6. 7．B 【知识点】空间向量平行的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 8．C 【知识点】充要条件的证明、空间位置关系的向量证明 【分析】根据空间两直线所成角，以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：若两条直线的方向向量​​，说明方向向量夹角为， 因此两直线所成角为，可得，充分性成立， 必要性：若，说明两直线所成角为，即方向向量夹角为， 因此，必要性成立， 因此“​​”是“”的充分必要条件. 9．D 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】结合题意可得出所求平面的点法式方程，化简即可. 【详解】由题意可知经过点的平面的一个法向量为， 该平面的方程为，即. 10．ABC 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 11．BCD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量的数量积，共线向量、单位向量的坐标表示，投影向量公式，垂直向量的坐标性质求解即可. 【详解】对于A，，所以，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，，， 所以与向量同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量的长度为，故C正确； 对于D，， 若，则，，故D正确． 故选：BCD. 12．（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 13． 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由已知， 因为，所以，解得. 14．1 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】因为， 所以. 15． 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【详解】由题意，则，所以， 解得，所以. 16．2 【知识点】空间向量数量积的应用、直线方向向量的概念及辨析（空间中）、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解． 【详解】由题得，，解得． 17．或 【知识点】求线面角、求平面的法向量 【分析】根据条件，求出直线与平面所成角的大小，再利用法向量与平面垂直，即可求解. 【详解】设直线和平面所成的角为，则，又，则， 又平面的法向量与平面所成的角为，如图，设直线的一个方向向量为， 当平面的法向量方向向上时，直线的一个方向向量和平面的一个法向量的夹角的大小为， 当平面的法向量方向向下时，直线的一个方向向量和平面的一个法向量的夹角的大小为， 故答案为：或. 18．(1)； (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、向量夹角的计算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据点的坐标求与的坐标，进而求，利用向量的夹角公式求解即得，再由计算即可； （2）由，得，代入坐标计算即得． 【详解】（1）由题中条件可知，，， ，. 因为， 因为，所以. 即与的夹角为， 故的面积为： . （2）， 由，得， 得， 得． 19．(1) (2)或． 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算计算即可； （2）利用空间向量平行的充要条件及模长公式计算即可. 【详解】（1）由题意知， 所以． 又， 所以， 解得． （2）因为， 又， 设， 又，所以，解得， 当时，； 当时，， 所以向量的坐标为或． 20．证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】连接，，利用对边平行且相等得到四边形为平行四边形，进一步可证. 【详解】证明：连接，，因为分别为的中点，所以且， 同理且，在正方体中，四边形为平行四边形， 所以且，所以，且， 故四边形为平行四边形． 21．(1)（答案不唯一） (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】（1）根据平面法向量的求解方式求解即可； （2）由题可知，即可求解； （3）根据题意，即，再列式求解即可． 【详解】（1）设面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， 所以平面的一个法向量的坐标为； （2）由（1）知平面的一个法向量为， 是平面的一个法向量，且平面垂直平面， 则，即， 解得； （3）由（1）知平面的一个法向量为， 是直线的一个方向向量，且平面， ，即， ，解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $