奥数思维专题-容斥原理·两集合（专项训练）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

**基本信息** 以情境化问题为载体，通过“概念理解-公式应用-变式拓展-错解规避”构建容斥原理两集合完整训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |例题精讲|3题（公式直接应用、反推“都参加”、求“都不参加”）|核心公式“甲或乙=甲+乙-都参加”及变形；“都不参加=总人数-至少参加一项”分步策略|从重叠概念（多算需减）到公式推导，再到“都参加”“都不参加”情境应用，形成“概念-公式-变式”认知链| |分层练习|10题（基础3/提高4/拔高3）|基础题巩固公式直接应用，提高题强化公式反推，拔高题训练综合运算|按“直接应用-公式变形-综合应用”梯度设计，匹配认知进阶规律| |易错辨析|3题（3类高频错解）|错解与正解对照，提炼“避免重复计算”“区分‘都参加’与‘都不参加’”等避坑要点|针对核心易错点，强化数学思维的严谨性与准确性|

人教版五年级 奥数思维专题·容斥原理·两集合（情境实战版） （教师版·含答案与详解） 例题精讲 + 分层练习【基础】【提高】【拔高】 + 详细解析 · 答案统一附于卷末 目 录 本专题为人教版五年级奥数思维训练：先读“例题精讲”掌握方法，再按【基础】【提高】【拔高】三档循序练习。教师/家长对照卷末“详细解析”批改讲评。 一、例题精讲（含完整解题步骤与方法点拨） ……………… 3题 二、分层练习 · 【基础】题 ……………… 3题 　　　　　　　 · 【提高】题 ……………… 4题 　　　　　　　 · 【拔高】题 ……………… 3题 三、易错辨析（错解剖析与对照，避坑清单） ……………… 3题 四、详细解析（每题解题思路与列式，统一附于卷末） ……………… 10题 学习目标（本专题具体考点） 1. 理解重叠问题：两部分相加会把“重叠的一份”多算一次，要减去重叠部分。 2. 核心公式：参加甲或乙的人数＝甲＋乙－两样都参加的人数。 3. 会由总人数、两项人数求“都参加”“都不参加”的人数，会画两个圆的示意图。 一、例题精讲 下面每道例题都给出完整的解题步骤与方法点拨，先学方法，再做后面的练习。 【例1】五（1）班参加数学小组的有25人，参加英语小组的有20人，两个小组都参加的有8人。参加数学或英语小组的一共有多少人？ 方法点拨：直接把两组人数相加，会把“两组都参加的8人”多算了一次，要减去一次。 参加数学或英语的人数＝25＋20－8＝45－8＝37（人）。 答：参加数学或英语小组的一共37人。 【易错点提示】求“甲或乙”＝甲＋乙－两者都有。重叠的部分只能算一次。 【例2】一个班40人，每人至少参加书法、绘画中的一项。参加书法的28人，参加绘画的22人。两项都参加的有多少人？ 方法点拨：每人至少参加一项，说明“书法或绘画”的人数就是全班40人。由 书法＋绘画－都参加＝40 反推。 都参加的人数＝书法＋绘画－总人数＝28＋22－40＝50－40＝10（人）。 答：两项都参加的有10人。 【易错点提示】两样都参加＝甲＋乙－总人数（前提是每人至少参加一项）。 【例3】全班45人，参加合唱的30人，参加舞蹈的18人，两项都参加的10人。两项都不参加的有多少人？ 方法点拨：先求至少参加一项的人数，再用总人数减去它。 至少参加一项＝30＋18－10＝48－10＝38（人）。 两项都不参加＝45－38＝7（人）。 答：两项都不参加的有7人。 【易错点提示】都不参加＝总人数－（甲＋乙－都参加）。先算“至少一项”，再被总数减。 二、分层练习 说明：题目按【基础】【提高】【拔高】三档标注，建议先做基础题打牢方法，再逐档挑战。 【基础】题（共3题） 1.【基础】校本课程某班参加园艺组的有25人，参加饲养组的有20人，两项都参加的有8人。参加园艺组或饲养组的一共有多少人？ 2.【基础】某周末班里，30人报名了街舞社，18人报名了轮滑社，其中6人两项都报了名。至少报名了一项的有多少人？ 3.【基础】科技节某班参加模型社的有22人，参加拼装社的有16人，两项都参加的有5人。参加模型社或拼装社的一共有多少人？ 【提高】题（共4题） 4.【提高】某社团联合体里，28人报名了软笔组，24人报名了硬笔组，其中12人两项都报了名。至少报名了一项的有多少人？ 5.【提高】某手拉手联队共40人，每人至少参加游泳队、田径队中的一项。参加游泳队的28人，参加田径队的22人。两项都参加的有多少人？ 6.【提高】某年级组共36人，人人都报了名，有的报编程社（25人），有的报数独社（19人），没有人两项都不报。那么编程社、数独社两项都报的有多少人？ 7.【提高】四（2）班共50人，每人至少参加围棋社、象棋社中的一项。参加围棋社的32人，参加象棋社的30人。两项都参加的有多少人？ 【拔高】题（共3题） 8.【拔高】某活动分团共45人，参加剪纸组的30人，参加陶艺组的18人，两项都参加的10人。两项都不参加的有多少人？ 9.【拔高】某科创班一共50人。28人参加了摄影社，25人参加了集邮社，其中12人两样都参加。既不参加摄影社也不参加集邮社的有多少人？ 10.【拔高】某社会实践团共40人，参加篮球队的24人，参加足球队的20人，两项都参加的8人。两项都不参加的有多少人？ 三、易错辨析（本专题最常见的错解与避坑对照） 说明：下面列出本专题最容易踩的坑，先看【错解】再看【正解】，重点体会“错在哪一步、为什么错”，做题时对照自查。 易错一：求“参加甲或乙”时把两部分直接相加 × 错解：参加甲25人、乙20人，都参加8人，误算成25＋20＝45（人）。 √ 正解：重叠的8人被多算了一次，要减掉：25＋20－8＝37（人）。 点拨：两部分相加，重叠部分算了两次；求“甲或乙”只能算一次，必须减去“都参加”。 易错二：求“两项都参加”时用总数直接减一项 × 错解：全班40人、书法28人，误把都参加算成40－28＝12（人）。 √ 正解：每人至少一项时：都参加＝书法＋绘画－总人数＝28＋22－40＝10（人）。 点拨：都参加＝甲＋乙－总人数（每人至少一项时）；拿总数减一项没有用到另一项，是错的。 易错三：把“都不参加”和“都参加”混为一谈 × 错解：问的是“两项都不参加”，却把答案写成“都参加的10人”。 √ 正解：先求至少一项＝30＋18－10＝38（人），都不参加＝45－38＝7（人）。 点拨：“都不参加”要先算“至少参加一项”，再用总人数减去它；它和“都参加”是完全不同的量。 四、详细解析 （每题给出解题思路与列式，答案统一附于此处） 【基础】题 1.【基础】校本课程某班参加园艺组的有25人，参加饲养组的有20人，两项都参加的有8人。参加园艺组或饲养组的一共有多少人？ 两项相加会把“都参加的8人”多算一次，要减去一次。 参加园艺组或饲养组的人数＝25＋20－8＝45－8＝37（人）。 答：一共37人。 2.【基础】某周末班里，30人报名了街舞社，18人报名了轮滑社，其中6人两项都报了名。至少报名了一项的有多少人？ 两项相加会把“都参加的6人”多算一次，要减去一次。 参加街舞社或轮滑社的人数＝30＋18－6＝48－6＝42（人）。 答：一共42人。 3.【基础】科技节某班参加模型社的有22人，参加拼装社的有16人，两项都参加的有5人。参加模型社或拼装社的一共有多少人？ 两项相加会把“都参加的5人”多算一次，要减去一次。 参加模型社或拼装社的人数＝22＋16－5＝38－5＝33（人）。 答：一共33人。 【提高】题 4.【提高】某社团联合体里，28人报名了软笔组，24人报名了硬笔组，其中12人两项都报了名。至少报名了一项的有多少人？ 两项相加会把“都参加的12人”多算一次，要减去一次。 参加软笔组或硬笔组的人数＝28＋24－12＝52－12＝40（人）。 答：一共40人。 5.【提高】某手拉手联队共40人，每人至少参加游泳队、田径队中的一项。参加游泳队的28人，参加田径队的22人。两项都参加的有多少人？ 每人至少参加一项，所以“参加游泳队或田径队”的人数就是全班40人。 都参加的人数＝28＋22－40＝50－40＝10（人）。 答：两项都参加的有10人。 6.【提高】某年级组共36人，人人都报了名，有的报编程社（25人），有的报数独社（19人），没有人两项都不报。那么编程社、数独社两项都报的有多少人？ 每人至少参加一项，所以“参加编程社或数独社”的人数就是全班36人。 都参加的人数＝25＋19－36＝44－36＝8（人）。 答：两项都参加的有8人。 7.【提高】四（2）班共50人，每人至少参加围棋社、象棋社中的一项。参加围棋社的32人，参加象棋社的30人。两项都参加的有多少人？ 每人至少参加一项，所以“参加围棋社或象棋社”的人数就是全班50人。 都参加的人数＝32＋30－50＝62－50＝12（人）。 答：两项都参加的有12人。 【拔高】题 8.【拔高】某活动分团共45人，参加剪纸组的30人，参加陶艺组的18人，两项都参加的10人。两项都不参加的有多少人？ 至少参加一项的人数＝30＋18－10＝48－10＝38（人）。 两项都不参加＝45－38＝7（人）。 答：两项都不参加的有7人。 9.【拔高】某科创班一共50人。28人参加了摄影社，25人参加了集邮社，其中12人两样都参加。既不参加摄影社也不参加集邮社的有多少人？ 至少参加一项的人数＝28＋25－12＝53－12＝41（人）。 两项都不参加＝50－41＝9（人）。 答：两项都不参加的有9人。 10.【拔高】某社会实践团共40人，参加篮球队的24人，参加足球队的20人，两项都参加的8人。两项都不参加的有多少人？ 至少参加一项的人数＝24＋20－8＝44－8＝36（人）。 两项都不参加＝40－36＝4（人）。 答：两项都不参加的有4人。 学科网（北京）股份有限公司 $