第22章直角三角形 单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第22章直角三角形单元卷，以生活情境与几何探究为载体，覆盖判定、勾股定理等核心知识，适配单元复习，提升推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题30分|直角三角形判定、命题真假、勾股定理证明方法|基础概念辨析，如第1题多角度判定直角三角形| |填空题|6题18分|勾股定理应用（旗杆问题）、折叠变换、方向角计算|情境化设计，如第14题渔船航行方向问题| |解答题|8题72分|综合证明（等边三角形判定）、实际应用（两树距离）、房梁安全判断|分层探究，如第19题从数学证明到实际结构安全分析，培养推理与模型意识|

第22章直角三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是() A.∠A=90°-∠B B.∠A+∠B=∠C C.AB:BC:AC=1:2:3 D,AC是BC边上的高 28.下列命题是真命题的是() A.有一个角是60°的三角形是等边三角形 B.若a>b,则a2>b2 C.在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D.三角形的一个外角大于任何一个内角 39.以下列长度为边的三角形，不能判断是直角三角形的为() A.1,2V5 B2,5.万c5,4.5 D.1,2,5 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6,以点C为圆心，CB长为半径 作弧，交AB于点D:再分别以点B和点D为圆心，大于2BD的长为半径作弧，两弧相交 于点E,作射线CE交AB于点F,则AF的长为() A.7 B.8 C.9 D.10 5.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC,CD⊥AC,要根据HL证明△ABC≌△CDA,则需 要添加的条件是() A D 试卷第1页，共3页 A.∠B=∠D B.∠ACB=∠CAD C.AB=CD D.AD=CB 6.如图，4D是△1BC的角平分线，DELAB,垂足为E,Sac=8,DE=2,AB=5 则AC长为() B A.5 B.4 c.3 D.2 7.如图，在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=6,以点A为圆心，以适当长为半径作弧， 交AB于点D,交AC于点B;分别以点D、B为圆心，以大于2DE的长为半径作弧，两弧 在∠BAC的内部相交于点F,作射线AF,交BC于点G:以点A为圆心，以AB的长为半 径作弧，交AC于点H,连接GH,则△CGH的周长为() A.8 B.9 c.11 D.14 8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，D是边AB上的一个动点，连接CD, 当CD为∠ACB的平分线时，将△CDB沿着CD翻折，得到△CDE.如下结论：①点E落在 AC上：②DE⊥AC;③DE平分∠ADC.结论正确的是() B A,①②正确 B.②③正确 C.①③正确 D.①②③都正确 9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E.若∠B=70°， ∠DAE=20°，则∠C的度数是()· 试卷第2页，共3页 B D E A.10 B.20 C.30° D.40 10.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是() D 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，操场上直立一根旗杆AB,旗杆垂直于水平地面.将一根不可伸缩的细绳一端 固定在旗杆项端A.若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端B,细绳还剩余I米；现将 细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点D处时细绳刚好绷直，此时测得旗 杆底部B与点D相距5米.求旗杆AB的高度 米. m B 图1 图2 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重 合，折痕为DE,连接CE,若CE=5,则AB的长为 13.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=6, DE=2,则△BCE的面积等于一 试卷第3页，共3页 B 14.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前 进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛， 两岛相距34海里，则乙船沿南偏东 度方向航行. 北 M 60° B →东 力 15.已知∠BAD=90°，AB=4,AD=3,BC=13,CD=12,连接BD,则∠BDC的度 数为° D 16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，点D是△ABC边上的一个动点，点E是边 AB上一定点，连接DE.当DE与△ABC的边垂直时，∠AED的度数为」 D 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.点D、E分别为AB、BC上的点，连接DE, CD,若∠B=30°，DE垂直平分AB,求证：△ADC是等边三角形 试卷第4页，共3页 B E 18.如图1，有两棵树，一棵高10米(AB=10米)，另一棵高2米(CD=2米)，两树 相距6米(BD=6米) 4 10米 M C 2米 52米 B D B长 6米 6米D(A) (图1) (图2) (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折 断处M距离地面多少米？ 19.【问题情境】如图①，在△ABC中，BD为AC边上的高. 斜梁 竖梁 横梁 图① 图② 图③ (I)【数学知识】若AD=1,BD=2,CD=4,求证：AB⊥BC: (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③， 己知斜梁BD⊥AC,斜梁AC=2.1m,BD=1.2m,横梁BC=2m.若横梁BC与竖梁 AB不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由. 20.如图，AB‖CD,AE和CE分别平分∠BAC和∠ACD,BD过点E,且与AB垂直.若 AC=10,且△ACE的面积为20，求BD的长度. 试卷第5页，共3页 D 21.直角三角形的三边长分别为a,b,c,其中C为斜边，h为斜边上的高. 0)求证：以+)，(a+),力的长为边，构成的三角形是直角三角形： 111 (2)求证：a+疗- 22.如图，点E是长方形ABCD边上的一点，将边AD沿直线AE折叠，使点D落在BC边 上的F点处，若AB=4cm,BC=5cm,求EC的长. 23.己知，如图，CD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F,且 ∠ACD=∠B (I)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若∠B=32°，求∠AEB的度数： (3)求证：∠CFE=∠CEF 24.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，点D在线段AB的延长线上，D与B不 重合，且AD<2AB.连接CD,过A作AE⊥CD于点E,AE与BC交于点F, 试卷第6页，共3页 B h E D (I)求证：△ABF≌aCBD: (2)连接BE,判断∠CAE与∠CBE的数量关系，并说明理由. 试卷第7页，共3页 第22章直角三角形单元测试卷 一、单选题(每题3分，共30分) 1．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 28．下列命题是真命题的是（   ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．若，则 C．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】C 【分析】根据等边三角形判定、不等式性质、角平分线判定定理、三角形外角性质逐项判断命题的真假即可解答． 【详解】解：A．有一个角是60度的等腰三角形才是等边三角形，故A是假命题； B．取，满足，但，故B是假命题； C．该选项是角平分线的判定定理，表述正确，故C是真命题； D．三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于该钝角，故D是假命题． 39．以下列长度为边的三角形，不能判断是直角三角形的为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】找出每个选项中最长边，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则该三角形是直角三角形，若不相等，则该三角形不是直角三角形． 【详解】解：选项A：，，，能构成直角三角形． 选项B：，，，能构成直角三角形． 选项C：，，，，不能构成直角三角形． 选项D：，，，能构成直角三角形． 4．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由尺规作图可知，，利用含角的直角三角形的性质可得，，因此． 【详解】解： 在中，， ∴，， 由尺规作图可知，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 5．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 6．如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为． ∵，，平分， ∴． ∴，即， ∴． 7．如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，， ， 由作图方法可得：平分， ， 在和中 ， ， ， 的周长为：． 8．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是（     ） A．①②正确 B．②③正确 C．①③正确 D．①②③都正确 【答案】D 【分析】根据三角形内角和及角平分线求出，结合翻折得到，由此判断①；根据翻折性质得到，结合①即可判断②；根据直角三角形两锐角互余判断③． 【详解】解：在中，，， ∴， 当为的平分线时，， 由翻折得， ∴， ∴点落在上，故①正确； 由翻折得， 由①知点落在上， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴平分，故③正确． 9．如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出，结合得到，再由角平分线定义得，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ． 在中，， ． ， ， 平分， ， 在中，三角形内角和为， ． 10．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出，若不能则符合题意． 【详解】解：A、大正方形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个长宽分别为、的长方形面积， ，该式属于完全平方公式， 图中不涉及斜边，不能用来证明勾股定理，符合题意； B、梯形面积3个三角形面积之和， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； D、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意． 故选A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 【答案】12 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据题意可得： ， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 12．如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 【答案】10 【分析】由折叠可得，点是的中点，再根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【答案】6 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 14．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 【答案】30 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 15．已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 16．如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 【答案】或或 【分析】当点D在上时，，当点D在时，，求解即可； 【详解】解：当点D在上，且时， ，， ， ； ：当点D在上，且时， ； 当点D在上，时， 根据题意，得； 3、 解答题（每题9分，共72分） 17．如图，在中，．点、分别为、上的点，连接，，若，垂直平分，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵在中，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【详解】略 18．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 19．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． (1)【数学知识】若，，，求证：； (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵为边上的高， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，且． (2)小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 【分析】（1）先利用勾股定理求得，，然后求得，则；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，，和分别平分和，过点E，且与垂直．若，且的面积为20，求的长度． 【答案】 【分析】过点作于点，根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据三角形面积公式求出，即可求出的长度． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵的面积为20， ∴， 解得：， ∴． 21．直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高． (1)求证：以，，的长为边，构成的三角形是直角三角形； (2)求证： 【答案】(1)证明：∵，，h这三个数中一定最大，， 又∵ ，， ∴ ， ∴， 根据勾股定理的逆定理， 即以，，h的长为边的三条线段能组成直角三角形； (2)证明：∵直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高， ∴即，， ∵左边右边 ∴． 【分析】（1）分别计算，，的平方，根据面积公式可得，再根据勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形． （2）根据面积公式可得，则，结合代入等式的左边，进行计算即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】根据长方形以及折叠的性质可得，，，，设，则，，然后对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，将边沿直线折叠， ，，，， 设，则． ， 在中，， ． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得． 的长为． 23．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 24．如图，在中，，，点在线段的延长线上，与不重合，且．连接，过作于点，与交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法； （1）利用同角的余角相等得到，进而可证； （2）利用等腰三角形的性质及角平分线的判定得到角的相等关系，进而在中论证即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴； （2）如图1，过点作，，垂足分别为，． 由（1）知， ∴，； ∴， ∴； ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $