第21章一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心知识，通过基础概念、解法应用与实际问题的梯度设计，适配单元复习，强化运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|定义（第2题）、根的概念（第1题）、判别式（第7题）|结合流感传染（第9题）考查模型意识| |填空题|6/18|一般形式（第11题）、代数式求值（第12题）|滑雪距离问题（第16题）体现应用意识| |解答题|8/72|配方法（18题）、根与系数关系（19题）、换元法（21题）、增长率（24题）|阅读材料题（20-22题）培养创新意识与推理能力|

第21章一元二次方程元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 3．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 4．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 5．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 6．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 8．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 9．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 10．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 12．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 13．方程的根是________． 【答案】 【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 14．已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 【答案】没有实数根 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 15．已知，，，则______． 【答案】 【分析】和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系即可求得的值． 【详解】解： 由题意得 ，，且， 可知，是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得 ． 16．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 18．解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程变形为再求解即可； （2）先将方程变形为，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ， 19．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 20．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 21．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 22．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； (2) ，方程的另一个根为 【分析】（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根． 【详解】（1）见答案 （2）将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 24．为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第21章一元二次方程元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.己知1是一元二次方程m-)r+3x-m=0 一个根，则m的值为() A.-1或2 B.-1 C.2 D.0 2.若方程m-3列r+3x-3=0 关于x的一元二次方程，则m的值为() A.-3 B.-1 c.1 D.3 3.若a+b-la+b+1)-4=0 ,则a+b的值为() A.2 B.2 C D.5 4,若实数口，b(a≠b 满足a2-2a-2=0,b-2b-2=0,则() A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a2+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a2+2b<0 5.已知实数m,n满足(m+-2(m+-15=0,则m+m的值为《) A.3 B.5 C.5或3 D.-3或5 6关于的方程r+(m+3)x+m+2=0 则方程根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个实数根 D.无法确定 7.若关于x的一元二次方程x+bx+3=0有两个相等的实数根，则b的值为（) A.23 B.25 C v3 D.±3 8若关于”的一元二次方程6+m=0两根为，名，且=2，则”的值为（) A.10 B.8 C.6 D.4 9.秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风 试卷第1页，共3页 等.若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人 传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为() A.r+(1+x)=81 B.1+x+x2=81 C.1+x+x01+x)=81 D.x+x1+x)=81 10.某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚. 市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚.为了尽快减少库存，店 主决定降价促销.销售一段时间后发现，平均日盈利为910元.假设每天售出徽章的数量 相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程() A.(12-x(80+10x)=910 (12+x)(80+10x)=910 c.(2-x80-10x)=910 D.(12+x)(80-10x)=910 二、填空题（每题3分，共18分） 1山，将关子的一元二次方程-m=4(x- 化为一般形式后，其常数项为0，则的值 为」 12.若m是方程x2-2x-4=0的一个根，则代数式2m2-4m-2025的值为一 13.方程4r=4的根是 4实致足9-26-卫-3G不.则天于4约方矿a46=0 的情况 是 15.己知m≠n,m2+2012m=2021,n2+2012n=2021,则mn=一. 16.新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪.己知滑行 距离S(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系是S=2.52+2t.若某滑雪者在山 坡上的出发点和终点的距离是176m,他需要s能到达终点. 试卷第2页，共3页 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知关于x的方程(m-5)r2+(m-V5)x+2=0 (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？ 18.解一元二次方程： a①3x2-9x+2=0 (配方法) 7x=-2x2-6 (公式法) 2+(2m-3)x+m2=0 19.已知关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根“，P满足 111 一十 aB,求m的值. 20.阅读下列材料： 材料一“2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式. x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 例如： (x+2)2≥0.(x+2)2+1≥1.x2+4x+5≥1 解决下列问题： x2-6x+10=(x)2+ (1)填空： 2-2xy+2y2+2y+1=0 (2)已知 0,求+y的值。 (3)比较代数式x2-1与2x-3的大小，并说明理由 21.阅读材料： 为解方程---小40，我们阿以将-小发为一个整体，然后设-1= 试卷第3页，共3页 x2-1)2=y2 则 y2-5y+4=0 原方程可化为 ① 解得片=4片=1 时，x-1=4,x2=5.x=士5 当4 时，-1=1.∴x2=2x=2 当少1 “原方程的解为=V5,=-5,名=5.名=5 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想， 请仿照材料解决问题： (x2-2x)2-5x2+10x-6=0 (1)解方程： (2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数. 22.请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+C=0,其中b、c均为整数，且有一 个根为 =5+2,求5、C的值， 晨晨同学根据二次根式的性质：(a=a(a≥0)，联想到了如下解法：由x=5+2得 x-2=5,则-2y=5,即2-4x+4=5,-4r-1=0.放b=4,c=-1. 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程1 2x2+bx+c=0 0,其中6、C均为整数，且有一个根为=2-5 ,求、 c的值. =-1 (2)已知 2,求代数式3x3+6x2+2025的值. 23。己知关于*的一元二次方程+1)r+(k+3)+2=0 (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根 (2)若方程有一个根为-2，求k的值及方程的另一个根. 试卷第4页，共3页 24.为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼.已知王大伯第一周行走的总路程为 10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长.经统计， 第三周时，单周路程达到了12100米. (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 试卷第5页，共3页