第21章 一元二次方程 单元综合能力测评卷 2025--2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 单元综合能力测评卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．一元二次方程x2－3x＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3 2．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（　　） A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9 C．（x+8）2=23 D．（x﹣8）2=9 3．如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同的人行通道，求人行通道的宽度为（　　）米 A．3 B．30 C．4 D．5 4． 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（　　） A．， B．， C．， D．， 5．下列方程中有相等的实数根的是（　　） A．x2+x+1＝0 B．x2+8x+1＝0 C．x2+x+2＝0 D．x2﹣x+ ＝0 6．2014年底，我国核电装机容量大约为2000万千瓦，到2016年底我国核电装机容量将达到约3200万千瓦．若设平均每年的增长率为x，则可列方程为（　　） A．2000（1+x）=3200 B．2000（1+2x）=3200 C．2000（1+x）2=3200 D．2000（1+x2）=3200 7．以3，4为两实数根的一元二次方程为（　　） A． B． C． D． 8．把方程x2﹣10x﹣3＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值（　　） A．﹣5、25 B．5、25 C．5、﹣28 D．﹣5、28 9．2016年某县投入500万元用于该县的精准扶贫，预计到2018年该项投入将达720万元，若该项投入每年的增长率都为x，则下列方程正确的是（　　） A．500（1+x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x）+500（1+x）2=720 D．500x2=720 10．设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的两个根分别是x1，x2，则x1+x2=　 　. 12．若方程是关于x的一元二次方程，则　 　． 13．已知x1，x2是方程x2＝2x+1的两个根，则 的值是　 　． 14．已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为　 　． 15．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为　 　． 16．某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为　 　；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解方程 （1） （2） 18．我国古代数学著作《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何?”其大意是:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽的各是多少步?”试用列方程解应用题的方法求出问题的解。 19．玩具店从厂家以每个2元的价格购进一批小玩具出售，若每个售价为3元，每天可以卖出80个，根据调查，玩具在售价3元的基础上，每涨价1元，就少卖出5个. 商店为了每天获得350元的利润，在售价不超过10元的情况下，每个玩具要涨价多少元？ 20． 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的两实数根之积等于，求的值． 21．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 22．已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值． 23．已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等） （1）证明方程的两根都小于0； （2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值． 24．已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若．求k的值． 25．定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． （1）把多项式配方成的形式，则________，________； （2）若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． （3）已知正整数，，满足不等式，求的值． 第21章 一元二次方程 单元综合能力测评卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．一元二次方程x2－3x＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3 【答案】C 【解析】【解答】解： x2－3x＝0 或 故答案为：C. 【分析】观察方程的特点，右边为0，左边易用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解，即可得出该方程的根. 2．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（　　） A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9 C．（x+8）2=23 D．（x﹣8）2=9 【答案】A 【解析】【解答】解：x2+8x+7=0， 移项得：x2+8x=﹣7， 配方得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9． 故选A 【分析】将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 3．如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同的人行通道，求人行通道的宽度为（　　）米 A．3 B．30 C．4 D．5 【答案】A 【解析】【解答】解：设人行通道的宽为x米，则两块草地可合成长为（45-3x）米，宽为（36-2x）米的矩形， 依题意得：（45-3x）（36-2x）=1080， 整理得：x2-33x+90=0， 解得：x1=3，x2=30（不合题意，舍去）． 所以，人行通道的宽为3米． 故答案为：A 【分析】设人行通道的宽为x米，则两块草地可合成长为（45-3x）米，宽为（36-2x）米的矩形，根据题意列出方程（45-3x）（36-2x）=1080，再求解即可。 4． 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】【解答】解：∵已知ax2-ax+c=0没有实数根， ∴Δ=(-a)2-4ac=a2-4ac=a(a-4c)<0， ∴当a>0时，a-4c<0， 当a<0时，a-4c>0， 故答案为：D. 【分析】一元二次方程没有实数根的条件是判别式Δ<0，通过计算判别式并分析其符号，结合选项中的条件确定正确选项. 5．下列方程中有相等的实数根的是（　　） A．x2+x+1＝0 B．x2+8x+1＝0 C．x2+x+2＝0 D．x2﹣x+ ＝0 【答案】D 【解析】【解答】解：A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0， ∴该方程没有实数根； B、在方程x2+8x+1＝0中，△＝82﹣4×1×1＝60＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根； C、在方程x2+x+2＝0中，△＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴该方程没有实数根； D、在方程x2﹣x+ ＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1× ＝0， ∴该方程有两个相等的实数根. 故答案为：D. 【分析】根据一元二次方程根的判别式，逐项进行判断，即可求解. 6．2014年底，我国核电装机容量大约为2000万千瓦，到2016年底我国核电装机容量将达到约3200万千瓦．若设平均每年的增长率为x，则可列方程为（　　） A．2000（1+x）=3200 B．2000（1+2x）=3200 C．2000（1+x）2=3200 D．2000（1+x2）=3200 【答案】C 【解析】【解答】解：依题意得：2015年的装机容量为：2000（1+x）， 则2016年的装机容量为：2000（1+x）2=3200． 故选C． 【分析】本题可先用x表示出2015年的装机容量，再根据2015年的装机容量表示出2016年的绿地面积的方程，令其等于3200即可． 7．以3，4为两实数根的一元二次方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=3+4=7，x1x2=12， 所以以3和4为根的一元二次方程为x2-7x+12=0. 故答案为：B. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可写出方程。 8．把方程x2﹣10x﹣3＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值（　　） A．﹣5、25 B．5、25 C．5、﹣28 D．﹣5、28 【答案】D 【解析】【解答】解：x2﹣10x﹣3＝0， 移项，得x2﹣10x＝3， 配方，得x2﹣10x+25＝3+25， 即（x﹣5）2＝28， 所以m＝﹣5，n＝28， 故答案为：D． 【分析】利用配方法求解即可。 9．2016年某县投入500万元用于该县的精准扶贫，预计到2018年该项投入将达720万元，若该项投入每年的增长率都为x，则下列方程正确的是（　　） A．500（1+x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x）+500（1+x）2=720 D．500x2=720 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得， 500（1+x）2=720， 故答案为：B． 【分析】根据题意找出等量关系：2018年该项投入将达720万元，可以列出相应的方程，从而可以解答此题。 10．设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设， 依题意， 解不等式①得：或， 解不等式②得：， 解不等式③得：， 解不等式④得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：D． 【分析】根据题意可得与的交点在范围内，且有2个不同交点，可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的两个根分别是x1，x2，则x1+x2=　 　. 【答案】4 【解析】【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=4. 故答案为：4. 【分析】利用一元二次方程根于系数的关系：x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1·x2=q，据此可求解。 12．若方程是关于x的一元二次方程，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得， ∴ 解得或， ∵，即， ∴， 故答案为：3． 【分析】 由一元二次方程的概念知，解得或，但一元二次方程的二次项系数不为0，则舍去即可． 13．已知x1，x2是方程x2＝2x+1的两个根，则 的值是　 　． 【答案】-2 【解析】【解答】解：方程化为一般式x2﹣2x﹣1＝0， 根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1， 所以 ＝ ＝ ＝﹣2． 故答案为﹣2． 【分析】把方程化为一般式，根据跟与系数的关系写出x1+x2，x1x2，然后计算即可. 14．已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为　 　． 【答案】－1或－3 【解析】【解答】由韦达定理可得： 即 解得： 或 经检验，都符合题意. 故答案为： 或 【分析】韦达定理： 15．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为　 　． 【答案】4 【解析】【解答】解：∵ ， 是方程 的两个实数根， ∴ ，即 ， ， ∴ ， 故答案为：4． 【分析】由一元二次方程的解结合根与系数的关系，可得出 ， ，将其代入所求式子计算即可． 16．某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为　 　；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为　 　． 【答案】； 【解析】【解答】解：设所求的矩形的两边分别是和，由题意得方程组 解得：或 这个矩形较短边的长为 当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组 ∴ 即 ∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的， ∴方程有实数根， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 【分析】第一空：根据题意得出设所求的矩形的两边分别是和，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；第二空：当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组，用代入法可得关于x的一元二次方程，根据“存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的”可知方程有实数根，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得b2-4ac≥0，整理即可求解． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解方程 （1） （2） 【答案】（1）解： ， 解得： ， 所以 ． （2）解： 解得： ． 【解析】【分析】（1）根据公式法解方程即可；（2）根据提公因式法解方程即可． 18．我国古代数学著作《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何?”其大意是:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽的各是多少步?”试用列方程解应用题的方法求出问题的解。 【答案】解：设矩形长为x步，宽为（x-12）步 x（x-12）=864 x2-12x-864=0 解得x1=36，x2=-24（舍） ∴x-12=24 答：该矩形长36步，宽24步 【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是（x-12）步,根据矩形面积864=矩形的长×矩形的宽4,即可得出方程求解即可. 19．玩具店从厂家以每个2元的价格购进一批小玩具出售，若每个售价为3元，每天可以卖出80个，根据调查，玩具在售价3元的基础上，每涨价1元，就少卖出5个. 商店为了每天获得350元的利润，在售价不超过10元的情况下，每个玩具要涨价多少元？ 【答案】解：设每个玩具要涨价x元， 由题意得：（3+x-2）（80-5x）=350， 解得：x1=6，x2=9（不合题意，舍）， 答：每个玩具要涨价6元. 【解析】【分析】设每个玩具要涨价x元，根据总利润=单件的利润×销售量，列出方程并解之即可. 20． 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的两实数根之积等于，求的值． 【答案】（1）解：由题意得：， ∴ 解得：， ∴的值为或 （2）解：由题意得： ∴ 即： 解得：， 当时， ∴舍去 当时， ∴的值为10. 【解析】【分析】（1）根据题意可知方程有两个相等的实数根，利用判别式可得关于m的一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）根据题意可知方程的两实数根之积等于 ，利用根与系数的关系得到，即可得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值，进而即可得到答案. 21．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】解：设应多种 棵桃树，根据题意，得 整理方程，得 解得， ， ∵多种的桃树不能超过100棵， ∴ （舍去） ∴ 答：应多种20棵桃树。 【解析】【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种 棵树每棵桃树的产量就会减少 个（即是平均产 个），桃树的总共有 棵，所以总产量是 个.要使产量增加 ，达到 个. 22．已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值． 【答案】解：∵x1、x2是方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根， ∴x1+x2=1﹣2a，x1•x2=a2， ∵（x1+2）（x2+2）=11， ∴x1x2+2（x1+x2）+4=11， ∴a2+2（1﹣2a）﹣7=0， 即a2﹣4a﹣5=0， 解得a=﹣1，或a=5 又∵△=（2a﹣1）2﹣4a2=1﹣4a≥0， ∴a≤ ． ∴a=5不合题意，舍去． ∴a=﹣1 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由 x1+x2=，x1•x2=，得出 x1+x2=1﹣2a，x1•x2=a2， 将方程 （x1+2）（x2+2）=11 去括号整理为 x1x2+2（x1+x2）+4=11， 然后整体代入即可得出一个关于字母a的方程，求解即可得出a的值，然后根据原方程的根的判别式的值应该不为负数列出不等式，求解得出a的取值范围，再检验即可得出答案。 23．已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等） （1）证明方程的两根都小于0； （2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值． 【答案】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0， ∴﹣4≤k≤﹣， ∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5， ∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0， ∴方程的两根都小于0； （2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19， ∵﹣4≤k≤﹣， ∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18． 【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0； （2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解． 24．已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若．求k的值． 【答案】（1）解：因为 关于x的一元二次方程有实数根 ， 所以，解得． （2）解：∵． ∴． 解这个方程，． ∴k的值为. 【解析】【分析】（1）根据方程有实数根，列出关于k的不等式求解； （2）利用根与系数的关系，将已知条件适当变形后求解. 25．定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． （1）把多项式配方成的形式，则________，________； （2）若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． （3）已知正整数，，满足不等式，求的值． 【答案】（1）2，1； （2）①证明：， 多项式的值一定恒为正数； ②解： ， 的最小值为9； （3）解：， ， ， ，，为正整数，所以，即， 或1或，即或5或3， 当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数， ，，， ； 当时，，即，与题意不符，舍去； 当时，，即，与题意不符，舍去． 综上所述，． 【解析】【解答】 （1） 解： ， ，， 故答案为：2，1； 【分析】 （1）若二次三项式的二次项系数为1，配方时可给原多项式加上再减去一次项系数一半的平方，则可将原式转化为一个完全平方式与一个常数和的形式； （2）①利用配方法将多项式A转化成，则其值恒大于或等于1； ②同理将配方成，即可确定最小值； （3）利用等式的性质和配方法可将原不等式变形为，由于，，都为正整数，则由平方式的非负性首先可得，即；其次再讨论的值，同理由平方式的非负性可得或或，再解不等式分别求出对应的的正整数解即可． （1）解： ， ，， 故答案为：2，1； （2）①证明：， 多项式的值一定恒为正数； ②解： ， 的最小值为9； （3）， ， ， ，，为正整数，所以，即， 或1或，即或5或3， 当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数， ，，， ； 当时，，即，与题意不符，舍去； 当时，，即，与题意不符，舍去． 综上所述，． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $