第12章 因式分解（单元测试·基础卷）数学沪教版五四制2024七年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第12章因式分解·基础通关·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 2 3 4 5 6 D D C D A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.-3a2b2(5a-3) 8.8016 9.-(x+2y)2 10.(m-1+n)(m-1-n) 11.(x-2y)(x-3y)12.7 13.7 14.7 15.2 16.-17 17.(x+3)2 18.8100 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(4分) 【详解】解：4(x-y)2-2(x+y)x-y) =2(x-y[2(x-y)-(x+y)门…(2分) =2(x-y)(2x-2y-x-y…(3分) =2x-y)(x-3y)·…(4分) 20.(4分) 【详解】解：原式=6782+2×678×322+322 =(678+3222…(2分) =10002…(3分) =1000000.…(4分) 21.(4分) 【详解】解：（x2-4x+7x2-4x+12 =(x2-4x+3)x2-4x+4)…(2分) =(x-1)(x-3(x-22…(4分) 22.(8分) 【详解】解：：a=2013x+2000,b=2013x+2002,c=2013x+2004, 1/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a-b=-2,b-c=-2,c-a=4,…(3分) ·a2+b2+c2-ab-bc-ac =2a2+26+2c2-2ah-2ac-2ael -[a-+(b-cP'+(c-a)] =-2+-2+] -44+16 24 =12,…(8分) 23.(8分) 【详解】解：设y=a,x+y=b,…(1分) .(1-xy2+(x+y-2(x+y-2xy) =(1-a2+(b-2(b-2a =1-2a+a2+b2-2ab-2b+4a =a2+b2-2ab+2a-2b+1 =(a-b)2+2(a-b)+1 =(a-b+1)2…(5分) =(y-x-y+1)2 =[x-(y-] =(x-1)2(y-12.…(8分) 24.(8分) 【详解】(1)解：29=52+22， 29是完美数，…(2分) (2)解：k=10时，s为“完美数”，理由如下： S=x2+y2+4x-6y+k =x2+4x+4+(y2-6y+9+k-13 214 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x+2+(y-3)2+k-13, :xy是整数， x+2,y-3也是整数， .当k-13=0,即k=13,S是完美数.…(8分) 25.(10分) 【详解】(1)解：由题意得2a+b=12=6,2ab=7. 2 4a2+b2 =(2a+b)2-4ab =62-2×7 =22.…(5分) (2)解：(2a-b)2=(2a+b)2-8ab=36-28=8. 8a3-4a2b-2ab2+b3 =4a2(2a-b-b22a-b) =(4a2-b2)(2a-b) =(2a+b)(2a-b)(2a-b) =(2a+b)(2a-b)2 =6x8 =48.…(10分) 26.(12分 【详解】(1)图2九个部分的面积和为2a2+5ab+2b2,整体上看是长为2a+b,宽为a+2b的长方形，因 此面积为(2a+b)(a+2b), 所以有2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b), 故答案为：(2a+b)(a+2b);…(4分) (2)①解：设AB=x, 由图4可知，S,=2ax-2a2,S2=3bx-2ab-b2, S,-S2=2ax-2a2-3bx+2ab+b2=(2a-3b)x-2a2+2ab+b2. 3/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为当AB的长度变化时，S,-S,的值始终保持不变，即x的系数为O, 所以2a-3b=0.…(8分) ②设AB=ma+nb AB.BC=(ma+nb)(2a+3b)=2ma2+(3m+2n)ab+3nb2, 因为用了B种卡片7张，A、C种卡片共8张。 所以 3m+2n=7 2m+3n=8’ 解得 m=1 n=2 :AB=a+2b 作图如下图所示： D 6 B B CCC 6 B B (12分) e Y B B B B Eb b bC 4/4 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第12章 因式分解·基础通关·考试版 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 3．把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块质量相等的鸡米花，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（    ） A． B． C． D． 5．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．因式分解： ． 8．利用平方差公式计算： ． 9．因式分解： ． 10．因式分解： ． 11．因式分解： ． 12．已知，，则 ． 13．已知，则 ． 14．已知，．则 ． 15．已知，，，那么 16．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 17．在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 18．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）因式分解： 20．（4分）计算：． 21．（4分）因式分解： 22．（8分）若，，，求代数式的值． 23．（8分）阅读下列解题过程： 分解因式： 分析：题中是，把分别看作，用公式法分解因式，即可得 解：设则 原式 像这样因式分解的方法叫做运用换元法的因式分解． 请你参照上述方法因式分解：． 24．（8分）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 25．（10分）如图，长、宽分别为的长方形，它的周长为12，面积为7．求下列整式的值： (1)； (2)． 26．（12分）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． (2)如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第12章 因式分解·基础通关·考试版 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 3．把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块质量相等的鸡米花，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（    ） A． B． C． D． 5．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．因式分解： ． 8．利用平方差公式计算： ． 9．因式分解： ． 10．因式分解： ． 11．因式分解： ． 12．已知，，则 ． 13．已知，则 ． 14．已知，．则 ． 15．已知，，，那么 16．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 17．在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 18．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）因式分解： 20．（4分）计算：． 21．（4分）因式分解： 22．（8分）若，，，求代数式的值． 23．（8分）阅读下列解题过程： 分解因式： 分析：题中是，把分别看作，用公式法分解因式，即可得 解：设则 原式 像这样因式分解的方法叫做运用换元法的因式分解． 请你参照上述方法因式分解：． 24．（8分）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 25．（10分）如图，长、宽分别为的长方形，它的周长为12，面积为7．求下列整式的值： (1)； (2)． 26．（12分）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． (2)如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第12章 因式分解·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、 ，是因式分解，但与D选项相比，D选项的因式分解更为彻底，是最佳选项，故A不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 2．下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、能用平方差公式，不符合题意； B、能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 3．把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， 由于多项式跟上式是同一个式子，所以同类项的系数相等， 可得：，， 解得：，， 故选：C． 4．本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块质量相等的鸡米花，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可得，这些鸡米花的数量可能是， 也可能是或， 不可能是， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 5．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 因为有一个因式是， 所以另一个因式是， 故选：D． 6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 8．利用平方差公式计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 9．因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．因式分解： ． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 12．已知，，则 ． 【答案】7 【详解】解：， ， 又， ， ， 解得：， ． 故答案为：7． 13．已知，则 ． 【答案】7 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， ∴． 故答案为：7 14．已知，．则 ． 【答案】7 【详解】解：， ， 又， ， ， 解得：， ． 故答案为：7． 15．已知，，，那么 【答案】 【详解】解：，，， 故答案为：． 16．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 17．在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 【答案】 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 18．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 【答案】8100 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）因式分解： 【详解】解： ……（2分） ……（3分） ．……（4分） 20．（4分）计算：． 【详解】解：原式 ……（2分） ……（3分） ．……（4分） 21．（4分）因式分解： 【详解】解： ……（2分） ……（4分） 22．（8分）若，，，求代数式的值． 【详解】解：∵，，， ∴，，，……（3分） ∴ ．……（8分） 23．（8分）阅读下列解题过程： 分解因式： 分析：题中是，把分别看作，用公式法分解因式，即可得 解：设则 原式 像这样因式分解的方法叫做运用换元法的因式分解． 请你参照上述方法因式分解：． 【详解】解：设，……（1分） ∴ ……（5分） ．……（8分） 24．（8分）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【详解】（1）解：， 是完美数，……（2分） （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数．……（8分） 25．（10分）如图，长、宽分别为的长方形，它的周长为12，面积为7．求下列整式的值： (1)； (2)． 【详解】（1）解：由题意得，． ．……（5分） （2）解：． ．……（10分） 26．（12分）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． (2)如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 【详解】（1）图2九个部分的面积和为，整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：；……（4分） （2）解：设， 由图4可知，，， ． 因为当的长度变化时，的值始终保持不变，即的系数为0， 所以． ……（8分） 设 ， 因为用了B种卡片7张，A、C种卡片共8张． 作图如下图所示： ……（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $