第十章 整式的加减 章末检测 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

**基本信息** 沪教版五四制七年级数学上册第十章整式的加减章末检测，全面覆盖整式概念、运算及应用，注重抽象能力、运算能力与模型意识培养，适配单元复习巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|整式概念、规律探究、新定义运算|结合幻方文化素材，考查符号意识| |填空题|6/18|同类项、多项式次数、数轴化简|设置新运算※，培养数学抽象| |解答题|8/72|化简求值、纠错、整体思想、日历规律、数字黑洞|以阅读材料（整体思想、数字黑洞）和实际情境（日历）为载体，发展推理意识与应用意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2026-2027学年沪教版五四制七年级数学上册 第十章整式的加减章末检测 考试时间：120分钟 满分：120分 注：单选题共10小题，满分30分，每小题3分；填空题共6小题，满分 18分，每小题3分；解答题共8小题，满分72分，每题9分。 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 M=2x2y-xy2,N=x2y-3xy2 1.已知 则M-w “的结果为() A.3xy-4x2 B.xv-4x2 C.-xy-2xy2 D xy+2xy2 2.下列说法正确的是() 302 A.单项式5的系数是-3 B.单项式52ab的次数是5 C.多项式4x2+3x-2的次数是2 D.多项式3ab2+2a2b-1的系数是3 3.观察下列关于x的单项式，探究其规律：2x3,-5x,10x,-17x°，26x1,-37x3, …按照上述规律，第100个单项式是() A.1001xo1 B.-1001x101 C.10001x201 D.-10001x201 4.对于任意实数m”,定义m@m=2m-3,则对于实数~(+)@(-刀的化简结 果为() A.5x+y B.5x C.5y D.-x+5y 4,,是一列数，4=-5,0=m+3」 aa asas as 5.已知"， ,任意三个相邻的 数之和为m,则e（) 试卷第1页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A.-5 B.2 C.3 D.5 6.若多项式r+2r-y-7与2-br-32+ 与 的差与的取值无关，则0-b 值为() A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知4=4-2x,8=X,C=2-产，D=少，E=y-.则下列说法正确的个数是 () ①多项式A+4C+B+D-E的值与x的取值无关： ②当-写2-2时，多项式A+39+C-D+6的值为8 ③存在正整数x和正整数y,使得D-C=11: ④如果多项 M=4+m(B+C)中不含x一次项，那么多项式M的值一定不小于4， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.六个互不相等的正整数4、6（从心∫按如图所示的方式排列，箭头所指向的数等于 指向它的两个数的和，例如b=d+e,若d+e+f=25,则数a的最大值是() d b A.39 B.40 C.43 D.47 9.若x+2+0-3)+2-16=0,则2(x+川的值为《) A.-4 B.4 C.4或-4 D.20或-20 10.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①，每个三角形的三个项点上 的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若x=-3,y比x大2，将x,y填 入图②的幻方中，则 (b-a)3·c-d 的值为() 试卷第2页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 3 n 5 8 a 7 2 m 4 b 图1 图2 A.12 B.16 C.-12 D.-16 二、填空题 11.若2a-b+3=0,则2(2a+b)-4b的值为， 12.若单项式2xy与单项式y”的和仍是单项式，则3n-2m= 13.若多项式a-3)r2-(-2列r+3 关于x的三次多项式，则多项式m+”的值为 a+a+b-b-c+a+c= 14.如图，点A、B、C表示的数分别是a、b、c,化简 A B 0 0 15.如图1，长方形区域内是近似的学校平面图，其中由三种不同的几何图形组成，规格 如图2所示，若c-2b=2,该长方形区域的长为 图1 图2 16.定义一种新运算“※”，规定：a※b=a-4b,例如：2※(-1)=2-4×(-1)=6 试卷第3页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 (1)则3)4 的值= (2)若m+2n=2,则} （m-2n)※(m+n) 的值三 三、解答题 17先化简，臂求值：26-小3-2)，共中=-山y=1 18.一次数学测验中有一道题：若a-3+b-2=0,求d+4松的值。试卷发下米后。 小刚发现自己的答案是错误的： a=3 群：由a-旷+b-斗-0，符6=2， 11 六a=32=9,b= 185 a+46=9+4×1 99； 小刚怎么也找不出错误的原因.聪明的同学，请你帮助小刚同学找出错误的步骤并改正过 来。 A=2x2+3xy-2x B=x2-xy+2x 19.已知代数式 (1)求A-2B: (2)当x=-1,y=3时，求A-2B的值： (3)若A-2B的值与x的取值无关，求y的值. 20.阅读材料 下面是老师布置的一道作业题：代数式x2+2x-1的值为5，则代数式x2+2x-5的值为多 少？淇淇做作业时采用的方法如下： 解：由题意，得x2+2x-1=5,则x2+2x=6, 所以x2+2x-5=6-5=1. 试卷第4页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 所以代数式x2+2x-5的值为1. 解决问题 2x2-y=2 (1)已知 求代数式2-少7 值； (2)当x=1时，代数式ax2-bx+5的值为2，则当x=-1时，求代数式ax2+bx-7的值： 6倒若3-2g=6,少-少=-8，求代数式3x-2的值 21.【教材呈现】课本109页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会 经常用到. 【例】合并同类项：4x-2x+x=(4-2+1)x=3x,类似地，我们也可以把(a+b)看成一个 整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+10(a+b)=3(a+b). 尝试应用： (1)把(a+b 看成一个整体，合并 (a+b)2-3(a+b)2+(a+b)2 的结果是 (2)已知 2-y=4 2x2-2y+2017 ,求 的值： 拓展探索： 3)已知a-2b=3,2b-c=-5,c-d=10,求(a-c)+(2b-)-(2b-c的值. 22.七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式心-y+6+3x-5y-l的值与x 的取值无关，求a的值”·通常的解题方法是：把x,y看作字母，a看作系数合并同类项， 因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式(a+3)r-6y+5 ,所以 a+3=0,则a=-3 【理解应用】 2x-3)m+2m2-3x (1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，则m的值为」 (2)已 A=2x2-(0-3加)x,B=-X2+m-1,且3A+6B的值与x的取值无关，求n的值. 【能力提升】 试卷第5页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 (3)有7张如图1的小长方形，长为4，宽为b,按照如图2的方式不重叠地放在大长方 形ABCD S ，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为， 左下角的面积为，设4B=X,当4B的长变化时，3汉-48， 的值始终保持不变，求a与b 的等量关系. B S1 S2 D 图1 图2 23.在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2018年12月的日历： 我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减， 例如：5×11-4x12=7,22×28-21×29=7,不难发现，结果都是7. 2018年12月 四 五 六 3 4 5 6 7 P 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 图1 2019年×月 日 二 三 四 五 六 试卷第6页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 b + 图2 请你按照这个算法完成下列问题： (1)计算：24×30-23×31=_ (2)如图2是2019年某月的日历，在这个日历上，我们任意选择了其中所示的方框部分 ①请用含字母n的整式表示：a=一：b=一；c=一 ②这个日历，是否具有上面的规律？如果没有，请举反例说明；如果有，请选择图2中所 选的方框部分，用含字母的整式计算对以上规律加以证明. 24.阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人 去探索.数字黑洞就是其中之一.所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次 “特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数.这个固定整数我们称为数字黑洞， 本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小 数 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个 数字相差1，如1111,6566等除外)，将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和 可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到6174， 我们称6174为四位“黑洞”数。 例如：取四位数1324； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：4321： 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：1234； 差：求出大数与小数之差，本例为：4321-1234=3087； 重复：对新数3087按以上算法求得新数为：8730-0378=8352： 试卷第7页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过-一日曝十日寒。 因危光乡笔 重复：对新数8352按以上算法求得新数为：8532-2358=6174， 重复：7641-1467=6174 任务： (1)学习小组成员A,取六位数123456，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密 码，这个密码是_： (2)类比阅读内容，小组成员B研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经 过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是： (3)小组成员C发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差” 操作中，最大数和最小数的差能被99整除，请证明这个结论. 试卷第8页，共20页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年沪教版五四制七年级数学上册 · 第十章整式的加减章末检测 · 考试时间：120分钟        满分：120分 · 注：单选题共10小题，满分30分，每小题3分；填空题共6小题，满分18分，每小题3分；解答题共8小题，满分72分，每题9分。 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意列式，利用整式加减运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是5 C．多项式的次数是2 D．多项式的系数是3 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查单项式和多项式的系数与次数的概念，解题的关键是掌握单项式和多项式的相关概念． 单项式的系数是数字部分，次数是字母指数之和；多项式的次数是最高次项的次数，多项式没有整体系数． 【详解】解：∵ A.单项式的系数是，不是， ∴ A错误； ∵ B. 单项式即，次数为字母指数和，不是5， ∴ B错误； ∵ C. 多项式中最高次项的次数为2， ∴ 次数为2，正确； ∵ D. 多项式没有整体系数，只有各项系数， ∴ D错误； 故选：C． 3．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式规律题、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题为单项式规律题．理解题意，总结出规律，并利用规律解题是关键．根据题意可总结规律为：奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，第n个单项式系数，次数是，从而利用规律即可解答． 【详解】解：单项式的次数为：2，，10，，26，， …第n个单项式的系数为：， ∴第100个单项式的系数为：， 单项式的次数为：3，5，7，9，11， ∴ 单项式的次数为：， ∴第100个单项式的次数为， 故第100个单项式是， 故选：D． 4．对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式的加减运算、去括号 【分析】题目主要考查整式的加减运算，理解新定义运算法则是解题关键． 根据新定义法则化简，然后计算整式的加减法即可． 【详解】解：根据题意得： 故选：D． 5．已知，，，，，…，是一列数，，，任意三个相邻的数之和为，则（ ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据任意三个相邻的数之和为，求出，，，从而可得这个数列是以、、为循环的数列，再结合，即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵任意三个相邻的数之和为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴这个数列是以、、为循环的数列， ∵， ∴， 故选：B． 6．若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减混合运算，根据多项式与的差与x的取值无关，即整理后含的项，系数为零，据此建立等式求出与的值，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 多项式与的差与x的取值无关， 且， 解得，， ， 故选：D． 7．已知，，，，．则下列说法正确的个数是（    ） ①多项式的值与x的取值无关； ②当时，多项式的值为8； ③存在正整数和正整数，使得； ④如果多项式中不含x一次项，那么多项式M的值一定不小于4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了代数式的有关运算，整式的混合运算，多项式中不含某项，根据整式的运算法则计算即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：① ，故①选项符合题意； ② ， 当时， 原式，故②不符合题意； ③， ∴，即， 当和为时，，故③符合题意；     ④ ， ∵多项式中不含x一次项， ∴， ∴， ∴原式，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有3个， 故选：C． 8．六个互不相等的正整数按如图所示的方式排列，箭头所指向的数等于指向它的两个数的和，例如，若，则数的最大值是（    ） A．39 B．40 C．43 D．47 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式加减的应用，由题意可得，即得，可知当数取最大值时，数取最大值，据此解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， ∵数要取最大值， ∴数要取最大值， ∵是六个互不相等的正整数，， ∴的最大值为， ∴数的最大值， 故选：． 9．若，则的值为（    ） A． B．4 C．4或 D．20或 【答案】C 【知识点】整式的加减中的化简求值、绝对值非负性、利用二次根式的性质化简 【分析】利用非负数性质求出 x 、 y、z 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵|x+2|+ (y-3) 2+ =0， ∴x+2=0，y-3=0，z2-16=0， 解得：x=-2，y=3，z=±4， 当x=-2，y=3，z=4时，z(x+y)=4×（-2+3）=4， 当x=-2，y=3，z=-4时，z(x+y)=-4×（-2+3）=-4， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，以及非负数的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则． 10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，y比x大2，将x，y填入图②的幻方中，则的值为（ ） A．12 B．16 C． D． 【答案】D 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，根据各数之间的关系，求出及的值是解题的关键．根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可用含x，y，m，n的代数式表示出a，b，c，d，进而可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：，，，， ，， ． 故选：D． 二、填空题 11．若，则的值为_____________． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由，可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算． 12．若单项式与单项式的和仍是单项式，则______． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值、同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个相同，即所含字母相同，相同字母的指数也相同；首先可判断单项式与单项式是同类项，再由同类项的定义可得、的值，代入求解即可． 【详解】解：单项式与单项式的和是单项式， 单项式与单项式是同类项， ，，解得，， ． 故答案为：． 13．若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为_____________． 【答案】3或5或1 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的定义．分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， 当时，，此时或6，则， ∴， ∴或1； 当，，此时，则， ∴， ∴； 故答案为：3或5或1． 14．如图，点A、B、C表示的数分别是a、b、c，化简 ________ ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值，数轴，根据点A、B、C所表示的数a、b、c在数轴上的位置可得，且，再根据有理数加法的计算方法得到，，，由绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：由点A、B、C所表示的数a、b、c在数轴上的位置可知，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 15．如图1，长方形区域内是近似的学校平面图，其中由三种不同的几何图形组成，规格如图2所示，若，该长方形区域的长为________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据题意得出数量关系是解题关键．根据平面图中长方形的宽的表示方法，得到，再结合，可得，利用正方形与半圆环的位置关系，得到，，进而求出，，，即可求出长方形区域的长． 【详解】解：由图形可知，长方形的宽可以表示为，也可以表示为， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ，， ， 该长方形区域的长为， 故答案为： 16．定义一种新运算“※”，规定：，例如：． （1）则的值__________； （2）若，则的值__________． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了新运算法则、代数式求值等知识点，掌握新运算法则成为解题的关键． （1）直接根据新的运算法则求解即可； （2）先根据新的运算法则化简，然后将整体代入求值即可． 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的加减运算法则．先去括号，再合并同类项，得出化简结果，再代入求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18．一次数学测验中有一道题：若，求的值．试卷发下来后，小刚发现自己的答案是错误的： 解：由，得， ∴，， ∴； 小刚怎么也找不出错误的原因．聪明的同学，请你帮助小刚同学找出错误的步骤并改正过来． 【答案】见解析 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方运算，求代数式的值．利用非负数的性质求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：小刚同学计算错误，应是． ∴． 19．已知代数式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）先把已知条件中的，代入，然后利用去括号法则和合并同类项法则进行化简即可； （2）把当，代入（1）中化简的，然后进行计算即可； （3）根据的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：当，时， ； （3）解：由（1）可知： ， 的值与的取值无关， ， 解得：． 20．阅读材料 下面是老师布置的一道作业题：代数式的值为5，则代数式的值为多少？淇淇做作业时采用的方法如下： 解：由题意，得，则， 所以． 所以代数式的值为1． 解决问题 (1)已知，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为2，则当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式的加减运算，利用整体思想求解是解题的关键． （1）利用整体代入法求解即可； （2）根据题意可求出，再把代入所求式子中计算求解即可； （3）根据题意可得，，据此代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵当时，代数式的值为2， ∴， ∴， ∴当时， （3）解：∵，， ∴，， ∴． 21．【教材呈现】课本109页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是____________； （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）2025；（ 3 ） 8 【知识点】整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）把看成一个整体，根据合并同类项法则进行计算即可； （2）把所求式子写成的形式，再代入进行计算即可； （3）根据已知条件，求出，再利用去括号法则和合并同类项法则化简所求式子，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式， 故答案为：； （2）， ； （ 3 ）∵， ∴得：， 得：， ． 22．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_______； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求n的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） ；（3） 【知识点】整式加减中的无关型问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）先求出，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】解：（1）依题意：因为， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ∴， ∴． （2）解：∵ ， ∵的值与的取值无关， 所以， 则． （3） 解：依题意，由图形可知：，， ∴， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2018年12月的日历.我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：5×11﹣4×12＝7，22×28﹣21×29＝7，不难发现，结果都是7. 2018年12月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 图1 2019年×月 日 一 二 三 四 五 六 × × × × × × × × × × × × n a × × × × × b c × × × × × × × × × × 图2 请你按照这个算法完成下列问题： (1)计算：24×30﹣23×31＝_____； (2)如图2是2019年某月的日历，在这个日历上，我们任意选择了其中所示的方框部分. ①请用含字母n的整式表示：a＝_____；b＝_____；c＝______. ②这个日历，是否具有上面的规律？如果没有，请举反例说明；如果有，请选择图2中所选的方框部分，用含字母n的整式计算对以上规律加以证明. 【答案】(1)7；(2)①n+1，n+7，n+8；②这个日历，具有上面的规律，证明见解析. 【知识点】数字类规律探索、整式四则混合运算 【分析】(1)先算乘法，再算减法即可； (2)①根据表格中数字的规律解答即可；②用含n的代数式表示出题目特点的4个数，列式计算即可. 【详解】解：(1)24×30﹣23×31＝720﹣713＝7. 故答案为7. (2)①设方框中四个数的左上角的为n，则其它三个数为n+1、n+7、n+8. 故答案为n+1、n+7、n+8. ②这个日历，具有上面的规律. 证明：根据题意，得 (n+1)(n+7)﹣n(n+8) ＝n2+8n+7﹣n2﹣8n ＝7. 答：这个日历，具有上面的规律. 【点睛】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算、数字的变化类，找出数字间的规律，正确表示出a，b，c，并列出算式是解答本题的关键． 24．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： (1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； (2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； (3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 【答案】(1)； (2)； (3) 解：设一个三位数各数位上的数由组成，且， 则所组成的最大三位数为：，所组成的最小三位数为：， ∴最大数与最小数之差为 ， ∵为正整数， ∴最大数和最小数的差能被整除． 【知识点】整式加减的应用、有理数减法的实际应用、数字类规律探索 【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分析题意． （）根据“重排求差”法求解即可； （）任取三位数，根据“重排求差”求解，进而找到规律； （）根据题意得到最大三位数为，所组成的最小三位数为，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：取六位数； 大数：这六个数字能构成的最大数为 小数：这六个数字能构成的最小数为； 差：大数与小数之差为； 故答案为：； （2）解：任取三位数； 大数：这三个数字能构成的最大数为：； 小数：这三个数字能构成的最小数为：； 差：大数与小数之差为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：， ∴这个数是， 故答案为：； （3）略 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $