专题2.4 有理数的加法与减法（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题2.4 有理数的加法与减法 【本节预习目标】 1.理解并掌握有理数加法、减法法则，能规范完成有理数的加减运算及混合运算，提升运算准确率。 2.掌握有理数加法交换律与结合律，能根据算式特点灵活选用简便方法优化运算过程。 3.理解“减法转化为加法”的转化思想，能运用有理数加减解决实际情境问题，建立数学模型。 4.结合数轴、绝对值理解加减运算的几何意义，体会数形结合思想，发展数学运算与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 有理数基础 有理数的分类；数轴、相反数、绝对值的概念与性质 有理数加减运算的核心是符号判断与绝对值计算，依赖相反数、绝对值的基础性质 算术运算 正数与0的加法、减法运算规则 有理数加减是算术加减的拓展，引入负数后遵循“先定符号，再算绝对值”的运算逻辑 数量关系 生活中相反意义的量的表示方法 有理数加减可刻画升降、收支、位移、时差等相反意义的量的变化过程 知识点1：有理数的加法法则 1.加法法则分类 运算类型 法则核心 示例 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 ； 一个数与0相加 仍得这个数 2.通用运算步骤 第一步判断加数的符号类型（同号、异号、含0）；第二步确定和的符号；第三步计算和的绝对值，即“先定号，后定值”。 知识点2：有理数的加法运算律 1.基本运算律 加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，即。 加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即。 2.常用简便运算策略 多个有理数相加时，可灵活分组简化运算：相反数结合凑0、同号结合简化定号、同分母结合简化通分、凑整结合减少计算量。 知识点3：有理数的减法法则 1.法则内容 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 2.转化要点：“两变一不变” 两变：减号变为加号，减数变为它的相反数； 一不变：被减数保持不变。 减法没有交换律，被减数与减数不能随意交换位置。 知识点4：有理数的加减混合运算 1.运算思路 利用减法法则将所有减法统一为加法，将混合运算转化为若干有理数的代数和形式。 2.省略书写形式 统一为加法后，可省略加号和每个加数的括号，例如可简写为。 有两种读法：按性质符号读作“负7、正4、负9的和”；按运算符号读作“负7加4减9”。 3.运算步骤 ①减法化加法；②省略加号与括号；③运用加法运算律优化计算顺序；④按加法法则得出结果。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数加法运算 1.核心知识点 有理数加法法则；符号判断与绝对值计算 2.解题方法技巧 ①先区分同号、异号、含0三种类型，匹配对应加法法则； ②同号相加直接定号、累加绝对值；异号相加先比较绝对值大小，再定号、算差值； ③互为相反数的两数直接得0，一个数加0直接得原数。 【例题1】.（2026·广东清远·三模）《九章算术》中最早提出了正负数加减法的法则．计算=（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数加法法则计算即可．有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴结果的符号为负，计算得， ∴． 【变式题1-1】.（26-27七年级·全国·暑假作业）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义化简绝对值，再计算各选项的结果，即可判断出正确选项． 【详解】解：A、，故本选项计算错误． B、，故本选项计算错误． C、，故本选项计算错误． D、，故本选项计算正确． 【变式题1-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式题1-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型2】有理数减法运算 1.核心知识点 有理数减法法则；相反数的概念 2.解题方法技巧 ①严格执行“减号变加号，减数变相反数”的转化规则，两步变号缺一不可； ②转化为加法后，再按照加法法则完成计算； ③大数减小数结果为正，小数减大数结果为负，可直接判断差的符号。 【例题2】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）___________． 【答案】 【详解】解：． 【变式题2-1】.（2026·安徽合肥·模拟预测）计算：____________． 【答案】7 【详解】解：． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，熟知有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加法运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的减法，有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，解决本题的关键是先根据有理数的减法法则把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． (1)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (2)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (3)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (4)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (5)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (6)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【题型3】加减混合运算计算 1.核心知识点 减法化加法；加减混合运算基本步骤 2.解题方法技巧 ①第一步先将所有减法统一为加法，写成完整的代数和形式； ②可按从左到右顺序依次计算，也可初步分组简化； ③每一步运算先定结果符号，再计算绝对值，避免符号疏漏。 【例题3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算： 【答案】0 【分析】先去括号，然后根据有理数的加减运算法则计算即可 【详解】解：原式               【变式题3-1】.（25-26七年级上·福建漳州·期末）计算：． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化计算； （2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算； （3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算； （4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号和绝对值，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【培优提升题型】 【题型4】加减法运算律的简便计算 1.核心知识点 加法交换律与结合律；多种简便运算技巧 2.解题方法技巧 ①相反数结合法：互为相反数的两个数优先结合，和为0可直接消去； ②同号结合法：所有正数、所有负数分别结合相加，再计算最终异号和； ③同分母结合法：分母相同或易通分的分数优先结合，减少通分次数； ④拆项法：带分数可拆为整数与分数的和，分别计算整数部分、分数部分，再合并结果。 【例题4】.（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 【变式题4-1】.（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法运算律，根据有理数的加减运算法则及运算律计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算及加法运算律的应用，解题的关键是利用加法交换律和结合律，将互为相反数或同分母的数结合简化计算． （1）结合互为相反数的数与同分母分数计算； （2）结合互为相反数的数简便计算； （3）将小数化分数后，结合同分母分数计算； （4）拆分带分数，结合整数部分与分数部分分别计算． 【详解】（1） （2）解： （3） （4） 【变式题4-3】.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，正确理解拆项法，把带分数拆成整数与分数两个部分是解题的关键． 根据拆项法的定义，先把带分数拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可． 【详解】解　原式 【题型5】跨学科情境的加减建模 1.核心知识点 有理数加减运算；跨学科数量关系提取 2.解题方法技巧 ①从地理时差、物理温度变化、体育比赛净胜球等情境中提取数据； ②确定基准量，将每次变化量用正负数表示； ③通过加减运算计算最终量，结合学科常识检验结果的合理性。 【例题5】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图是陈阿姨手机记账软件显示的“双十一”期间（至）收支信息，阅读信息并解决问题（手机软件中用“+”表示收入，用“”表示支出）． 本周收支变化：元 [本周收入] 收入：元   2025.10.21 红包：元   2025.10.22 收入：元   2025.10.23 退款：元   2025.10.24 合计：元 本周支出： 餐饮：元   2025.10.21 红包：元   2025.10.22 网购：元   2025.10.23 网购：元   2025.10.24 付款：元   2025.10.25 (1)陈阿姨本周买了一件衣服但因为尺寸不合适又马上退款了，这件衣服的价格可能是______元． (2)“双十一”闪购当天，陈阿姨收到了家人发来的一些红包，也发出了一些红包．陈阿姨当天收发红包是赚了还是亏了？具体多少金额？ (3)本周支出一共有五项，手机如果向下滑动就能看到最后的一项合计金额．聪明的你能否通过目前显示的信息得出最后的合计金额呢？（精确到个位） 【答案】(1) (2)陈阿姨当天收发红包是赚了，赚了元 (3)最后的一项合计金额大约元 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，有理数混合运算的应用，理解正负数的实际应用是解题的关键． 根据收支信息即可解答； 将陈阿姨收红包的收入减去发红包的支出，若为负数，则亏了，若为正数，则赚了，据此即可解答； 根据“已知本周收支变化为元，可知支出比收入多30元，即可解答． 【详解】（1）由图可知，退款收入元， 故这件衣服的价格可能是元． 故答案为：； （2）本周陈阿姨收红包收入：， 发红包支出：， 元， 答：陈阿姨当天收发红包是赚了，赚了元； （3）∵已知本周收支变化为元， ∴支出比收入多30元， ∵本周收入合计元， ∴本周支出合计为：元． 【变式题5-1】.（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)17；152 (2)160厘米 (3)青蛙在第18次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数、有理数加法、有理数减法的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底和井口的距离即可求解； （2）用井深减去青蛙第七次跳跃并下滑稳定后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解： 井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第一次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第二次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底26厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第三次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底41厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第四次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底64厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第五次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底80厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第六次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底90厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第七次跳跃以后没有下滑前：，表示青蛙在距离井底108厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 当青蛙跳完第一次以后距离井底最近为17厘米，当调完第七次后示下滑时，青蛙在距离井口最近152厘米处， 故答案为：17，152； （2）解：第七次跳跃并下滑稳定后：，表示青蛙在距离井底100厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有160厘米． （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完2周以后，距离井口的距离（厘米），此时青蛙完成了14次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：（厘米）， ∵ ∴青蛙又继续跳跃4次就跳出了井口， ∴青蛙在第18次跳出了井口． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格．每次开锁时需要先把表示“0”的刻度与固定盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6次．规定：逆时针旋转记为“”，顺时针旋转记为“”，例如“”表示顺时针旋转5小格，此时标记线对准的数为35． (1)若开锁密码为“，，，，，”（需旋转6次），请描述第一次的旋转过程，并求锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数； (2)若转盘逆时针旋转1小格损耗单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗单位零件寿命，请计算第（1）问打开锁的过程中零件寿命总损耗． 【答案】(1)过程见解析，刻度线所表示的数为 (2) 【分析】本题考查正负数的意义，有理数的加减运算的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）根据题干背景，描述旋转过程即可；将6个数相加，根据结果判断所表示的数； （2）根据（1）的旋转过程，分别计算顺逆时针的寿命消耗，相加即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一次旋转过程为：逆时针旋转15小格， ， ， ∴刻度线所表示的数为； （2）解：， ， ， ∴零件寿命总损耗为单位． 【变式题5-3】.（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）综合与实践 【项目主题】某新能源汽车耗电情况． 【项目背景】近几年全球新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量大幅增加小明家购置了一辆续航为充满电能行驶的最大路程的新能源纯电动汽车，小明想记录汽车行驶过程中的耗电情况． 【项目实施】 他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：以为标准，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”），已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 【项目任务】 (1) “”处的数为______，“”处的数为______； (2)行驶路程最多的一天与最少的一天相差______； (3)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航里程不足续航路程的，行车电脑就会发出充电提示请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)， (2) (3)行车电脑会发出充电提示 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数正负数的应用等知识点，理解题意、列出正确的算式是解题的关键． （1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“＋”，不足部分记为“－”，据此即可解答； （2）先确定最多的一天和最少的一天，然后再作差即可； （3）先求出新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再求出电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意知第三天行驶了，第六天行驶了， 则第三天处的数为：，第六天处记录的数为：， ”处的数为，“”处的数为． 故答案为：，． （2）行驶路程最多的一天，最少的一天为， 所以行驶路程最多的一天与最少的一天相差． 故答案为：． （3）新能源纯电汽车天行驶， 行车电脑会发出充电提示路程， ， 行车电脑会发出充电提示． 【题型6】有理数加减与数轴、绝对值的综合 1.核心知识点 数轴上数的符号与大小；绝对值的非负性；距离的几何意义 2.解题方法技巧 ①根据数轴上点的位置，判断数的正负与绝对值大小，进而判断和、差的符号； ②若几个非负绝对值的和为0，则每个绝对值内的代数式均为0，可列方程求参数； ③数轴上两点间的距离等于对应两数差的绝对值，可借助减法表示两点距离。 【例题6】.（2026·河北保定·三模）如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【答案】(1)4 (2)或3 【详解】（1）解：由数轴可知：点M，N之间的距离为； （2）解：∵点A，N之间的距离为2，且点N表示的数为1， ∴点A表示的数为或， 即x的值或3． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，关键是应用知识点解决问题； （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分情况讨论在不同位置时，代数式的值，比较并得出最小值； （3）通过观察可发现在到这段线段的中点时，代数式有最小值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山西晋中·期末）数轴上的定点A，B表示的数分别是a，b，且满足． (1) ________，________；A，B间的距离为________； (2)数轴上一点C距点A 7个单位长度，其表示的数c满足．求点B，C之间的距离． 【答案】(1)6， ，10 (2)3 【分析】本题考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，注意距离与数轴上的点的区别是解题的关键． （1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a，b，再求两点的距离即可； （2）根据题意判断c的符号，结合与点A距离7个单位长度即可解答． 【详解】（1）解： ∵，， ∴，解得， ，解得， ∴； （2）解：由（1）可知． 因为，所以或，所以或． 因为点C距点A 7个单位长度， 所以或， 又因为，所以点C在数轴上表示的数为 所以点B，C之间的距离为． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． (1)若原点落在点B处，则点A表示的数是____，点C表示的数是____． (2)若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是____． (3)用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 【答案】(1)；3 (2)3 (3)0 【分析】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键． （1）根据原点位置结合，即可解答； （2）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； （3）先表示出三点表示的数，求和即可. 【详解】（1）解：原点落在点处，， 点表示的数是 点表示的数是 故答案为：； （2）解：， ， 表示的数互为相反数， 点表示的数是,点表示的数是， 此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：将原点从点向左移动2个单位： 点表示的数是2， ， 点表示的数是,点表示的数是 表示三点表示的数之和， ． 【压轴素养题型】 【题型7】有理数加减中的规律探究 1.核心知识点 有理数加减运算；数列规律归纳与分组计算 2.解题方法技巧 ①交替加减型数列：采用分组法，每2个或4个数为一组，简化为多组相同结果的求和； ②程序运算型：按给定规则逐步代入计算，不满足输出条件则循环代入； ③先计算前3-4组结果，寻找周期或通项规律，再推广到一般项求解。 【例题7】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算，根据图形，发现规律是解题的关键． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则， 故选：B． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·河北保定·期末）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______________．任何数同0进行“※”运算，都得__________________． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． 【答案】（1）绝对值相加；这个数的绝对值；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查有理数加法运算，去括号，绝对值，以及新定义． （1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2） =； （3）当时，； 当时，； 当时，． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）定义数组的变换：依次排列的一组数，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数组．以数组为例，步骤如下： ①第1次变换后得到数组； ②第2次变换后得到数组； … 则数组第4次变换后得到的数组中所有数的和为______； 若一组有理数，这组数经过2026次变换后，利用你所观察的规律，这组数的和为______（用含有的式子表示并化简）． 【答案】 36 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给变换方式发现每次变换后数组中各数之和的变化规律是解题的关键． 列出数组第4次T变换后得到的数组，求出和即可； 通过观察T变换过程，发现每次变换后数组的和增加，因此经过次变换后，数组的和为初始和加上次，即，根据此即可求解． 【详解】解：由题知，数组第1次T变换后得到的数组为； 数组第2次T变换后得到的数组为； 数组第3次T变换后得到的数组为； 数组第4次T变换后得到的数组为； 数组中所有数的和为：． 故答案为：36． 当一组有理数为时， 第1次T变换后得到的数组为，这组数的和为：， 第2次T变换后得到的数组为，这组数的和为：， 第3次T变换后得到的数组为，这组数的和为：， 由此可见，每次T变换后，所得数组的和增加， ∴这组数经过2026次变换后，这组数的和为：． 故答案为：． 【变式题7-3】.（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．根据题意可分析出这20数的和的个位数为0，经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，据此即可确定答案． 【详解】解：， 这20数的和的个位数为0， 经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数， 或， 另一个数是或6． 故选：C． 【题型8】开放探究类加减问题 1.核心知识点 有理数加减运算；分类讨论与逻辑推理 2.解题方法技巧 ①先明确题目约束条件，列举符合条件的取值情况； ②多解问题按符号、大小分类讨论，避免遗漏取值； ③可通过特殊值法验证结论，再推广到一般情况完成说理。 【例题8】.（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，，当时，．根据以上阅读回答下面的问题： (1)______； (2)______； (3)若有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键. （1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值; （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值; （3）判断的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值. 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） ∵, 即, ∴， 故答案为：； （4） 原式． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·北京西城·期中）一种新运算定义如下： (1)计算：______； (2)计算：______；（括号内的式子先进行运算） (3)我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足交换律：______（填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足结合律：______（填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 【答案】(1)12 (2)16 (3)①是；②否，见解析 【分析】此题考查了加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算计算即可； （3）①分别计算与，即可得到答案；②利用反例进行判断即可． 【详解】（1）解：， （2）， （3）①，， ∴， 故该新运算满足交换律； 故答案为：是 ②当时，，，两者不相等． 故该新运算不满足结合律， 故答案为：否 【变式题8-2】.（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 【变式题8-3】.（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整； 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用__________________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得__________________． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 【答案】(1)正；负；都得0；这个数的绝对值 (2)①0；②不成立，理由见解析 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可； ②设，，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；都得0；这个数的绝对值； （2）解：① ， 故答案为：0； ②不成立，理由如下： ，，， 左边， 右边， 因为左边右边， 所以不成立． 易错点 1、异号两数相加运算错误：易误将绝对值直接相加，或取错和的符号，需牢记“取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值”。 2、减法转化加法变号不完整：只改变减号或只改变减数符号，必须同时完成“减号变加号、减数变相反数”两步变号。 3、运算律交换时遗漏数的符号：交换加数位置时，需连同数前的性质符号一起移动，不能只移动数字部分。 4、实际问题混淆代数和与绝对值和：求最终位置、最终结余用代数和，求总路程、总耗用量用各数绝对值之和。 重点 1、有理数加法、减法的运算法则，掌握“先定符号，后算绝对值”的核心运算逻辑。 2、灵活运用加法运算律进行简便计算，熟练完成有理数加减混合运算。 3、运用有理数加减建立实际问题的数学模型，解决生活与简单跨学科情境问题。 难点 1、异号两数相加、减法转化加法中的符号精准处理。 2、规律探究、新定义、幻方等创新题型中的逻辑推理与分类讨论。 一、单选题 1．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 2．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 二、填空题 4． _____． 【答案】4 【分析】根据相反数的意义化简多重符号，根据绝对值的性质化简绝对值，再进行有理数加法运算． 【详解】解：． 5．规定表示不超过的最大整数，则______． 【答案】 【详解】解： 6．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法法则进行变形，即可得到结果． 【详解】解：． 三、解答题 7．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 8．有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【答案】(1) (2)从左到右依次为，，，，，，， (3)总质量为198千克，平均每筐质量为千克． 【分析】（1）根据包装质量的要求，即可选出基准数． （2）将每个数减去基准数，即可求出每筐质量与基准数的相差数． （3）利用有理数的加法法则即可求出总质量，根据总质量筐数即可求出每筐的质量． 【详解】（1）解：包装质量为每筐26千克， 选取的恰当基准数为26． （2）解：选取的基准数为26千克， ，，，，，，，， 从左往右依次是，，，，，，，． （3）解：， 8筐水果的总质量为（千克）． 平均每筐的质量为（千克）． 9．习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 有理数的加法与减法 【本节预习目标】 1.理解并掌握有理数加法、减法法则，能规范完成有理数的加减运算及混合运算，提升运算准确率。 2.掌握有理数加法交换律与结合律，能根据算式特点灵活选用简便方法优化运算过程。 3.理解“减法转化为加法”的转化思想，能运用有理数加减解决实际情境问题，建立数学模型。 4.结合数轴、绝对值理解加减运算的几何意义，体会数形结合思想，发展数学运算与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 有理数基础 有理数的分类；数轴、相反数、绝对值的概念与性质 有理数加减运算的核心是符号判断与绝对值计算，依赖相反数、绝对值的基础性质 算术运算 正数与0的加法、减法运算规则 有理数加减是算术加减的拓展，引入负数后遵循“先定符号，再算绝对值”的运算逻辑 数量关系 生活中相反意义的量的表示方法 有理数加减可刻画升降、收支、位移、时差等相反意义的量的变化过程 知识点1：有理数的加法法则 1.加法法则分类 运算类型 法则核心 示例 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 ； 一个数与0相加 仍得这个数 2.通用运算步骤 第一步判断加数的符号类型（同号、异号、含0）；第二步确定和的符号；第三步计算和的绝对值，即“先定号，后定值”。 知识点2：有理数的加法运算律 1.基本运算律 加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，即。 加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即。 2.常用简便运算策略 多个有理数相加时，可灵活分组简化运算：相反数结合凑0、同号结合简化定号、同分母结合简化通分、凑整结合减少计算量。 知识点3：有理数的减法法则 1.法则内容 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 2.转化要点：“两变一不变” 两变：减号变为加号，减数变为它的相反数； 一不变：被减数保持不变。 减法没有交换律，被减数与减数不能随意交换位置。 知识点4：有理数的加减混合运算 1.运算思路 利用减法法则将所有减法统一为加法，将混合运算转化为若干有理数的代数和形式。 2.省略书写形式 统一为加法后，可省略加号和每个加数的括号，例如可简写为。 有两种读法：按性质符号读作“负7、正4、负9的和”；按运算符号读作“负7加4减9”。 3.运算步骤 ①减法化加法；②省略加号与括号；③运用加法运算律优化计算顺序；④按加法法则得出结果。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数加法运算 1.核心知识点 有理数加法法则；符号判断与绝对值计算 2.解题方法技巧 ①先区分同号、异号、含0三种类型，匹配对应加法法则； ②同号相加直接定号、累加绝对值；异号相加先比较绝对值大小，再定号、算差值； ③互为相反数的两数直接得0，一个数加0直接得原数。 【例题1】.（2026·广东清远·三模）《九章算术》中最早提出了正负数加减法的法则．计算=（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27七年级·全国·暑假作业）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式题1-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【题型2】有理数减法运算 1.核心知识点 有理数减法法则；相反数的概念 2.解题方法技巧 ①严格执行“减号变加号，减数变相反数”的转化规则，两步变号缺一不可； ②转化为加法后，再按照加法法则完成计算； ③大数减小数结果为正，小数减大数结果为负，可直接判断差的符号。 【例题2】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）___________． 【变式题2-1】.（2026·安徽合肥·模拟预测）计算：____________． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型3】加减混合运算计算 1.核心知识点 减法化加法；加减混合运算基本步骤 2.解题方法技巧 ①第一步先将所有减法统一为加法，写成完整的代数和形式； ②可按从左到右顺序依次计算，也可初步分组简化； ③每一步运算先定结果符号，再计算绝对值，避免符号疏漏。 【例题3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算： 【变式题3-1】.（25-26七年级上·福建漳州·期末）计算：． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【培优提升题型】 【题型4】加减法运算律的简便计算 1.核心知识点 加法交换律与结合律；多种简便运算技巧 2.解题方法技巧 ①相反数结合法：互为相反数的两个数优先结合，和为0可直接消去； ②同号结合法：所有正数、所有负数分别结合相加，再计算最终异号和； ③同分母结合法：分母相同或易通分的分数优先结合，减少通分次数； ④拆项法：带分数可拆为整数与分数的和，分别计算整数部分、分数部分，再合并结果。 【例题4】.（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【变式题4-1】.（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【题型5】跨学科情境的加减建模 1.核心知识点 有理数加减运算；跨学科数量关系提取 2.解题方法技巧 ①从地理时差、物理温度变化、体育比赛净胜球等情境中提取数据； ②确定基准量，将每次变化量用正负数表示； ③通过加减运算计算最终量，结合学科常识检验结果的合理性。 【例题5】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图是陈阿姨手机记账软件显示的“双十一”期间（至）收支信息，阅读信息并解决问题（手机软件中用“+”表示收入，用“”表示支出）． 本周收支变化：元 [本周收入] 收入：元   2025.10.21 红包：元   2025.10.22 收入：元   2025.10.23 退款：元   2025.10.24 合计：元 本周支出： 餐饮：元   2025.10.21 红包：元   2025.10.22 网购：元   2025.10.23 网购：元   2025.10.24 付款：元   2025.10.25 (1)陈阿姨本周买了一件衣服但因为尺寸不合适又马上退款了，这件衣服的价格可能是______元． (2)“双十一”闪购当天，陈阿姨收到了家人发来的一些红包，也发出了一些红包．陈阿姨当天收发红包是赚了还是亏了？具体多少金额？ (3)本周支出一共有五项，手机如果向下滑动就能看到最后的一项合计金额．聪明的你能否通过目前显示的信息得出最后的合计金额呢？（精确到个位） 【变式题5-1】.（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格．每次开锁时需要先把表示“0”的刻度与固定盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6次．规定：逆时针旋转记为“”，顺时针旋转记为“”，例如“”表示顺时针旋转5小格，此时标记线对准的数为35． (1)若开锁密码为“，，，，，”（需旋转6次），请描述第一次的旋转过程，并求锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数； (2)若转盘逆时针旋转1小格损耗单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗单位零件寿命，请计算第（1）问打开锁的过程中零件寿命总损耗． 【变式题5-3】.（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）综合与实践 【项目主题】某新能源汽车耗电情况． 【项目背景】近几年全球新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量大幅增加小明家购置了一辆续航为充满电能行驶的最大路程的新能源纯电动汽车，小明想记录汽车行驶过程中的耗电情况． 【项目实施】 他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：以为标准，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”），已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 【项目任务】 (1) “”处的数为______，“”处的数为______； (2)行驶路程最多的一天与最少的一天相差______； (3)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航里程不足续航路程的，行车电脑就会发出充电提示请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【题型6】有理数加减与数轴、绝对值的综合 1.核心知识点 数轴上数的符号与大小；绝对值的非负性；距离的几何意义 2.解题方法技巧 ①根据数轴上点的位置，判断数的正负与绝对值大小，进而判断和、差的符号； ②若几个非负绝对值的和为0，则每个绝对值内的代数式均为0，可列方程求参数； ③数轴上两点间的距离等于对应两数差的绝对值，可借助减法表示两点距离。 【例题6】.（2026·河北保定·三模）如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山西晋中·期末）数轴上的定点A，B表示的数分别是a，b，且满足． (1) ________，________；A，B间的距离为________； (2)数轴上一点C距点A 7个单位长度，其表示的数c满足．求点B，C之间的距离． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． (1)若原点落在点B处，则点A表示的数是____，点C表示的数是____． (2)若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是____． (3)用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 【压轴素养题型】 【题型7】有理数加减中的规律探究 1.核心知识点 有理数加减运算；数列规律归纳与分组计算 2.解题方法技巧 ①交替加减型数列：采用分组法，每2个或4个数为一组，简化为多组相同结果的求和； ②程序运算型：按给定规则逐步代入计算，不满足输出条件则循环代入； ③先计算前3-4组结果，寻找周期或通项规律，再推广到一般项求解。 【例题7】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为（   ） A．15 B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·河北保定·期末）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______________．任何数同0进行“※”运算，都得__________________． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）定义数组的变换：依次排列的一组数，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数组．以数组为例，步骤如下： ①第1次变换后得到数组； ②第2次变换后得到数组； … 则数组第4次变换后得到的数组中所有数的和为______； 若一组有理数，这组数经过2026次变换后，利用你所观察的规律，这组数的和为______（用含有的式子表示并化简）． 【变式题7-3】.（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 【题型8】开放探究类加减问题 1.核心知识点 有理数加减运算；分类讨论与逻辑推理 2.解题方法技巧 ①先明确题目约束条件，列举符合条件的取值情况； ②多解问题按符号、大小分类讨论，避免遗漏取值； ③可通过特殊值法验证结论，再推广到一般情况完成说理。 【例题8】.（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，，当时，．根据以上阅读回答下面的问题： (1)______； (2)______； (3)若有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·北京西城·期中）一种新运算定义如下： (1)计算：______； (2)计算：______；（括号内的式子先进行运算） (3)我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足交换律：______（填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足结合律：______（填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【变式题8-3】.（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整； 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用__________________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得__________________． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 易错点 1、异号两数相加运算错误：易误将绝对值直接相加，或取错和的符号，需牢记“取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值”。 2、减法转化加法变号不完整：只改变减号或只改变减数符号，必须同时完成“减号变加号、减数变相反数”两步变号。 3、运算律交换时遗漏数的符号：交换加数位置时，需连同数前的性质符号一起移动，不能只移动数字部分。 4、实际问题混淆代数和与绝对值和：求最终位置、最终结余用代数和，求总路程、总耗用量用各数绝对值之和。 重点 1、有理数加法、减法的运算法则，掌握“先定符号，后算绝对值”的核心运算逻辑。 2、灵活运用加法运算律进行简便计算，熟练完成有理数加减混合运算。 3、运用有理数加减建立实际问题的数学模型，解决生活与简单跨学科情境问题。 难点 1、异号两数相加、减法转化加法中的符号精准处理。 2、规律探究、新定义、幻方等创新题型中的逻辑推理与分类讨论。 一、单选题 1．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 2．计算：（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4． _____． 5．规定表示不超过的最大整数，则______． 6．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 三、解答题 7．计算： (1)． (2)． (3)． 8．有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 9．习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $